李尚志老师谈教与学 | 第二课：学生画龙，老师点睛

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李尚志老师简介

北京航空航天大学数学科学学院数学系教授，现任教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会委员、数学基础课程教学分委员会副主任；曾任国务院学位委员会学科评议组成员，中国数学会理事，中国工业与应用数学学会理事。

     疫情期间，人大数学学院停课不停教、停课不停学，全院师生共同探索实践线上教学新方法、新思路。为帮助师生更好的教与学，我院特邀请国家级教学名师李尚志教授进行多年教学心得分享。本期李老师谈教与学系列的第二课邀你一起来学习：学生画龙，老师点睛。

有些人说翻转课堂就是把老师赶下台，学生自主学习。现在就做到了。不但把老师赶下了台，把讲台也赶下了台，你们确实可以自主学习：看书。还可以自主讨论：在微信群里讨论。如果老师的作用就是将书上写的内容照本宣科重复一遍, 真是不需要老师，自己看就行了。你们都不是文盲，书上那些汉字和数学式子，其实都看得懂。不需要老师再读一遍，充当“复读机”的作用。

老师的作用，不是告诉你们书上写了些什么，而是提醒你们思考：书上为什么要写这些东西，为什么要写成这样，学了可以用来干什么。

创新视角，引导思考：

学知识先问为什么

这个话不是我自己想出来的，也不是我从书上看来的，是我的老师曾肯成说的。曾肯成是我读研究生的时候的导师。我读研究生的时候，很多导师都采用这种教学方式：老师指定一本教材或专著，让几个研究生自己读，自己讲。每个人讲几节，讲书上的内容，也讲自己的体会，提出问题大家讨论和争论。导师坐在下面听，经常提问题刁难学生。曾肯成提问题，从来不问书上怎样讲的，该怎么算。他总是提问：书上为什么要写这个内容？为什么要这样写？可不可以不这样写？这样的问题，我们很难回答出来。书的作者都是大专家，我们都是凡夫俗子，怎么知道他为什么要写这些？我们答不出来，老师就耐心提示或解释。久而久之，我们就养成一个习惯，看每本书的时候也去思考作者为什么要这样写。甚至看电视剧我都要想一下，下面这句台词如果我来写，应该写成什么样子。很多时候我想的与电视剧演的吻合。有时不吻合，不见得是我的水平低，有可能他水平不够。

绝妙真言，把握关键：

把核心知识点搞得ber熟

我是1965年考进中国科大数学系读本科的。只读了不到一年，数学分析和线性代数这两门基础课还没有学完，就因故停课又停学了，再也没有读书学习。一直到1970年7月，毕业分配到四川和陕西交界的大巴山区去教公社小学。1977年时来运转，恢复高考，恢复招收研究生，我就报考了中国科大数学系曾肯成的研究生，研究方向是代数。花了四个月时间，总算勉强考研通过了初试，获得资格到科大参加复试。

虽然首战告捷，但我心知自己这个“自主学习”“自学成才”并没有“厉害了，我的考研”。一到科大立即去请教当初教我线性代数的李乔老师。老师说你去请教你的同班同学杨劲根吧。杨劲根四年之前就借科大的“回炉班”回到了科大，对抽象代数已经十分精通了。杨劲根见面不叙友情先问我一句话：你读了范德瓦尔登，最喜欢的内容是什么，最不喜欢的内容是什么？我答：最喜欢群环域，最不喜欢超限归纳法、形式实域。他说：恭喜你，复试只考你喜欢的，不考你不喜欢的。我听了此话如晴天霹雳，又高兴又懊悔。高兴的是我可以专心研读群环域。懊悔的是：如果他早几个月告诉我这一句，我可以少费很多时间和精力去折腾我不懂的东西。折腾了又没懂，不折腾又怕要考。我觉得书上每句话都有可能考，我如果不懂都危险。老师的作用不是告诉你要考什么，而是告诉你不考什么。杨劲根又给我传授了如何学好群环域的绝妙真言：“把同态搞得ber熟。”如果真言太多太长，记不住也用不上。就这么短的真言，几十年来我懂得越多越体会其太对太妙。我自学群环域只是画龙，画了很多线条。杨劲根这句话才是点睛，让我自己画的龙可以活起来飞上天成为真龙，而不是只在墙上中看不中用的假龙。你们现在自己读书也是这样画龙。你不画龙，再好的老师也没地方点睛。画了龙，如果没有老师来点睛，它也只是墙上的画而不能成为天上的龙。

构建思路，指点迷津：

有知有觉地享受好处

还有一个让我受益终身的老师是丁石孙。我第一次知道丁石孙是因为读范德瓦尔登。丁石孙也是范德瓦尔登的《代数学》翻译者之一。我从他那里得到的最大收获来自于他在北京大学主讲的《交换代数》课程。我从头到尾修完了这门课程，课程内容现在忘了很多，丁石孙的教学方法之精彩，却让我刻骨铭心。他在课堂上经常说：如果你们有人上来讲一个平面几何证明题，我们都听不懂。不是我们不知道定理，而是我们跟不上。你讲前面一话我们还没有听清楚，没有想清楚，后面又来了很多句话，谁都跟不上。讲课不能这样只讲过程，而应该讲总体思路。他就是这样讲总体思路，具体过程你自己去补出来。后来我使用了导航仪，就体会到导航仪起的作用就是丁石孙的这种讲课方式：让你全程导览知道总路线，关键路口告诉你选哪一个岔口。进了高速公路就无话可说了。你自己开车往前，自己保证不撞车不翻车。如果你再问导航仪，冷冰冰回答你一句话：在听见下一条语音提示之前，沿当前道路直行。数学方法都告诉你了，具体计算就自己去算，老师不用讲。

丁石孙讲交换代数课采用的教材是Atiyah编写的英文书。书很薄，正文内容简明易懂，习题却很难。记得第一章刚开始就出现了一些很深奥的题目，我把题目做对了，却总觉得不对劲。去问丁石孙，他就到课堂解答我问的这个问题。我突然恍然大悟，想起维诺格拉多夫的《数论基础》也是这样，正文简明易懂，习题超级难，我做出来了还不知道为什么要做这道题，做出来有什么用。回想起来，维诺格拉多夫的习题就是让你不知不觉发明了解析数论的一些基础定理。吉米多维奇习题集，很多题目也是让你发明后续课程的定理。写书的人让你不知不觉享受好处，但你可能生在福中不知福，有时候就会买椟还珠把好东西糟蹋掉了，就需要丁石孙这样的老师来指点迷津，让你有知有觉珍惜幸福、享受幸福、创造幸福。

文章选自：中国人民大学数学学院

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