杨飞——故事数学系列之：懂事
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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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懂事
重庆南开（融侨）中学 杨飞 400069
黑娃的情商有点低，属于不懂事的那种，因为不懂事，让他吃了很多苦头。
大学毕业，黑娃分到江城二中，虽然算不上名校，但勤学好问的学生很多。黑娃热爱教育，喜欢学生，更喜欢坐办公室，有时晚上12点，他办公室依然亮着灯。学生见办公室有人，都爱问他问题。黑娃很大方，无论哪个年级的学生，无论问什么问题，他都耐心解答。有高中学生来问，也有初中学生来问，有的问数学问题，有的问物理问题……
有一次，他教的班上班长很着急，遇到一个物理难题，解答不了，担心第二天被老师处罚。黑娃见物理老师不在办公室，就对班长说：“你把题目告诉我，我看能否解答。”
班长把题目写在纸上。
相距2r的两个等量同种正电荷带电量为Q，求在其连线的中垂线上场强的最大值及位置。
黑娃在纸上画出草图，演算了几步，觉得不难，就给班长讲解：
如图，考虑中垂线上任意一点P的情况，该点场强可看成两点电荷在该处产生的场强E1、E2的合成，即
第二天，班长悄悄告诉黑娃，今天物理课老师评讲这个题，被卡住了。急得满头大汗，为了给老师救急，我就告诉老师，昨天数学老师是这样解答的……
原来物理老师打了通宵麻将，没有备课，没想到自己布置的作业竟然把自己卡住了。听了班长的汇报，黑娃觉得有些不妥，忐忑不安地说：“今后遇到这种事你说是你自己想到的，不要说我给你们讲的。”
没过多久，校长在大会上强调师德师风问题，要求年轻老师要注意身份，不要和学生走的太近。办公室不能一个人给学生辅导作业……。会后校长又找黑娃谈话，告诫他要注意教师形象，不要和学生走得太近，有老师举报黑娃和学生耍朋友。
黑娃气得说不出话来，他知道解释毫无意义，自己是新来的大学生，物理老师是年级主任。“也许还有其他事情发生。”黑娃越想越害怕，拖着沉重的步子独自回到寝室。
好不容易挨到期末，校长找黑娃谈话，“你很优秀，我们很想留你，江城三中点名要调你过去，祝贺你。”
“谢谢校长对我一年来的关照！”黑娃心里很淡定，这个结果他早有预感，一边说着一边暗暗告诫自己，“管好自己的嘴，夹着尾巴做人。”
到了江城三中，黑娃谨小慎微，教研会上从不发言，默默的当听众。在办公室专心备课，批改作业，有老师谈论家庭琐事，黑娃不敢插言，最多附和着笑笑。有学生问物理题、化学题，黑娃总是说：“很久没做题，公式都忘记了。”其他班的学生来问数学题，黑娃微笑着说：“问你们老师吧！我正忙着！”有时学生说：“帮我们讲讲吧！我们老师不在。”黑娃假装认真看题，然后皱着眉头，说：“这个题很难，一时半会儿我也想不出办法，等会儿你们老师来了，他肯定有高招。”
高中数学考试题，一般都有几个难题，弄得老师们唉声叹气，黑娃解得很快，解答完毕后从不和其他老师交流，告诫自己“低调”，不要显摆充能人，默默的拿出数学著作阅读。
黑娃心想，这样夹着尾巴做人，肯定会平平安安。
没过多久，校长找黑娃谈话，“你是大学生，是科班出身，课堂用语要准确，有老师举报，你讲集合时在黑板上画两个圆，你不说两个圆，你说两个圈。数学老师要用数学语言，不要口水话……”
“用粉笔随手画的应该是两个圈，不是两个圆，圆规画的才是两个圆，我的语言很准确。”黑娃有些不服。
“究竟是两个圆还是两个圈，我们就不讨论了，今后注意一点就行了。”校长打断黑娃的话。
黑娃百思不得其解，当了几个月哑巴，究竟招了谁惹了谁？
“看到领导没打招呼吗？看到同事没点头微笑吗？也许是太低调了吧？什么都不发言，数学组的老师怎么看？教研组长怎么想？也许组长认为我不支持她的工作？”黑娃独自反省、自问……
终于等到了一次大型教研活动，全组都来听备课组长的公开课，课堂上黑娃听得很认真，点点滴滴都作了记录，思考着如何表现一下，积极支持组长的工作，改变哑巴形象。
备课组长的课上得很严谨，很难找到瑕疵，赢得了数学组一致好评，老师们从数学角度和教学角度都给出高度评价。为了表现自己，黑娃用挑剔的眼光审视课堂每一环节，决定从一个例题入手，发表新颖的见解。
备课组长在课堂上讲了这样一个例题：
三棱锥P-ABC中,△PBC是边长为2的正三角形,△ABC
黑娃称赞备课组长的例题选得很好，稍作变式就可以培养学生的探究能力和创新能力。接着赞美备课组长的解题教学高明，引导学生从三棱锥的外接球想到正方体的外接球，培养了学生的观察能力和发散思维能力。黑娃接着又说，这个题的数据太特殊，如果稍微修改数据，AP，AB，AC不可能两两垂直，如果相邻三条棱没有两两垂直，三棱锥的外接球和六面体的外接球就失去了联系。所以，这个题解法存在局限性，只是就题论题，缺乏普适性。如果更改线段的长度后，又该如何解答呢？什么方法才是通性通法？怎样教学才能实现解一题通一类呢？
大家满脸怀疑，似乎在问，“你有什么高招吗？”黑娃停了一会，接着说：“解决组合体问题的难点在于作图，如果能教会学生作图，至少解决了问题的一半。对于如何作图，我总结了几句口诀。”一边说一边在黑板上写出口诀：
外接球，有难题，作图技巧要牢记；
大圆正视小圆平，对称图形抓对称；
内接图形坐小圆，力求顶点大圆圈；
小圆垂直连心线，位置关系细查看。
接着黑娃对例题进行变式,其他数据不变,将“PA=√2”改为“PA=√3”，然后根据口诀进行作图、解答。
由口诀“大圆正视小圆平”，我们作1个大圆作为球的正视图，作1个水平的小圆作为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆；由口诀“内接图形坐小圆”，我们把底面ABC放在小圆上。
△ABC与△PBC都是等腰三角形，可知此三棱锥是面对称图形。由口诀“对称图形抓对称”，我们将正视图的大圆作为对称面，此时顶点P正好落在大圆上，也体现了口诀“力求顶点大圆圈”.
问题转变化为求△AMP的外接圆半径。
易知：AN=1,PN=√3,AM=2,AP=√2.
由正弦定理和余弦定理解斜△AMP可求外接圆半径。
黑娃讲到这里，以为有老师会呼应或者肯定，没想到大家沉默不语，本想再讲几种变式进行深刻探究，只好立即打住，终止发言。
没过多久，校长又找黑娃谈话，“教学要讲究艺术，要注意教学双边关系，要注重情感交流，要重视数学思想教学，有老师反映，你的课堂重点不突出，课后答疑不认真，作业批改不细致，一点都不像教实验班的老师……”
挨到期末，黑娃接到调令，到江城一中教书，离校前夕，约了几位朋友小聚，酒过三巡，黑娃情不自禁地讲起了两年来的苦恼，有个叫“包打听”的朋友介绍了江城一中的情况，又有一个叫“小诸葛”的朋友出一些点子，黑娃一一牢记于心。
开学第一天，黑娃来到校长办公室，说自己人年轻，缺乏教学经验，又说久仰筱琳老师大名，想拜筱琳老师为师，校长说：“筱琳老师是江城数学届的权威，号称第一把交椅，我跟筱琳老师说，叫她收你为徒，你要好好学习。”
开学后，黑娃见到领导老远就打招呼，见到同事嘴角笑出了月亮弯，见到同事的小孩，一个劲的说“妹妹乖！”“弟弟好聪明！”。天天听筱琳老师的课，课后主动请教，即使一目了然的问题，也要问这问那，有时故意装糊涂，等筱琳老师讲解后，装出一副豁然开朗的神态。
有一次，筱琳老师要上交流课，江城几个学校的数学老师都要来观摩学习。那堂课本来讲得很好，由于一时大意，筱琳老师竟然说函数f(x)=2tanx/(1-t2anx)的最小正周期是∏/2.
课后各校老师集体议课，黑娃抢先发言，从六个角度对筱琳老师的课给出高度评价：
第一是“有理”，说筱琳老师的课不是对教材知识的简单复制，而是对传统知识的深度加工和再创造，注入了新鲜血液，符合弗赖登塔尔的数学再创造原则；
第二是“有序”，说筱琳老师的课逻辑严谨，知识呈现有序，方便学生学习；
第三是“有情”，说筱琳老师的课饱含深情，在知识传授的同时，注重情感交流，手势和眼神配合恰当；
第四是“有竞”，说筱琳老师的课营造良好的竞争场。学生发言此起彼伏，你不让我，我不让你，争先抢答，展示自我；
第五“有魂”，说筱琳老师的课不仅仅是知识的传播，在知识讲授过程渗透数学思想。如，数形结合思想，逻辑分类思想；
第六是“有效”，说筱琳老师的课称得上卓越课堂。课堂上学生踊跃回答，100%的正确率，有很高效率、显著的效果，还有良好效益和巨大的效能。
黑娃心想，抢先定调，也许可以堵住其他老师的嘴。但是，黑娃担心的事发生了。一个“不懂事”年轻老师说，函数f(x)=2tanx/(1-t2anx)的最小正周期不是∏/2的最小正周期不，是∏。黑娃又抢过话题，“这位老师说得很好！确实是∏，为什么课堂上筱琳老师故意说周期是∏/2，这正是筱琳老师的高明之处，我们传统的课都是讲正确的，筱琳老师发前人之未发，故意讲错，设置陷阱，引导学生开展研究性学习，你们且看。”说着，黑娃指着办公室角落的一块小黑板，上面清楚写着：
研究题
二倍角公式tan2x=2tanx/(1-t2anx), f(x)=tan2x与g(x)=2tanx/(1-t2anx),是同一函数吗？今天老师说g(x)=2tanx/(1-t2anx),的最小正周期是∏/2，这个结论正确吗？
大家看到小黑板上的研究题，掌声雷动，无不佩服筱琳老师的课堂技艺。
中午筱琳老师悄悄问黑娃：“你什么时候写的小黑板？”
“我趁下课时大家上厕所的时间写的”黑娃低声说。
从那以后，黑娃的生活走出寒冷的冬季，沐浴着和煦的阳光，校长年年安排他教实验班，学校创办“数学板报”，筱琳老师推荐黑娃担任主编。
（注意：本故事纯属虚构，请读者不要对号入座）
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