三角形面积最大值问题的一般性结论及其数形结合法与嵌入不等式证明

从一道简单题谈谈嵌入不等式

本文首发于：高中数学的奇技淫巧

     前言：

      本文主要是偏向比较简单一点的题目，并给出几个可能比较常见的结论，大家如果选填做到的话，可以考虑使用节省一点时间。

      本题主要是因为最近有群友问了我这样一道题，感觉比较简单又有趣，所以和大家分享一下。

      结论：

1、平面上  四点满足：

则  的面积的最大值为：

亦可写成：

2、平面上  三点满足：

，

则  面积的最大值为：

亦可写成：

      证明：

这两个结论的证明其实是非常相似的，我就简单从数形结合和嵌入不等式的角度来谈谈这两个式子。要注意的是，结论2本身是数学家A.Oppenheim在1963年提出的一个不等式，类似的几何不等式在数学家O.Bottema的《几何不等式》都有收录，大家感兴趣的话也可以去看一下。

数形结合：

结论1的证明：

作  到边  的垂足，由题设条件知：

注意到：

结论2的证明：

作到边的垂足，由题设条件知：

注意到：

大家将两个结论的证明过程比对一下，应该能看出它们的关联之处的，所以我后面反思上面那道题的时候，很自然就想到两年前的A.Oppenheim不等式，就给出了类似的证明。

嵌入不等式：

结论1的证明：

考虑叶军不等式：

我们令：，

，

简单考虑一下几何意义知道式子右边为4倍三角形面积，代入立即得到结论1！！！

这实际上是我第一眼看到题目的最直接的想法，这样得到答案会快一些。

结论2的证明：

考虑O.Kooi不等式：

注意到：

得到O.Kooi不等式的一个重要变式：

我们令：

代入立即得到A.Oppenheim不等式

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