高考立体几何命题分析和复习建议

静能生慧妙解之慧 2022-07-16

高考立体几何命题分析和复习建议

一、考纲中对立体几何与空间向量的要求

(1)空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;

②知道平行投影与中心投影的概念，了解空间图形的不同表示形式;

③能画出简单空间图形(长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图;

④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)

(2)点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下的公理和定理:定理1, 2,3, 4及定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补;

②理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理和性质定理:(判定定理和性质定理各4个，略)

③能运用公理、定理和己获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

④能根据定义解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的简单计算问题。

(3)空间向量及其运算

①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正夕

分解及其坐标表示;

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直;

(4)空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量的概念;

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;

③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)

④能用向量方法解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

文科在这部分内容中，共学习必修2两章按课程标准规定的课时数，文科数学总课时数是252课时，这两章的课时数是18课时，约占7%，试卷中期望的分数应是11分.而全国新课程卷考查了两个小题一个大题，分值达到了22分.可见这部分的知识虽然课时数不多，但是份量却不轻，占到总分的15%。

理科在这部分内容中，共学习必修2两章，选修2-1一章共计三章按课程标准规定的课时数，理科数学总课时数是288课时，这两章的课时数是30课时，约占10%，全国新课程的试题中这部分的分量有所加重，试题中对于对于重点内容都进行了重点考查，如线线、线面的平行与垂直、二面角等等。全国新课程卷同样考查了两个小题一个大题，分值达到了22分.占到总分的15%。

二、2014年各地高考立体几何中热点问题

纵观2014年全国各地的高考试题，对立体几何部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上:

热点一、空间几何体的结构及其三视图、直观图

三视图的考查仍是客观题命题的热点，但考查形式呈现多样化:一是几何体三视图的识别与判断;二是简单几何体的三视图与几何体的表面积、体积的求解相结合;三是组合体的三视图识别与几何体的表面积、体积的求解的综合

从形式上看，以选择、填空为主。从内容上看，柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图的还原在三年的试题中试题中频繁出现。

命题的趋势与预测:试题的难度逐步降低，今年三次模拟考试的得分情况来看，立体几何的得分率仅次于统计概率，比17题还要高。几何体的结构特征与三视图的识别是命题的热点，空间线面关系的判断往往与充要条件的判断相结合.由于理科去年没有在简单几何体的表面积、体积的求解命题，所以预计2015年的高考命题中，立体几何的客观题仍然有两道，命题的重点应为简单几何体的三视图和几何体的表面积、体积.

热点二、直线、平面的位置关系

考查线线、线面、面面平行的判定和性质多以选择题形式出现，属容易题。例如:2014年辽宁，4。

考查线线、线面、面面垂直的判定和性质主要以证明题的形式出现，例如:线线垂直、2014年福建17 (1)、江西19 (1)、辽宁19 (1)，线面垂直2014年新课标Ⅰ19（1），2014年广东，18 (1)湖南19 (1)浙江卷20 (1).线线平行:北京17 (1)线面平行:新课标全国卷Ⅱ 18 (1)湖北19 (1).，山东17 (1);等等。

热点三、空间向量在立体几何中的应用

通常各地高考试题中都有一道立体几何的综合题，处于解答题的中间位置，难度不大。用向量法来解可以降低难度，并且多数情况下传统法、向量法都可以解题。例如2014年新课标Ⅰ19（2）:2014年天津，17;湖南卷19.等等。

三、近三年高考立体几何试题特点

特点1:题量、题号、分值相对稳定

近年来高考试题中立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定，均为两道小题一道大题。分值为22分，约占总分值(150分)的15%。

特点2:考小题，推陈出新

有关立体几何的小题，其考查的重点在于基础知识。其中，三视图、点直线平面之间的位置关系等知识的试题是重点考查内容。特别是三视图，突出了对立体图形的认识，空间想象能力的要求。

特点3:考大题，全面考查

考查立体几何的解答题中，一般是考查线、面之间的平行、垂直关系，线面角、二面角(理科)，面积、体积等问题，难度属中等，主要考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用情况。其载体多为棱柱、棱锥等组合而成的多面体，解题方法趋于多样化，重视了传统方法和向量方法的有机结合。

空间线面关系的逻辑证明是文理解答题共同关注的焦点，文科以空间线面平行与垂直的证明、几何体的体积、表面积的求解为命题重点;理科第1问均为空间线面关系的证明一一多为线面平行的证明，(2)问命题的热点是二面角的求解，并且根据几何体的结构特征很容易建立空间直角坐标系，将二面角的求解转化为空间向量的有关运算.但命题的载体多样化，以锥体与柱体为重点.

四、立体几何复习的几点建议

虽然近年来新课标卷立体几何试题在命题思路和方法上有些变化，但总体上还是保持了稳定，特别是解答题均是两问:一问是证线面垂直或平行的，二问是求二面角的。所以复习备考工作有章可循，有法可依。具体方法.

1.认真研究考试说明和高考试题和教材，把握好复习的方向

即依纲靠本，控制难度，强化通性通法，提高解题能力

从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本。所以，我们在复习备考中，一定要认真研究考试说明和高考试题，依据考纲依靠课本，进行一题多解和多题一解的教学，吃透教材的实质。同时还要控制好题目的难度，不出偏题、怪题。应注重加强对典型例题的研究，挖掘题目中的隐含条件，弄清问题所表述的含义，做到对问题的真正理解，并可尝试改变题目中某些条件，认真比较它们之间的联系与区别，真正做到举一反三。在复习过程中还应该加强常规思路在解题中的应用。

2.夯实基础，狠抓规范

基础知识、基本技能、基本方法、基础练习要到位，立体几何的基本概念、公理、定理是基础;解题步

骤要规范;注重通性通法，体现“大众化”.从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”。充分利用好每次模拟考试后的讲评机会，给学生讲评分标准和答题技巧。

3.建立完整的知识网络，突出转化的数学思想

.在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干。如:为了使学生的知识网络完备，平行与垂直可以进行比较，掌握它们的异同点，以利于学生加深理解。

又比如:在复习线线平行的证明方法时，可以总结梳理出以下四个证明的定理:

①公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;

②线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行;③面面平行的性质定理:两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行;

④线面

垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

如何让学生充分理解并掌握这些知识呢?培养学生“转化”的数学思想是关键。转化(化归)思想是立体几何中核心的数学思想。在立体几何中既有位置关系之间的转化，如:证面面垂直(平行)转化为证线面垂直(平行)，再转化为证线线垂直(平行)，又有数与形的转化，如用向量法解决立体几何问题。再比如:关于角的度量，既要将异面直线成角、直线与平面成角、二面角依据概念转化为平面中的相交直线成角，又要学会将其转化为向量夹角等。

4.注重数学方法，加强学法指导

转化、化归的思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何问题的基本思想.另外还要注意重视空间想象，会识图会画图会想图，提高识图、理解图、应用图的能力，解题时应多画、多看、多想，这样才能提高空间想象能力和解决问题的能力.

立体几何是培养学生空间想象力的数学分支。在具体要求上，要把握好以下三点:

(1)培养学生识图、想图、画图的能力(包括规范图形和非规范图形);

(2)培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来;

(3)培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注。

5.理科注意合理建立坐标系，突出向量方法

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