李尚志老师：欢迎进入高等代数课堂
更多优质资源，可关注公众号后查看历史消息
作者 | 李尚志
编者按
本文是李尚志教授在疫情期间开设高等代数课的开学致辞。感谢李教授分享全文。同学们好！欢迎进入高等代数课堂！
本来我们应该面对面上课。你们看见我，我也看见你们。我与你们作朋友，你们也与我作朋友，一起学习和研讨。你们享受“学而时习之”，“温故而知新”，“上下而求索”的快乐，我享受“得天下英才而教育之”的快乐。
很遗憾，我们现在不能面对面上课。新冠病毒正在肆虐，危害我们的家园，危害我们的国家和整个世界，威胁人类的健康和生命。我们正在与病毒作斗争。我们不是医生，不能冲上第一线去治病救人。我们必须尊重客观规律，听从统一指挥，老老实实呆在家里。不能到处乱跑，防止感染病毒危害自己的健康和生命，更防止自己感染病毒之后传播给别人。因此不能聚集在一起上课。
虽然我们各自隔离在不同地方，但并非只能无所事事等待疫情结束。学生仍然可以在家里看书学习。更何况，现在科技发达了，有很多网上资源可以帮助我们学习。老师也可以通过网络帮助你们。既然大家可以通过微信群了解疫情，增长医学知识，加强自身的防护。同样也可以借助于网络进行学习，而不要等疫情结束之后再来补回损失。
2003年非典期间，我在中国科学技术大学任教，被隔离在合肥几个月。虽然我们不愿意有非典，但是我们个人力量不能影响它，它来了怎么办？我们难以改变环境，但在同样的环境下可以选择自己的行动，争取更好的后果。非典期间不开会不出差，我趁机集中精力写书，完成了《线性代数(数学专业用)》的主要部分，2006年由高等教育出版社出版。还选择了天天到操场走圈锻炼身体。非典结束之后，走路这个习惯保留了下来，只不过嫌走圈太枯燥，就选择了一条环境好点，空气好点的路线来走，后来又坚持了游泳，一直到现在。
现在也一样，我们只能呆在家里，但可以选择呆在家里干什么。与其等到将来再讨论青春无悔还是有悔，还不如在每一个今天做明天和后天不悔的事情。
老师虽然不能当面向你们讲课。但现在已经有很多网上课程供你们学习。网上课程比当面听课还有一个好处: 没听明白没看明白的可以重复看重复听。另外，你们都不是文盲，都识字，老师可以将要讲的话写成文字让你们看。虽然比起有声有色的当面讲课和录像少一点亲切感，但对于愿意学习的同学来说，没什么本质的差别，就好比读金庸武侠小说和看武侠电视剧的差别。
有些人热衷于研究线上教学能不能取代线下教学。我觉得这样的研究很无聊：为什么一定要选择一个取代另一个呢? 为什么不能两者兼用，各取所长呢？当你可以线下教育时充分享受它的优点。现在暂时不能线下教育，尽力用线上教育来弥补。线上教育既可以线上直播，也可以录讲课视频文件发布给学生观看，这两种都依赖于一定的技术条件。还有一种依赖最少的，就是直接利用微信群，将老师要讲的话写出来发到群里给学生看。这样做，操作最简单，门槛最低。只要会发微信，别的都不用学。我现在就先采用这个办法，你们先学起来。也可能过几天我录一段视频，或者用直播，那就更好。但你们不用等。现在就可以开始看，开始学。
我无法预测我发的文字材料你们是否能够看懂。我当面讲课无法预测你们是否听懂，不仅不能预测，过后也不太容易知道。用微信群上课却不同，可以很快知道讲课效果：学生如果不懂，可以马上问。不限时间，不限地点。夜半三更也可以问，天涯海角也可以问。问了不一定马上回答，也不一定老师回答，可以同学之间相互回答，老师如果发现回答得不恰当，可以补充。如果提问的人还没懂，可以再问。这就是真正的翻转课堂，学生和老师共同研讨，自主学习的翻转课堂。比现实课堂还更方便。
现实课堂，老师不能随时跟在你身边，下课之后就分开了。即使有规定时间规定教室的集中答疑，也许你因故无法参加，也许你当时还想不出什么问题来问。等到你有问题了，老师也不能随叫随到随时回答，也不能单独回答你一个人的问题，还得大家轮流问答。有了微信群，这些问题都不存在了。你可以超越时空随时提问，无论何时，无论何地。老师或同学都可以超越时空回答。
别怕提问提错了，回答答错了，问错了答错了都不扣分，也不丢脸。不问不答不懂丧失了解惑的机会，没学到东西，才是损失。暂时丧失了机会也不要紧，随时可以弥补。去年前年我在北航上抽象代数课，我的要求很高，一直讲到伽罗瓦理论，讲到群元素的矩阵表示与置换表示的相互转换。这些都是需要学生反复练习才能熟练掌握的，而且我还要考试这些内容。课时总共只有48 学时，根本没有足够的课时来训练学生。我就采用了微信群来训练。我在群里发问题，学生自主讨论甚至辩论，我及时解惑释疑。最后结果，凡是在群里积极参加讨论的，都考得不错。不及格的都是不看群不发言的。我其实没法知道谁积极谁不积极，考试结果就知道了。不及格怎么办？补考吧。怎么对付补考？我也不可能再辅导他们。他们的办法也很简单：把以前群里发的东西找回来看。找不回来的，向同学要。不懂的，再问，同学或我回答。虽然放了假，群没有关闭，可以继续学习。积极学习的，补考及格了。还有少数不及格，我就爱莫能助了。
有些人说网上慕课的优点是把老师赶下台，学生上台自主学习，这叫翻转课堂。如果你要把老师赶下台，退学回家自主学习就行了。看慕课，无非是把看活人讲课换成看屏幕上的影像，并没有赶下台，屏幕的画中人还在台上。如果你要自主讨论，听活人讲课下课之后仍然可以回去自主学习自主讨论。真心想自主学习的，巴不得有老师帮助，听老师讲课。如果你没学籍，还不见得有自主权进教室听课。但如果想自己学习和思考，这样的自主权，谁也剥夺不了。
听课，是听活人当面讲，还是看录像更好？恐怕还是当面听活人讲更好。正如看足球赛，是到现场看，还是在电视里看？如果现场是贝利或者马拉多纳或者罗纳尔多这些著名球星在现场踢球，当然是到现场好。但如果现场是自己学校或者城市的球队在踢球，电视里是国际最高水平的世界杯，那就还是看电视更好。听课也是一样，发布在网上的慕课的讲课老师的水平总还是在全国最优秀的。即使你那个学校的老师也很优秀，你不一定能够进入他的课堂，你需要上的课不一定是他上的那门课。所以，慕课的最大优势不是翻转课堂，而是优秀老师讲的优秀课程。不是让你可以自主讨论，而是让你可以听课，接受最好的老师的“满堂灌”。网上有很多优秀课程，教育部评选了国家精品在线开放课程，高等代数也有，希望你们去选听。我在网上的慕课，有一部分学员既学本校的线性代数或高等代数，也学我的慕课“线性代数启蒙”，甚至还学另一门慕课“高等代数”的，他们感到收获最大。
也许有人要问：选听了是否计入学分？我就要问你，假如有人请你吃饭，你是不是先要问他：吃了饭是否开个证明证明你吃了这顿饭？如果不开证明，你就不吃。你去吃饭不是为了开证明，而是为了吃东西。需要吃饱，还需要享受美味。自己吃饱了，享受了，不需要谁来证明，谁来羡慕。你选了课程，学懂了，有了收获，就行了。是否计入学分？你学懂了学好了，在我的课程考试中自然就能够考更高的分数，这就是给你开了证明，计入学分了。
我也有门国家精品在线开放课程《线性代数启蒙》在教育部爱课程网上。你们可以去看。对于学习矩阵，线性空间和线性变换很有好处。不过没有讲多项式，你们可以从别的《高等代数》慕课中去学习多项式。但是，目前我讲课还是用最简单的方法，先给你们发布文字材料给你们学习。这学期先讲多项式。但是，高等代数的核心内容毕竟还是矩阵与线性变换。矩阵你们已经学过了，线性空间和线性变换本学期要学。矩阵运算是代数，线性空间和线性变换是几何。但是，代数与几何是分不开的。线性代数可以说是 n 维空间的解析几何，空间解析几何是3维空间的线性代数。几何与代数的关系是:空间为体，矩阵为用。研究的对象是空间向量。研究的工具是矩阵乘法。比如，矩阵乘法为什么要定义得那么复杂而奇怪，而不定义为矩阵的对应元素相乘? 为什么那么复杂的矩阵乘法恰好满足结合律? 如果用几何的观点一看，就一目了然。矩阵乘法定义成那个样子，就是为了表示线性变换。矩阵乘法之所以满足结合律，是因为变换的合成满足结合律。而要理解这些，需要熟悉矩阵的分块运算，而不只是把矩阵乘法理解为一大堆元素相乘再相加。为了帮助你们理解，我发一篇文章《矩阵的分块乘法》给你们看，对于后面学线性变换有好处。
正如我的教材序言中所写的:
“本书不是奉天承运皇帝诏曰从天而降的抽象定义和推理，而是一部由创造发明系列故事组成的连续剧。
”
本书如此，本课也如此。只不过，不是老师演独角戏，而是你们参加一起演。本学期从多项式开始讲。高等代数的主要内容，矩阵运算完全是新的，中学基本上都没学过。多项式却基本上都是旧的，多项式的加减乘，因式分解，都学过。如果不学多项式加减乘，初中高中的数学就都没法学了。但还有一个简单而重要的东西没学: 带余除法。你们学过不带余的除法，学过分式运算。小学学过自然数的带余除法，两个正整数相除，如果不能整除，得到一个商，剩下
余数=被除数−除数商
后来引进了分数，就把这套扔到脑后了。觉得除不尽是落后的东西，全都除尽了才先进。殊不知，有的除尽有的除不尽，这才是最精彩的。余数是数论的重要支柱，也是抽象代数的重要支柱。
我读初中的时候，学过多项式的带余除法。与自然数的带余除法类似，容易学。甚至比自然数的带余除法更容易。多位数除以多位数，先用被除数的首位(或首两位)除以除数的首位，估计商的首位。这只是估计而不能定案，因为你还要把估计的首位乘除数放到被除数下面去减，如果不够减，还要重新估计。多项式也是把被除式的首项除以除式的首项得到商的首项，不过这不是估计而是定案，不怕不够减，不够减就减成负数。所以更容易。但是现在初中已经不学了，大概这算是“改革”吧。不过“改革”不见得都是前进。有的是倒退。初中不学，高中也不学，大学非数学专业的线性代数也不学，就只有数学专业的《高等代数》来学了。既然初中学生都可以学，所以其实没有难度。其实都不用老师教，自己摹仿小学整数除法竖式就可以无师自通。带余除法在你们学习的北大教材中是第3节讲，第4节讲它的重要应用:辗转相除法求最大公因式。这两节都特别重要。你们初中学了多项式的加减乘，没学带余除法。唯一需要补充的算法就是带余除法，以及它的应用，辗转相除法等等。
如果你们自己看书，可能会有些困惑。第一节讲数域。也可能你们没听过数域这个名词，也可能参加奥数训练听说过。讲起来没什么新东西，就是加减乘除封闭。没什么不懂的，但如果不做题，也就没懂什么新东西。我补充了两个问题，一个是国际奥数的一道很难的题，用”加减乘除封闭”这个看似简单的观念来解，迎刃而解。让你们体会一下简单想法的重要性。不要迷信复杂算法。另一个就是求一个非零数经过加减乘除生成的域。没有什么新知识，新知识就是不断作加减乘除。暗中却引出本章几个最重要的概念。自己相除产生1。1作加减乘除产生全体有理数。再与这个数作加减乘产生多项式，这是本章的主角。再作除法产生分式。设法化简多项式引出带余除法，分母有理化引出辗转相除法。这就是第3节和第4节的主要内容。别怪我提前讲了第3，4两节。不是提前，而是初中就该学的东西推迟了很多年来讲。不过，你们自己如果去看第3节可能看不懂，因为他着重讲证明: 为什么可以算到底。我把你们当初中生看待，先达到初中要求，学会算法。会算了，自然就体会得到为什么可以算到底。我说要演出“创造发明连续剧”，从一个非零数开始，通过加减乘除一步步扩张，产生多项式和分式，再想办法降低分子分母指数，直到通过分母有理化彻底消掉分母。这就是连续剧，不是奉天承运颁发圣旨下达定义和算法，而是在解决问题的过程中“发明算法”。
不仅第3节的新算法带余除法让你们困惑，第2节讲的多项式定义，多项式的加减乘，完全是你们熟悉的东西，为什么要重讲一遍? 而且越讲越玄? 中学学多项式，代表未知数，现在说 只是一个“符号”。中学多项式的加减乘是自己临时用运算律来完成，这里就强行规定一个算法，其实是与中学相同，为什么还需要验证运算律。这牵涉到一个问题: 加减乘运算是不是可以随便定义? 怎样的定义才是合法的? 书上不讲道理就下达了一个定义，我们是不是可以另外下达一个定义? 或者说，要教授以上，数学家以上，或者外国数学家，才能够下达定义? 其实很简单，不管教授还是数学家还是普通人，中国还是外国，都可以下达定义。是否合理，唯一的标准就是是否符合运算律。所以，书上强行下达一个定义，然后检验它符合运算律，这是符合规矩的。问题是: 怎么能够保证你下达的定义符合运算律? 最简单的方法是，每一步都在运算律的指挥下设计你的定义，不要先胡乱定义了发现不符合运算律再来修改，那恐怕就永远也不能合格。每一步都按运算律设计算法，其实就是你中学的方法。只不过你中学每次算的都是特殊的多项式，如果你对一般形式的两个多项式按中学的方法作乘法，得出来的就与书上一样。书上这一节不是教你新算法，而是规范你的逻辑。算法还是中学那一套，没有新的。唯一新的是你要习惯于用求和号。这个需要你钻研一下，我也会辅导一下。
为什么不说 代表数，只说它是一个“符号”? 即使你认为它代表数，计算的时候也没有管它代表的数是什么，还是把它当作一个符号来计算。你关心的只是这个符号满足什么运算律。只要符号满足的运算律是所有数共同满足的，符号算出的等式中就可以把符号换成每一个数。正如每个人的名字也是一个符号而不是有血有肉的人。只要那个符号承载的信息是你这个大活人的真实情况，就可以在需要的时候由你这个大活人去享受那个符号所承载的待遇。
我的教材《线性代数(数学专业用)》的电子版发到群里，供你们参考。先参考第5章多项式。另外还有中国科大出版社出版的《线性代数学习指导》我找一下电子版。
开学第一天，聊了这么多。以上内容都不考试，你们可看可不看。有兴趣就多看，没兴趣就少看。看累了就等以后再看。这里面没有计算题，没有那么累。
李尚志
2020.2.16
选自：和乐数学
平台分享的内容，除署名外，均整理于网络，在此分享让更多人朋友受益，如侵权，请联系删除。更多优质资源可关注公众号查看历史消息。如转载请注明来源：数学与自然（ID：ZhouShanZhiShui1）周山培德，至水启智。
推荐阅读：下方每一个标题，都代表一篇文章，点击相关标题，即可跳转阅读。
2011—2019年新课标全国1卷理科数学高考分析及2020年高考预测（含Word）
1
往期精选
部分文章推荐阅读，点相应标题即可跳转阅读全文，更多优质文章，可关注《妙解之慧》后，查看历史消息。
28:章建跃：注重数学的整体性，提升系统思维水平（含PPT）
公众号里大约有1800篇优质文章，需要查看的朋友，可关注公众号，查看历史消息，今后持续更新。
目前设有初高中教师交流群，群里不定期公益分享一些优质的学习资源，不作任何利益，想要进群交流的朋友可，长按并识别下方二维码，添加微信，备注地区身份，通过验证后，回复需要进的群。
一点数学学习方法：
水有源题有根，茫茫题海寻根悟法方是岸，若将形形色色的试题分门别类，剖析其相似，相关性，同源性。探索一题多解，尝试一题多变，感悟多题共法，多做一些；基础和能力，运算和思维都好的秒题，再从解法探究，一般推广，类比延拓三个方面展开，深度研究，意在学会分析题意，转化问题，追根溯源，触类旁通，从静态的文本俩都想到动态的思维活动，把数学冰冷的美丽里，变成火热的思考，就能举一反三，跳出题海，精学一题，妙解一类，固化于型，内化于心，达到事半功倍，融会贯通，高效学习的目的！更多精彩内容，可长按并识别下方二维码，关注后查看历史消息。