快乐数学邦【88】每日一题多解（52）导数与数列不等式求解策略（三）之二

导数与数列不等式证明策略（三）

并项与拆项之二

广东省新兴县第一中学 陈汉邦 顾巧妍 黄绮文

昨天我们讲了，并项与拆项，昨天的题目，配合对数运算的加法法则。思路比较自然。但是这种方法其实并不是解决此类问题的最佳思路。

因为对恒等变形能力有一定的要求。随着题目难度的提升，此种方法会越来越困难。但是用来训练思维，提升恒等变形能力是相当好的。我继续通过例子来讲解

第一问的存在就是为了用第一种策略：结论再造，此处略过。当然也可以用我们讲过策略（二）的数学归纳法和分析法。也不再重复。

主要是讲拆项的思路。与前面讲的例题相比，右方是个关于n的二次式子，想拆起来就没那么容易。尝试对他进行因式分解，他就变成这个样子。

这个式子怎么把它拆开？很多人都没想到。留意到左方其实是n-1项，再想想等差数列的求和公式

两者有什么联系？

n-1是项数，2 是首项，n是末项！ 分母是4，提一个2出去，这样。右方的式子就变成了以2为首相，n为末项，公差是1的等差数列的前n项和的二分之一！问题迎刃而解。

表扬我们顾巧妍同学，金睛火眼。

附上过程：

还有另外的拆项的方法吗？

右方是两式相乘，乘法是加法的快速运算，同样留意到n-1是项数

所以右方可以理解为有n-1个(n+2)/4 相加！而lnx 单调递增，所以只需要证明最大值小于右方的(n+2)/4

表扬我们的黄绮文同学，思路独特。

附上过程：

方法二：

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