教好小学数学，关键要做好这一点

在我们的小学数学教学中，大多数教师十分关注小学生显性学力的培养，但对小学生隐性学力的提升却远未达到应有的重视程度。提升隐性学力有利于小学生达到最佳的数学学力状态，深度掌握小学数学的知识内容，促进小学生数学学习的可持续发展。提升小学生的数学隐性学力，需要小学数学教师树立正确的学力观，明确隐性学力的层次、方向，关注小学生数学探究的过程，并在数学教学中寓理于算、关注数学思想方法的渗透。

一

隐性学力与显性学力的关系：由两位小

学生的数学计算引发的思考

在暑假期间，遇到两位二年级刚毕业的小学生，这两位学生来自不同的学校，他们在数学计算方面迥然相异的表现引发了我的深思。

学生1：在二年级刚学过乘法，并且能够熟练背诵九九乘法表，我问他任何一个表内乘法他都能够对答如流。我又问他，12×9等于多少？他说，他不会，而且他说估计班里大多数同学都不会。

学生2：对数学有浓厚的兴趣，喜欢推理但不喜欢死记硬背。由于缺乏训练，对九九乘法表似乎不够熟练，如果问他一个表内乘法，他要略加思考才能给出答案。但如果问他表外从未学过的乘法，比如12×9、150×3等，他依然可以略加思考给出答案。由于他所有的答案都是通过推理获得的，所以他给出答案的速度稍微慢一些。

在日常生活中，我们很容易判断不同学生数学能力的高下，但对于这两个学生的数学能力的比较与评价，恐怕会引来不少的争议。如果根据日常的分数测验结果进行评价的话，第一个学生的数学成绩要稍微好于第二个学生。但是，如果我们仔细考察两位学生的数学学习兴趣和数学思维方式，我们又难以简单认同上述判断。

为了更好地分析两位学生数学学习结果的差异，并由此考察我国小学数学教学的现状，我们引入了日本教育学界广泛运用的 “学力”一词。根据日本教育学者的研究， “学力”即学生学习的结果，是指学生借助学校内外的学习过程所习得能力的总体。日本学者木下繁弥等把学力分为显性学力和隐性学力， “学力是学习学科教材的结果，表现为外显化的学业成就，即知识与技术；同时也是在掌握知识的过程中所获得的学习潜力，即学习方法、科学方法、探究能力等”。

另一位日本学者梶田叡一则运用 “四层冰山模型”形象地表述了显性学力与隐性学力的关系：露出水面的一层是显性学力——“知识与技能”“理解与记忆”，藏在水面下的三层则是支撑冰山上方显性学力的隐性学力—— “思考力和问题解决力”“兴趣与意欲”以及 “体验与实感”。

可见，显性学力主要是指 “知识与技能”，隐性学力则是指 “知识与技能”背后的 “学习方法、思维方式、情感态度和价值观”。

总结起来，我们认为隐性学力与显性学力相比较，主要体现为如下区别：

第一，显性学力是可考察、外显的学习结果，隐性学力多是难以考察、不易外显的学习结果。

第二，显性学力主要限于学生认知方面的学习结果，隐性学力还包括学生学习态度、情感、价值观方面的学习结果。

第三，在认知结果方面，显性学力多指学生知识技能方面的学习结果，隐性学力多指学生学习方法、思维方式等方面的学习结果。

第四，隐性学力主要是 “学习潜力”，表现为对将来学习的作用，而显性学力更多表现为当下学习的结果。借用朱永新教授的话来说，显性学力是看你跑得“快不快”，而隐性学力则是关注你跑得 “远不远”。可以说，具有良好隐性学力的学生在未来的学习方面会更有能力，并更加热爱这门学科。而显性学力高的学生只是暂时获得了较好的显性结果 （多体现在考试上的高分），但有可能是以丧失学生学习兴趣和灵活思维等 （隐性学力）为代价获得的。

第五，隐性学力比显性学力更根本、更重要。显性学力的获得来源于隐性学力，显性学力就像冰山水面以上的部分，隐性学力则象征着冰山水面以下的部分。每一种显性学力都对应着一种隐性学力，它们是学生同一学习结果的两个方面。所以我们在考查学生学习结果的时候，不仅要关注学生显性学力的提升，更要关注学生隐性学力的提升。

根据隐性学力与显性学力的高低，我们可以初步区分出四类学力关系，如表1所示。

由上可见，隐性学力与显性学力既有相一致的情况，又有不一致的情况，运用学力关系表，两位小学生数学学力高下区分的难题就迎刃而解了。

学生1的数学学力显然属于第二种情况：高显性、低隐性学力。这类学生主要是通过多次训练的方式掌握了数学知识，他们可能获得不错的学习成绩，却缺乏积极钻研、主动探索数学知识的动力，多是在外在压力下才努力学习数学知识的。

学生2的数学学力则属于第三种情况：低显性、高隐性学力。这类学生多是因为喜欢学习数学，而且具有很好的数学思维，但是缺乏适当的数学练习，所以，对数学知识的掌握不够熟练、扎实。

第一种情况，即高显性、高隐性学力是我们最希望学生达到的学习结果，这类学生既能获得较高的学习成绩，又具有较好的学习潜力；既对小学数学拥有强烈的学习探索兴趣，又很好地掌握了数学学习的思维方式。

第四种情况，即低显性、低隐性学力的学生既没有学习兴趣，又没有掌握小学数学的知识技能和思维方式，是所有的数学教学都会竭力避免的学习结果。

第一种情况与第四种情况孰高孰低是非常容易区分的，关键是我们在日常生活中往往把高显性、低隐性学力 （二）等同于高显性、高隐性学力 （一），由于教育中的过度训练，现实教育中，低显性、高隐性学力 （三）的学生非常罕见，而真正的高显性、高隐性学力的学生也是为数不多的。

显性学力和隐性学力既有一定的相关性，又有各自的独立性。说它们相关，是说，在发展学生显性学力的同时，隐性学力也必然会发生变化（不管是正向的还是负向的变化），每一个可考察的显性学力背后都有一种隐性学力与其相对应。

说它们相互独立，是因为显性学力和隐性学力都有其相对独立的发展路径，显性学力的发展不能代替隐性学力的发展，如果一开始我们就以损害隐性学力的方式促进显性学力的发展，即使显性学力发展得再高，隐性学力也很难提高到一个较高的程度。而相反，如果我们一开始就关注学生隐性学力的发展，即便学生没有表现出很高的显性学力，但随着数学运算熟练程度的增加，则很容易发展成为高显性、高隐性学力的人。也就是说，高显性、低隐性学力 （二）的学生比较难以达到高显性、高隐性学力 （一）的标准，而低显性、高隐性学力 （三）的学生则比较容易达到高显性、高隐性学力 （一）的标准，因为训练是比较容易做到的，而思维方式的改变、学习兴趣的培养则是较为困难的事情。

在我们现实的小学数学教学中，教师们都十分关注学生显性学力、知识技能的培养，关注小学生学习成绩的提高，却很少通过提高隐性学力的方式提高显性学力，甚至很多教师是以牺牲小学生隐性学力的方式提高他们的显性学力，由此导致的教育后果则是十分堪忧的。

二

小学生数学隐性学力的层次

为了进一步说明小学生数学隐性学力的状况，我们再举三个显性学力相近、隐性学力却处于不同层次的小学生例子，以对小学生数学隐性学力的层次作更加深入的分析。

我们以三个来自不同学校的小学生对100以内数数的掌握情况为例。对100以内的数数而言，三位小学生都达到了非常熟练的掌握程度，可以说是背诵如流。对于达到教师的考察目标——100以内的数数 （显性学力）来说，他们的差异并不太大，但是对于他们达到这样的显性目标所采用的学习策略、思维方法、学习意向性（隐性学力）来说，则存在着较大的差别。

学生3：能从1熟练数到100，但如果让他从不是1的任一个数开始往上数，他就有点不知所措了，他说，他最习惯从1开始数到100。

学生4：能从1熟练数到100，也能从任何一个数数到100，但因为老师 （包括别的教育者）没有教过100以上的数，所以100以上的数便一个也不会数。

学生5：能从1熟练数到100，也能从任何一个数数到100，老师 （包括别的教育者）没有教过100以上的数也能自己数一些。不过，他最初数的是 “一百一” “一百二”…… “一百十”，一直数到199，但因为没有人告诉他199后面是多少，他便数成了 “一百一百”。

我很好奇这个孩子的表现，便设法与他的小学数学老师取得了联系，通过与任教老师的交谈，了解到他们的数学老师擅长采用启发教学的策略。这位教师说，很多学生刚入学时，已经掌握了20到30以内的数数，但后面的数数，教师并没有采取让学生单纯记忆的做法，而是采取教师启发并鼓励学生自己往后数数的策略。例如，对于30以上的数数，教师最初只给学生示范31、32、33，然后则会停下来，启发学生往后面数，学生往往能自己接着往后数。当然，有的学生数到39（“几十九”之后如何数是100以内数数的难点）之后往往会数不下去，但教师也不直接告诉学生是40，而是启发他们，3的后面是多少呀？学生会说是4。教师接着问，那39的后面应该是几十呀？学生一般都会领悟到39后面是40。当然有的学生需要多启发几次才能掌握数数的策略。当数到后面的49时，多数学生就会下意识地运用这样的数数策略，学生总会小声自言自语地说，4的后面是5，那49的后面是50。这位教师的做法显然有利于培养学生自主探索的意识以及对数数逻辑规律的掌握。所以，学生5才会自发地探索100以上的数数，并把100以内的数数规律运用到了100以上。

“如果把知识分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识的话，则数学陈述性知识与数学方法差别最大，数学策略性知识与数学方法最为接近。”从思维方式、态度情感等隐性学力方面的差异进行分析，我们发现，上述三位小学生分别代表了小学数学隐性学力的三个层次。

学生3显然属于陈述性知识、低兴趣层次。学生3把数学当作陈述性知识学习，完全没有理解数的含义，更没有掌握数的规律，可以想象教师是以一种小和尚念经、有口无心的机械记忆方式教会他们数数的。同时，由于这种方法没有调动小学生数学学习的意义感，所以很难培养小学生对数学学习的兴趣。实际上，这个孩子并不喜欢数学学习，他经常一边哭着一边做作业 （多是一个数字写一行等机械训练），父母还在身边大声呵斥着。

学生4显然属于程序性知识、愿学层次。学生4已经能把陈述性知识转化为程序性知识或把言语信息转化为智慧技能，他较好地掌握了教师教过的数学知识和技能，并能够运用已有知识技能，按现成方案来解决数学问题，但由于没有把握数学的根本逻辑规律，所以比较缺少迁移创造能力。在学习态度上，这个学生对于数学学习并不排斥，但也没有表现出特别的兴趣。

学生5属于策略性知识 （思维方式）、乐学层次。学生5在学过1到100以后，不仅能够熟练掌握1到100这些教师已经教过的知识，而且掌握了数数背后的思维方式，能够根据数的生成规律推导出100后面的数字是什么。由于不知道100与1中间要加0，他就把101表达成了 “一百一”，因为不知道200这个概念，他就把200数成了 “一百一百”。这个数数方法来自孩子的视角和思维，虽然表达上有些不准确，却是符合数理逻辑的，表明他不仅把已经学到的逻辑规律迁移到了新的知识上，而且敢于按照已有的认知策略进行大胆的猜想、推测，并创造新的知识。同时也表明他对数学有积极的学习兴趣。这才是我们希望达到的小学数学隐性学力的层次。在我国的现实教育中，教师对小学生隐性学力的培养远未达到应有的重视程度。在对小学生隐性学力的培养方面，虽然大多数教师都能引导小学生超越陈述性知识层次、达到程序性知识层次，但能够达到策略性知识、乐学层次的仍是凤毛麟角。因此，关注隐性学力并努力提升小学生数学隐性学力的层次，是小学数学教学中不可忽视的重要课题。

三

提升隐性学力对小学生数学学习的作用

（一）

有利于小学生达到最佳的数学学力状态

正如本文第一部分对隐性学力和显性学力关系的分析，小学生对数学掌握的最佳状态是高显性、高隐性学力并重。高显性、低隐性学力的小学生比较难以达到高显性、高隐性学力的状态，而低显性、高隐性学力的小学生则比较容易达到高显性、高隐性学力的标准。因此，只有关注小学生隐性学力的提升，帮助小学生掌握数学的思想方法和良好的认知策略，具有结构化、逻辑化的思维方式，才会使小学生达到显性、隐性学力双高的最佳学力状态。

（二）

有利于小学生对数学知识的深度掌握

提升隐性学力有利于小学生对数学知识的深度掌握。隐性学力高的小学生对知识的深层结构很敏感，他们已将小学数学知识融会贯通，并按照小学数学的基本逻辑对数学知识进行加工组织，从而使各部分数学知识形成有机的整体。这使他们的知识易于提取和迁移，因此，他们能更好地和创造性地解决问题。而隐性学力低的小学生多是根据知识的表层结构来对知识进行加工，知识组织机械、松散，缺乏深层次的逻辑联系。因此，只有掌握了数学的思想方法和逻辑推理方式，才算是达到了对于小学数学的深层次掌握，才是真正拥有数学能力的小学生。 “通过深入揭示隐藏在具体知识内容背后的思维方法，可使数学教学真正 ‘讲活’‘讲懂’‘讲深’，这就是指，通过教学内容的 ‘方法论重建’，我们可以向学生展现 ‘活生生的’数学研究工作，而不是死的数学知识；也可帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；不仅能使学生掌握具体的数学知识，而且能帮助学生深入领会并逐步掌握内在的思维方法。”

（三）

有利于小学生数学学习方面的可持续发展

可持续发展与杜威特别强调的 “经验的连续性”原则有关。 “经验的连续性”原则意味着“每种经验既从过去经验中采纳了某些东西，同时又以某种方式改变未来经验的性质”。但并不表明一切经验都具有真正的或同样的教育性质，只有 “当一种特殊方面的发展有助于继续生长的时候，也只是在这个时候，它才符合教育即生长的标准”。

提升隐性学力有助于小学生数学学习经验的继续生长，有利于提高他们的学习潜力和可持续发展能力。这是因为：一方面，提升小学生的隐性学力会使他们获得良好的数学思维方式，使已经学过的知识、规律更容易迁移并创造性地运用到以后的学习中，这会使他们今后的数学学习更加深入而且相对轻松；另一方面，提升小学生的隐性学力会增强他们在数学学习中的主动性和兴趣，这对小学生终身的数学发展都是非常有益的。因此，无论是思维方式还是情感方面，提升隐性学力都有利于小学生未来数学经验的获得、数学学习方面的可持续发展，而低隐性学力小学生显性学力的获得则是以妨碍未来经验的获取为代价的。

四

小学数学教师如何提升小学生的隐性学力

（一）

应认识到隐性学力的重要作用

相比显性学力，隐性学力的培养更为重要，也更为根本。隐性学力的提升有利于小学生深度掌握数学知识、焕发数学求知的热情，并在未来的发展中表现出更大的潜力。小学数学教师如果想真正地提升数学教学的效果，就不能忽视隐性学力的培养。只有提升小学生的隐性学力，才能长久稳定地提升他们的显性学力，通过提升隐性学力来提升显性学力的方式比传统的通过训练来提升显性学力的方式具有更加深远的效果。

就像我们通常看到的那样，很多小学生能熟练掌握教师、教材规定的知识，却对跳一跳就能摘到的“桃子”却束手无策，缺少创造、迁移的能力，而一个掌握数学思想方法而又热爱数学学习的小学生，稍加训练就会在显性知识的考核中呈现出较好的结果。教师只有认识到隐性学力的作用，才会在重视小学生显性学力的同时，把隐性学力的培养放在重要地位并努力提升小学生的隐性学力。有位教师说： “三十多年教学的实践告诉我们，注重数学思想方法的渗透，在进行数学概念、公式、法则等的教学过程中，努力揭示其发生、发展与应用的全过程，并努力挖掘其中蕴含的数学思想方法因素，不但不会影响小学生数学基础知识与基本技能的掌握，反而能够帮助学生真正理解有关教学内容，促进他们更牢固地掌握基础知识，有效地形成基本技能。

（二）

要关注小学生数学探究的过程

小学数学教师不要仅依据表面标准——小学生数学技能的自动性和数学知识的数量来判断数学教育的效果，更要依据深层结果——小学生数学知识获得的过程来判断数学教育的成败。这就要求教师不仅关注小学生知识技能的获得，更要关注他们获得知识技能的方法，了解什么样的过程方法才能激发小学生的学习兴趣、探究精神。为此，小学数学教师首先要由仅研究数学教学内容转向研究小学生数学经验的前在状态、潜在状态、生活经验和发展的需要，实现由 “教书”为本转换到通过教书来 “育人”，并在此基础上活化小学数学的书本知识，使书本知识与儿童发展需要、儿童生活之间建立有机的联系，使知识呈现出生命态。 “具有内在生命态的知识，最能激活、唤起学生学习的内在需要、兴趣、信心和提升他们的主动探求的欲望及能力。”

同时，在数学教学中，不是运用小步子教学一步步地领着小学生走，而是设置相对开放的数学问题、数学情境，给小学生思考探索的空间，使数学教学由传授知识的过程转变为探索、发现真理的过程，由教师告诉小学生的过程转变为师生共同探险、共同寻求真理的过程。在这种情况下，小学生 “自然而然地能提出问题，种种假设会涌上他的心头，进一步的研究和阅读也就相继出现。他再也不用花费力气控制心思专注于课业 （因为精神分散削弱用于课业本身的力量），教材就能抓住他的心思，鼓舞他的心智，给予其思维行进的动力。真诚热情的态度乃是一种理智的力量。

（三）

应寓理于算、关注数学思想方法的渗透

为了把小学生的隐性学力提高到思维方式、策略性知识层次，小学数学教师还需要寓理于算、关注数学思想方法的渗透。可能有些教师觉得小学数学内容比较简单，主要讲算法，没有多少逻辑推理，也无所谓对数学思想方法的把握。但实际上，越是看起来简单的知识，越是蕴含着深刻的思想，因此，在小学数学中除了通过各种情境引导小学生理解数学与经验的联系，体现数学的 “生活味儿”，还要引导小学生关注数学算法的逻辑联系、体现数学的 “数学味儿”。正如我国著名数学家张景中院士所说， “小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。”

例如，加法内容的教学，当教师引导小学生通过操作实物、看图等方式初步掌握了加法的意义时，不要急于让他们通过记忆的方式达到熟练掌握的程度，而是可以启发小学生在遇到加法计算时适当运用一些推理。比如，当小学生不会5+6＝？可以先问他们5+5等于几，然后再让他们推导5+6＝？如果小学生不知道5+5等于几，也可以引导他们从5+1、5+2……依次类推，一直推到5+6＝？因为这种方法类似于小学生慢慢往上数数，所以他们没有不会的。这种方法虽然得出答案慢了一些，但是它蕴含了数学的推理方法以及变量和函数的数学思想，从而有利于培养小学生良好的数学思维方式。

减法也是如此，只不过加法是往上数数，减法是往下数数。这样，即便教师在讲20以内加减法，由于小学生学会了加减法的逻辑推理规律，所以，他们便很容易向没有学过的内容迁移。比如60+6、60-3等，小学生通过推理就会很容易得出答案。

对于乘法，则可以在小学生掌握乘法的含义并学会一些简单的乘法后，让他们自己试着往后编乘法表，比如，小学生学过2×1、2×2、2×3后，可以引导他们自己往后编乘法表。如果教师没有限制，他们编出的乘法表可能不会止于2×9就停下来，因为小学生已经学过了100以内的加法，原则上，他们编到２×50都是可能的。这样的教学方式对于表内乘法的学习可能不像熟练背诵乘法表效果那么立竿见影，但是它对提升小学生的数学思维方式，提高小学生数学学习的兴趣，培养小学生的数学探索能力和创造能力是十分有益的。在小学数学计算学习中，许多数学教师关注运用生活情境引入数学知识后的反复训练，却忽略了数学思想方法的渗透，这是导致小学生数学学力难以达到最佳状态的原因之一。

选自 |《课程·教材·教法》2016年第10期

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