洪一平——构造双曲线解答双根式函数值域问题

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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洪一平，83年毕业于浙江大学数学系，后在某学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学，数学高级教师。《数学解题与写作交流群》大家公认的解题高手、数学名师和答疑解难热心人，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。洪一平老师是一位很受师生尊重和欢迎的好教师。

构造双曲线解答双根式函数值域问题

浙江平阳中学         洪一平

其几何意义是:

对x轴上的任意一点P(x, 0), 设A(x, y₁), B(x, y₂)分别是C₁的上半支与C₂的下半支对应的点, 则f(x)=y₁-y₂=|AB|, |AB|在x=2时有最小值5√5.

可用待定系数法得出f(x)_min=f(2)= 5√5，解答如下。

得3m⁴-54m³+323m²-440m-28=0, 1<m<8,

即(m-2)(3m³-48m²+227m+14)=0, 得m=2,

故f(x)≥y₁+y₂=5√5, 且f(2)= 5√5,

因此,f(x)的值域为[5√5, +∞).

 (可证3m³-48m²+227m+14=0仅有一负实根)

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