拓扑序：看世界的一种新视角 | 众妙之门

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物质通常具有气态、液体、固态等物态，不过在极端低温下会出现奇异的新物态，对称性及对称性破缺并不能刻画它们的性质。于是物理学家提出拓扑序来描述由量子效应主导的物态。拓扑序是看待世界的一种全新视角，它还可以描述空间的内在结构，将空间看作由许多量子比特构成的系统。而这些纠缠的量子比特可以将相互作用、物质和信息全部统一起来。

作者 | Philip Ball

翻译 | weitmann

拓扑学曾经只是纯数学的一个分支，它研究不同形状在连续变化下保持不变的性质。一个经典的例子是对于只有一个洞的物体，比如环面和带把手的咖啡杯，二者可以在不撕裂的条件下彼此光滑地转换。不过长期以来，拓扑学的概念在研究物性中也发挥着作用，例如拓扑可能会决定系统中某些无法抹除的组成部分的特殊构型。一个经典的例子是考虑一个“毛球”。无论你如何梳理这个毛球，毛球上总会有两个点状的绺。这种结构上的“缺陷”可以看作是被“拓扑保护”的，因为任何梳理方法都不能令它们消失。这种特性是普适的，它们并不依赖系统中具体的材料：液晶中的拓扑缺陷与被称为宇宙弦的时空中的缺陷是类似的。

“经典拓扑”研究的是不同形状在连续变化下保持不变的性质。咖啡杯可以平滑地转变为环面，它们具有相同的拓扑结构。经典拓扑可以用来研究一些简单材料（如整数量子霍尔态）的性质。但更复杂材料（如分数量子霍尔态）的量子特性需要用“量子拓扑”来理解。这篇文章主要介绍由量子拓扑所描写的复杂拓扑物态。| 图片来源：Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences 

尤其是在过去几十年，物质的拓扑性质已经成了物理研究中的一个主要课题，这反映在1985年和1998年的诺贝尔物理学奖中，它们都被授予了与量子霍尔效应有关的发现。“霍尔电导”测量的是二维导体在磁场下的由电场引起的横向电流。在量子霍尔效应中，它的值精确等于量子化电导e²/h的整数或分数倍，这里的量子化电导是与电子电荷量有关的一个特定数值。无论我们如何改变材料，譬如添加杂质，这种量子化的行为都会保持不变。获得2016年诺贝尔物理学奖的也同样是与拓扑相和拓扑相变相关的工作。

2016年诺贝尔物理学奖的一部分授予了拓扑相变的研究，另一部分授予了拓扑物态的研究。但得奖的拓扑相变和得奖的拓扑物态并没有什么关系。得奖的拓扑相变是指由拓扑缺陷所导致的相变（见图）。最近的一项研究表明，由拓扑缺陷所引起的相变（即上面所提拓扑相变）只能导致平庸非拓扑态之间的相变，不是通常意义上的拓扑相变。反而是没有拓扑缺陷的相变才能导致拓扑态之间的相变，是通常意义上的拓扑相变。| 图片来源：Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences 

人们意识到，一些材料中电子结构的拓扑性质为材料赋予了特殊且或许有用的性质。例如，一些研究者认为，“拓扑物质”也许可以提供量子计算中所需的量子比特，而且这种量子比特能够抵抗环境中的随机噪音。

描写更复杂拓扑物态中的电子结构，需要用到“量子拓扑”。而量子拓扑和上面提到描写球面环面之不同“经典拓扑”很不一样。量子拓扑是用来描写量子材料中电子所具有的量子纠缠。量子纠缠很难用经典的图像来描述。上图是一个描写量子纠缠的艺术的尝试。它完全不能用经典拓扑的球面环面等图像来刻画。复杂拓扑物态的量子拓扑（如拓扑序）从1980年代就开始了系统的研究。近十几年来，搞得火热的拓扑绝缘体、拓扑超导体等等属于简单拓扑物态，可用经典拓扑来描写。这篇文章中所讲的拓扑物态主要是指由量子拓扑所描写的复杂拓扑物态。而一般媒体文章中所讲的拓扑物态是指由经典拓扑所描写的简单拓扑物态。

在过去几十年的时间里，麻省理工学院的文小刚一直在思考基础物理学中“拓扑序”的概念。时空的基础结构中的拓扑如何产生基本粒子和基本相互作用？这个问题的答案与凝聚态物理中的拓扑相有关，而这也揭示出物理学中一种新的统一原理。

下面是国家科学评论（NSR）与文小刚就他的工作进行的访谈。

文小刚。| 图片来源：文小刚

NSR：您能否解释一下物态中的“拓扑序”指的是什么？它似乎与物理学中一些非常深刻的概念有关，例如对称性和对称性破缺，这些概念不仅可以用来描述凝聚态物理中那些实际有用的材料的行为，也同样适用于基础粒子物理。

文：自然中存在着很多种不同的物态。根据前苏联物理学家列夫·朗道的相变理论，不同物态之所以不同，是因为它们的粒子组织结构具有不同的对称性。长久以来，人们相信朗道的理论描述了所有物态，也随之产生了一种错觉，好像凝聚态理论已经搞完了。

物质通常具有气态、液体、固态等物态，不过在高温下会出现等离子态，在低温下会发生量子凝聚，出现奇异的新物态。对称性及对称性破缺并不能完全刻画它们的性质。| 图片来源：Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences 

然而，上世纪80年代，人们研究了手性自旋液体和量子霍尔液体这两种量子效应主导的物态，结果发现，这些物态都具有完全相同的对称性。对称性不足以解释它们的区别，需要一种新的组织规则将它们区分开，这就是拓扑序。因此，拓扑序描述了对称性及其破缺不能刻画的现象。

一个物质态的性质只由其中组份的组织结构来决定。如果这些组份形成一个固定的图案（如A，B），那这一组织结构可以用其对称性来刻画。这就是关于物质态的朗道对称破缺理论的精髓。但在量子物态中，其组份有很强的量子涨落，不能形成一个固定的结构，无法用对称性来描写。但量子涨落可以看成是集体舞（如C，D）。不同的舞蹈（三步圆舞、手拉手线舞等）描写了物质中的量子纠缠结构。这就是拓扑序的直观图像。

尽管提出拓扑序理论是为了理解新的量子物态，但它或许也能描述空间的内在结构。这是因为空间可以被看作是由许多量子比特构成的系统。量子比特是量子信息的基本单元，它具有0和1两个值。所以由许多量子比特所组成的空间，可被看成是一个量子比特海。（译注：经典比特是简单的0和1，而量子比特是0和1的叠加。）

当这个量子比特海具有某种合适的拓扑序，也就是说当这些量子比特以某种特定的方式组织起来时，它们的涨落和它们拓扑序中的缺陷能够分别产生光子和电子，以及所有其他的基本粒子。通过这种方式，我们就得到了相互作用（物理学家称之为规范相互作用）和物质的统一。这种统一甚至比所谓的大统一更加深刻，因为大统一理论只是统一不同的规范相互作用（力），而前者会将相互作用、物质和信息都统一起来。这暗示着我们宇宙的本质是量子信息。物质和相互作用全都来源于量子信息。

有一些物理学家认为物质和相互作用全都来源于量子信息。| 图片来源：Physics World

NSR：拓扑序在凝聚态物理的某些方面起着重要的作用，并在过去一二十年中发展成为一个庞大的主流研究领域。这个现象是如何以及何时开始在物理学中出现的？

文：在上世纪八十年代初通过实验发现分数量子霍尔效应后，人们意识到这些奇异的量子液体有着许多不寻常的性质，比如分数化的电荷和分数统计。这表明分数量子霍尔液体是新的物态。但它们的本质是什么？在1989年，当我正在研究相关的手性自旋液体时，我意识到这些新物态的本质与对称性没有关系。我们需要一种完全不同的视角，而我尝试的新角度是拓扑，这是受到威滕（Edward Witten）关于拓扑量子场论工作的启发。

这种拓扑方法非常有效。我发现当我们把这些新物态放到具有不同拓扑的空间上时，新的组织方式可以通过不同的基态简并度（最低能量态的数量）来显示出来。我进一步提出，这些简并基态中所谓的非阿贝尔几何相，能完全刻画并定义这种被我称之为拓扑序的新序。一年后，我论证分数量子霍尔液体的边界具有稳定的性质，并且会反映出系统的主体部分所具有的不同的拓扑序。这使我们能够通过实验去测量拓扑序。

一个有高度量子纠缠的复杂量子物态，其内部结构非常复杂，很难看清楚这一内部结构到底长什么样，只能说像一团乱麻或者像一锅粥（这样的描写几乎是什么都没说）。1989年所提出的拓扑序理论，就是找出了一个办法来看清楚这一复杂的内部结构。只有对一个东西有了清楚的描述之后，才能提出相应的概念。当时提出的办法就是把一个复杂的量子物态，放到球面环面等具有不同拓扑的空间上。然后测量这些复杂量子物态的能量最低态的数目。我们发现这些数目和上图表示的空间拓扑结构有关，也和量子物态中的纠缠结构有关。这种对量子物态中纠缠结构的定量描写导致了拓扑序的概念和理论。

拓扑序的理论非常丰富、深刻。从1989年开始，我已经在拓扑序这个领域工作了将近三十年，而且仍然有新的发现。在2000年前后，人们发现拓扑序和量子纠缠之间存在着深刻的联系，而且基塔耶夫（Alexei Kitaev）提出了拓扑序在量子计算中的应用。所以在过去二十年中，拓扑序领域迎来了稳定的发展，而且现在已经成为凝聚态物理和量子计算中的重要领域之一。

不同的拓扑序不能用球面环面这种经典拓扑概念来刻画。用中国结或凯尔特结图像来描写，会比球面环面更准确。

NSR：您把拓扑序看作是理解物态的一种统一原理。这是为什么？

文：为了理解低温下的物态，我们既需要朗道的对称性破缺，也需要拓扑序。对称性破缺描述了粒子组织结构的静态模式。然而，粒子具有所谓的量子涨落，而这些涨落也具有模式。拓扑序描述这些“舞动”的模式，这也是量子材料中量子纠缠的模式。

NSR：您提出了一种叫做“弦网凝聚”的理论作为量子场论的深层原理。您能解释一下它是什么吗？

文：在凝聚态物理中有一个演生原理：物质的性质来源于其组成部分的组织方式。如果像我之前所说的，空间也可看成是量子比特所形成的一块特殊物质。所以空间也同样是演生的，其性质由形成它的量子比特的组织结构所决定。以这种观点来看，量子比特组织结构的形变就是产生电磁相互作用的光波，以及产生强相互作用的胶子。内部的拓扑序也可以具有缺陷，这些缺陷对应于电子和其他物质粒子，比如夸克。

对物质起源的主流看法是基于还原论的。这一看法认为对物质的深刻理解，可以通过把物质分解为更小更简单的组分来实现。有一些物理学家认为还原论的看法代表了一个错误的方向，并提出了演生论的看法。把空间看作一个量子比特海的弦网理论，就是演生论看法中的一个具体实现。

光波、胶子、电子和夸克也可以被看作是空间（量子比特海）的性质。我们知道，对于我们所在的空间，光波满足麦克斯韦方程组，胶子满足杨-米尔斯方程，而电子和夸克满足狄拉克方程。但是只有当空间具有某种特定的拓扑序，也就是说当组成空间的量子比特以某种特定的方式被组织起来时，以上这些事实才成立。弦网凝聚就是描述这种组织方式的一个术语。在这种情况下，数值为1的量子比特形成以某种特定方式连接的弦网。除此之外，这些弦可以四处移动，并通过翻转量子比特（它们的值可以在0和1之间转换）自由地重新连接。在这种弦网液体中，弦的密度波对应于光子和胶子的波，而弦的端点对应于电子和夸克。所以我主张具有这种弦网结构的量子比特会统一所有的基本粒子和相互作用，并能够为粒子物理的标准模型提供一个起源。

弦网理论认空间是由许许多多量子比特所组成的，其被称之为量子比特海。形成量子比特海的量子比特，必须有一个特定的量子纠缠，才能描写我们世界中所观测到的各种基本粒子，如光子、胶子、电子、夸克等。“弦网”则是描写这一量子纠缠的直观图像。我们把取值为0的量子比特看成是背景，对应于上图的黑色部分。取值为1的量子比特组成弦网结构。这些弦网还动来动去有量子涨落。这种有舞动的弦网所描写的量子纠缠就能产生我们所观测到的所有基本粒子。

弦网量子纠缠可以产生满足麦克斯韦方程的电磁波（也就是光波）。图像很简单：其实弦网液体中的弦的密度波就对应于电磁波，它满足麦克斯韦方程。自从麦克斯韦发现他的方程之后，我们花了150年才找到这一关于光起源的简单理解。以前，凝聚态物理学家研究了由粒子、自旋等等东西所组成的液体。但这些液体中的波都不满足麦克斯韦方程。能承载光波的媒介（被称之为以太）一直没有找到。现在发现，以太就是简单的弦网液体。弦网液体不仅能产生满足麦克斯韦方程的光波，还能产生满足杨-米尔斯方程的胶子波。这些各式各样的弦网密度波，是电磁相互作用、强相互作用和弱相互作用的起源。

NSR：现在有许多材料的电子结构都展现了某种拓扑特征，比如量子自旋液体、外尔半金属、石墨烯和拓扑绝缘体。这些奇异材料并不容易描述，不过您能说说它们与拓扑相关的内容吗？以及从我们实际观测的角度出发，拓扑在其中是怎么体现的？

文：最近几年，很多非常不同的现象都被称为是“拓扑的”，这也带来了一些混淆。在一篇叫做《量子拓扑物态大观》（Zoo of quantum-topological phases of matter）的文章中，我尝试去澄清这个术语。

量子自旋液体和量子霍尔液体具有拓扑序，因为它们具有对抗局域扰动（包括破坏其全部对称性的扰动）的稳定特性。举例来说，在一种特定的弦网液体中，演生的光子能携带任意小的能量，并产生长程的库伦（静电）相互作用。不论我们如何改变底层量子比特间的相互作用，我们也不能破坏这个性质。因此演生的长程库伦相互作用是一种拓扑性质。这里的“拓扑”意味着对抗任何局域扰动的稳定性。

而拓扑绝缘体就很不一样。它们的性质在一些局域扰动（比如破坏某些对称性的扰动）下不能保持稳定。因此它们的“拓扑”和拓扑序的“拓扑”含义不同。根本的区别是，拓扑绝缘体仅含有短程量子纠缠，但拓扑序具有长程量子纠缠，而这正是拓扑稳定性的来源。

至于所谓的拓扑超导体，它们一些具有拓扑序，而另一些没有。一维的p-波超导体和二维的手性p-波超导体有拓扑序，但是有时间反演对称性的拓扑超导体没有。同时，被称为外尔半金属的材料以及石墨烯具有演生的无能隙费米子，也就是说，在它们的电子态中，导带和价带之间的间隙在动量空间中的某些点可以降到零。这一性质是由对称性和拓扑共同保护的，也不是拓扑稳定的。

拓扑绝缘体有不寻常的边界性质。很多文章说拓扑绝缘体是由它们导电的边界刻画的。这种描述并不是非常准确，因为即便是非拓扑绝缘体也可以拥有导电的边界。拓扑绝缘体的特殊之处在于，它们导电的边界不会受到保持时间反演对称性的杂质影响。

我们可以看到这些所谓的“拓扑”材料的内涵非常丰富，且具有各种各样的性质。它们中的一些有拓扑序，一些有其他类型的序。仅仅用“拓扑”二字是不足以捕捉它们的本质的。

NSR：这些材料的电子态具有拓扑特性，有什么由此产生的潜在用途吗？

文：有长程纠缠的拓扑序材料（topologically ordered material），例如分数量子霍尔液体和p-波拓扑超导体，可以被用来制造拓扑量子计算机。具有完美导电边界态的拓扑序材料也可以应用在电子器件中。然而，现有的拓扑序材料仅存在于非常低的温度或者非常强的磁场中。为了实际应用，我们需要寻找能在较高温以及较弱磁场中存在的新拓扑序材料。

短程纠缠的拓扑绝缘体已经在室温和零磁场条件下实现了。它们受对称性保护的导电边界或许能被应用于电子器件。

NSR：这个领域一大引人入胜之处在于，它似乎提供了物理研究探索如何运作的一个模式，它并不是很多人所认为的那种方式。也就是说，它并不仅仅处理某种特定的系统或材料，而是使用譬如对称性破缺、临界性、无序以及现在的拓扑序这些概念。这些概念普遍适用于不同的系统和尺度。这是您看待物理的方式吗？

文：拓扑序的发展与物理中一些其他概念的发展的确很不一样。后者往往源于某种新材料或者新现象的发现。这些发现当然非常重要。但是拓扑序的发展更多源于一种思考问题的新方式以及看世界的新视角。

从某种意义上说，朗道的对称性破缺理论赋予我们听觉，给我们一种聆听和享受自然界“美妙音乐”的能力。类似的，拓扑序属于我们视觉，给我们一种观赏自然界“绚丽景象”的能力。一旦我们眼睛睁开，就能发现许多美丽的新图景。

NSR：您是否觉得，在中国人们对于拓扑物质的研究有着浓厚的兴趣？如果如此，谁是主要的推动者呢？

文：中国的物理学家和学生对拓扑物质有着非常强烈的兴趣，或许比世界上其他国家更甚。在理论方面，向涛教授的研究组（中国科学院理论物理研究所）发展了一套领先的张量网络方法，非常适合对拓扑序的数值研究。翁征宇教授（清华大学）发展了一套自旋液体的规范理论方法，同时也训练了一批世界级的博士研究生，他们成为了研究拓扑物态的重要推动力。

中国的实验学家也同样做出了一些重大的发现。薛其坤教授的研究组（清华大学）发现了反常量子霍尔效应。贾金锋教授的研究组（上海交通大学），以及高鸿钧、丁洪教授的研究组（中国科学院物理研究所）发现了马约拉纳零模（一种携带分数自由度的拓扑准粒子）的存在线索。在拓扑物质和铁基超导领域，中国物理学家们在前沿开疆扩土，亦是全球在这方面研究的重要推动力。

NSR：您是如何对这些物质产生兴趣的？什么或谁启发了您去研究它们？以及您会怎样吸引年轻研究者进入这个领域？

文：我对拓扑序的兴趣来源于我自己的好奇心，而不是它潜在的应用，我也没有什么预定的目标。在基础科学研究中，我们尝试去拓宽我们知识的版图，去发现未知。这些未知甚至都没有一个名字。一个没有名字的东西当然无法作为研究的目标。因此我的研究主要是由我认为美的东西所引导。如果我喜欢它，我就去做，而不管别人怎么想。我们注意，到底什么是美，到底往哪个方向做研究，是由在前沿的研究者来决定的，而不是由政府去决定的。至少基础科学研究应是这样开展的。对于应用研究，是工业界判断什么有用，并指导技术的发展。

我尝试吸引年轻研究者到本领域的方法是，向他们展示我看到的美景，并且和他们一起享受其中。

本文翻译自《国家科学评论》（National Science Review, NSR) ，Volume 6, Issue 2, March 2019, Pages 227–230，原标题为“Making the world from topological order”。《返朴》获授权翻译，已经文小刚本人审阅。NSR是科学出版社旗下期刊，与牛津大学出版社联合出版。如需阅读英文版，请点击“阅读原文”。

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