何小亚：数学高考命题和应试刷题的密战

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数学高考命题和应试刷题的密战

华南师范大学数学科学学院何小亚

   从2004年至2015年，广东数学高考实施独立命题，笔者有幸参加了2004、2005、2006、 2007、2009、2010和2015年的数学高考命题工作，其中2009和2010年担任数学科命题组长.根据自己与广东省考试院所签署的高考命题保密协议，至今年6月10日就可解除保密协定要求.

鉴于中国当下尚未实现“考”“评”分离，应试刷题愈演愈烈的现状，作为数学高考命题的“圈内人士”，有必要与大家分享一些当年的“内幕”，引发大家进行反思、总结和讨论：面向未来的不分文科理科的新数学高考如何命题，如何备考？ 

时光倒回至2010年9月11日上午，华南师范大学数学科学学院的丁时进院长给笔者发了以下的匿名控诉信：

《是必须将广东高考命题推上广东教育的审判台，还是广东高考命题对广东教育现状 的无奈妥协？！》

一面是新课标及其课改理念的旗帜高扬，而另一面却是高考命题与课标目标理念的强盗背叛，是有意的阳奉阴违，还是对广东教育现状的无奈妥协，这个问题应该成为当前广东教育研究和社会观注的最热点，事关广东教育与社会经济发展乃至广东社会后劲支撑的命脉问题.

新课标注重过程与方法，情感态度和价值观，重视知识概念的形成和发生发展过程，通过实际问题的情景创设把学生带入问题探究的过程体验之中，甚至探究过程与思维的培养比知识本身更重要，知识只是实现课程目标的某种载体，而不能取代课程目标本身，只有这样才能真正形成和提高学生的问题解决能力与创造思维能力.但是近年来的广东高考命题与这些基本理念相距得越来越遥远，这样严重地冲击着课标理念的贯彻实施.比如近年来广东高考一味命制傻瓜题，使会做的题考生一般都可做得出来，而少量不会做的题考生一般都做不出来，这样使不同等级生源组的差距大大缩小，考题没有探究与思索价值，结果一般只要直接背住知识点直接运用就可以做出来，有人做过几届的实验，在有的班里严格按照课标的目标要求和学科自身的特点去上课，注重探索和剖析知识概念的形成和发生发展过程，而在有的班里却直接把知识概念告诉学生，要学生直接认定并记忆，然后直接运用知识概念进入例题讲解，结果在有关统考和高考当中，后者还至少不会比前者差，这就不得不归因于考试的命题有问题了，尤其是高考命题明显的就是一线教与学的指挥棒，这样严重的奸污着新课程体系与课标目标理念的定位与实施.于是在学校教与学的现实中就出现了一些荒谬强盗的畸形怪态：居然导致不少学校出现学生公然集体强制老师上课一律不要讲知识概念的形成和发生发展过程或探索剖析过程，直接把定义、概念、公式定理摆出来告诉学生，然后立即进入例题讲解，多讲些题目，而且一致还说他们初中的老师或是前任高中老师都一直是这样教的；也出现不少学校的科组或备课组统一都不许讲知识概念的形成和发生发展过程，直接亮出知识点进入例题讲解，多讲些题目.问题是这样操作还居然高考能行得通，至少还不比按课标正规要求上课的效果差，这显然并不是课标目标理念本身出了什么问题，而是高考命题的荒诞可嗤！这着实扰乱了正常的教学阵线，只是这样命题究竟是高考命题本身造成的祸根，还是迫于广东教育学生学习和教育管理现状的无奈？！

看完这封“控诉信”，笔者被“吓得”中午觉都不睡了，为了不被押上“审判台”，赶紧回复了丁时进院长的邮件：

丁院长：您好！　　

看了上述材料，有几点想法，不吐不快. 　　

1.行文表明作者属于那种十分偏激，逻辑混乱，不讲道理，乱扣帽子的愤青一族.说的是那一年的题，07年？08年？09年？10年？文科还是理科？是谁做的调查实验？如何做的？实验变量？控制变量？那么多结论的依据？　　

2.作者意见大的原因：试题容易的就会做，难的做不出来，我不知道这有什么不对.近4年的大小压轴题，除了08年的理科21题之外都是完全创新的试题，目的是考查学生的数学探究、数学发现、数学创新意识.这几年我一直通过高考命题传递这样一些信息：　　

新课程、新高考就是以问题解决为价值取向，避免机械记忆、专题模仿、套题训练，考查简单问题的求解，考查学生的数学探究、数学发现、数学问题解决和数学创新意识. 　　教数学一定要教概念的本质，教好原理的本质，教会学生阅读理解，教会学生数学探究，教会学生合情推理，教会学生问题解决. 　　

*09年为何考不好?自己复习不抓概念，不抓原理，不抓基础，不对着考纲一点一点地复习过关，去搞什么专题训练，做了那么多半生不熟的套题，没有使学生真正弄懂数学，学会数学思维，你的学生会考得好吗？　　

*训练过度，学生都练傻了，哪里还会问题解决呢？　　

*都说运算量大，哪里要你算那么多呢？只要概念清楚，会利用已知数据，不需要死算的！　　

*高一高二走马观花，高三教师不看教材，不研究考纲，只顾猜这里考，那里不考，从没有想过自己的学生真正理解考纲中的知识点没有，能考好吗？　　

*各地近三年的一模、二模、三模题，18套外省五六年的高考题，还有各种关系题、猛 料题，近百套题你做得完吗？做了有用吗？　　

*回归高一，回归高二，回归课本，回归基础是正确的方向！　　

*猜题，押题，套题，搞信息该停止了！让你的学生学懂数学吧！　　

3.于09年的平均分较低，在领导的授意之下，10年的题必须保证平均分在85分左右.文科做得很好.理科主要考虑到两万体育生转到理科.另外，个别审题专家比较执着，坚持压制理科难度，所以最后的平均分超过了90分.要是保持我原来的立体几何有三问，19题不换成应用题，理科应该能达到85分的要求. 　　

4.全省平均分要达到85分，那么就要有一定数量的基本题.这就导致差学校只抓基本容易题的教学状况，因为数学探究、数学发现合情推理是很难教的.本来学生就差，教不会而不教也是合情理的.新课程倡导的是因材施教，不是要每个学生都来研究数学. 　　

5.写这篇文章的作者估计是所谓好学校的教师.这种考法，他们应试的本领没有显现出来，经济利益受损了，着急了，发飙了！你瞧，打着新课程的旗号要来审判人啦！呵呵呵，可以理解！　　

差学生做不好创新题，情有可原，但各地重点中学的学生做不好创新题，不正好说明他们都不理解数学新课程、新高考的价值取向，教数学不知道教什么，更不知道数学玩什么，追求什么，还自以为是，悲哀啊！　　

6. 从国家角度考虑,高考是选拔性考试,难一点比容易好,能保证区分度.从学生角度考虑,学得好的希望难一点;学得差的希望容易一些;中等的学生也希望不要太难.从教师的角度考虑,三种学生的老师，三类学校的教师，三种希望.但总体还是不希望太难,否则数学教师的日子不好过.综合各方面的因素，大家已经达成共识，数学85的平均分是比较合理的.作者只是代表了全省非常少的重点中学中较功利的老师的意见，你不必在意！　　

7.任何一次大型考试很难做到让所有人均满意，只要大多数人满意即可.我们不能被少部分动机不纯的人左右.

以上仅为个人中午一气呵成的想法，没有经过仔细推敲，不对的地方，敬请批评指正.

　　顺致 　　安康！

 　　                                小亚 　　2010-9-11中午

2017年10月笔者有幸被教育部考试中心重大项目组聘为“高考评价体系研究”项目组专家，为今后的新高考做顶层设计.那么，面向未来的新高考考什么，如何考，其价值取向是什么？作为数学学科，答案已经十分清楚，那就是考数学素养！也就是要考理解，考探究，考问题解决！那么，什么是数学素养，什么是理解，什么是问题，什么是问题解决？这些核心问题需要命题者和一线的数学教师达成科学的共识.

2010年全国高考(广东卷)理科数学第21题：

设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|．

对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，

(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明：ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B)；

(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足

　　 ①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)；

   ②ρ(A,C)=ρ(C,B)．

若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．

这个压轴题就是笔者命制的. 对当年的考生而言就是一个能真正检测其数学素养的问题.此题已被《普通高中数学课程标准》作为案例23，用于说明如何考查数学核心素养.

最后，笔者提出一些问题供大家反思讨论：按照问题解决理论标准，2018年的数学高考全国Ⅰ卷中哪些试题是问题，哪些不是问题？一个学生曾经在课间问笔者：今年理科20题的题干中的表述“设每件产品为不合格品的概率都为

ρ(0)<< span="">ρ(1)，且各件产品是否为不合格产品相互独立”准确吗？　　

笔者认为，一件产品“合格”与“不合格”的属性早已确定，哪里还有什么概率问题.看来命题专家们并没有真正理解随机事件的概念. 　　

数学教学原则的反思与重构

华南师范大学数学科学学院（510631）张敏  何小亚 

  摘要：针对现有数学教学原则的不足，依据继承良好的历史传统、紧扣现代的培养目标、突出数学的学科特点、具备明确的指导作用的思路，重构数学教学原则，认为在当下，数学教学新原则体系为：数学现实原则，数学化原则，符号运算与符号理解相统一原则，演绎推理和合情推理相统一原则，数学三维目标相统一原则.

关键词：数学教学原则，反思，重构，数学现实，数学化，三维目标

1.问题的提出

作为数学教育领域中的核心问题之一，数学教学原则是数学教育研究和数学教育教与学的一个联结纽带，也是数学教育工作者一直致力于解决的重要课题.

数学教学原则是数学教育研究者通过深入研究数学教与学的规律，结合数学本质，总结出的能指导数学教学工作的基本要求，是一线教学工作者贯彻于教学过程的纲领.近三十年来，随着数学教育学科的确立，数学教学原则的研究可谓呈现百家争鸣的状况.从最初的来自于一般教育学教学原则的简单移植，到现在充满数学特色的原则或原则体系的提出，许多学者在这方面做出了很大的努力.但是，这项研究仍没结束，对数学教学原则仍值得进一步思考.                                   本世纪初，我国颁布了中小学数学课程新标准，对课程目标和教学理论都作出了重大的改革，在新的历史阶段，又有不少学者提出了新的观点：如何小亚认为：数学教学原则是符合数学学习规律，体现数学教学规律，实现数学教学目标的数学教学工作准则.张红提出新课改背景下的数学教学新原则：数学双基渗透思想方法的原则；数学知识和数学能力相互促进的原则；特殊性数学能力和一般性数学能力相互交融的原则；数学知识能力和数学情感态度相互协调的原则.

当前影响较大的数学教学原则是张奠宙先生提出的四项原则：学习数学化原则；适度形式化原则；问题驱动原则；渗透思想方法原则^[9].该原则突出数学学科特征，从数学教学的实际过程的角度进行拟定，是数学教学原则研究的一项有意义的成果.

但是在仔细研读文献[9]中关于该四项原则的内容时，仍感觉有几点困惑：困惑1：什么是数学教学原则，它包括什么内容？

困惑2：书中将数学化定义为“数学化，就是学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决问题”合适吗？

困惑3：将形式化的内容界定为“数学的形式化包括“符号化、逻辑化和公理化”三个层面”合适吗？

困惑4：所提的“适度形式化原则”在数学教学中如何适度？如何操作？由此提出以下三个研究问题：

    问题1：现有的数学教学原则存在什么问题？

    问题2：按照什么思路去重构数学教学原则？

问题3：数学教学原则新体系应该包括哪些内容？

2.数学教学原则的反思

2.1 反思之一：“学习数学化原则”到底想说什么？

1．什么是数学化？

  学习数学化原则来源于Freudenthal提出的“数学化原则”.文献[9]中认为数学化的定义是：数学化，就是学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决问题.”实际上，这一定义也许没有很好体现Freudenthal的原意，或者说并不能全面地解释数学化的真实涵义，反而容易引起歧义，让人以为数学的实质就是解决问题.

其实，Freudenthal所说的数学化（mathematization）是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化（符号化）、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程.这里的“现实性（reality）”是指真实世界（real-world）和 数学世界(math-word)的总和，而不是望文生义简单地理解为真实世界（现实世界）.

公理化（axiomatization）是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程.形式化（formalization）是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.”而关于图式化，Freudenthal在介绍完公理化、形式化后，是这样形容的：“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候.”.因此，可以认为，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构.

  建模（modeling）是数学化的一个方面，在Freudenthal的术语观中，模型是不可缺少的一种中介，建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理.

  数学化被分成两种：一种是水平数学化(horizontal mathematization)，这种数学化的过程是从背景中识别数学——图式化——形式化——寻找关系和规律——识别本质——对应到已知的数学模型(现实的,经验的)。因此，水平数学化过程就是从“生活世界”到“符号世界”的转化过程.另一种数学化是垂直数学化(vertical mathematization):是水平数学化后的数学化，是从低层数学到高层数学的数学化.因此，垂直数学化是指在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用.  

2．什么是数学化的学习？

  文献[9]写道：“当我们面对一个情境，如果是一个小学生，必须会区分该情境究竟是“加法”问题，还是“减法”问题；一个中学生则要看得出这是方程问题呢，还是函数问题？也许它是一个概率问题，或者可以归结为一个几何问题.接着，还要判断这个问题是否有解，如何解，解答是否符合实际，不断调整和反思.这种数学化的学习，和单纯记忆“知识点”，背诵题型，搞题海战术的教学是不同的.” 然而，两者有何不同，这就是数学化的学习？

  根据前面的讨论，我们认为，数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化（符号化）、图式化、建模，以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程.

3．数学建模与数学化是什么关系？数学化能力是什么？

文献[9]认为：数学化与数学建模有密切关系，但并没有给出“密切关系”的内容.而根据上文的分析，可以知道数学建模已经作为数学化的一种形式，而不只是“密切关系”的问题.而且，既然数学建模是数学化的一种形式，则建模的过程也应当有水平数学化和垂直数学化的内容.

  文献[9]认为：“数学化能力是由数学的抽象、形式化的语言特征决定的一种特殊能力.用数学解决实际问题，首先就是要将实际问题转化为用数学语言描述的数学模式.”我们认为：数学化能力包括水平数学化能力和垂直数学化能力，数学建模能力是这两种能力的综合体现.

2.2 反思之二：什么是适度形式化原则？

文献[9]对数学的形式化的说明是：数学的形式化包括“符号化、逻辑化和公理化”三个层面.这与Freudenthal的定义相差太远，上文已解释形式化是指用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.

在文献[9]第85页“2.适度形式化原则”部分，第1段讲了形式化的作用；第3、4、5段全部讲的是符号化的问题，在最后一段讲了形式化不能走极端问题，也就是说，数学教学应该追求符号的理解而不能只会演算操作.所以，这一条原则应该是理解符号的原则.另外， 通篇没有谈到如何“适度”的问题？缺乏实践操作性，一线教师难以落实！

2.3 反思之三：什么是问题驱动原则？

  在文献[9]第86页“3.问题驱动部分”，第1段讲了问题的重要性；第2段：“作为对照，语文教学则更多以阅读为基础，用情意驱动，体会表达思想感情的方式方法，借以抒发自己的内心感受，并达到与别人进行交流的目的；历史教学，则是以历史事实的叙述和评论为线索展开，最终形成正确的历史观.至于物理、化学、生物等学科，虽然也要揭示大自然的奥秘，解答许许多多的问题，但是它们多半从自然现象和实验结果出发，以物质运动的各种形态的研究为依归.以上学科中虽然也有许多问题，但是不能以“问题驱动”为原则进行教学.”这里如此肯定地认为其他学科不能以“问题驱动”为原则进行教学似乎证据不足.因为问题驱动学习（PBL）是一种以专业领域内的各种问题为学习起点，以问题为核心规划学习内容，让学生围绕问题寻求解决方案的一种学习方法.退一万步，其它学科不是以“问题驱动”为原则也说明不了数学教学就要有这一原则.

  中国的数学教学一直都是用大量的问题来驱动的，不是吗？——讲很多数学题，做很多数学作业题，练很多复习题，当今大行其道的学案中不就是——题！题！！题！！！ 

一直以来“解题教学”是我国数学教学的传统，其优点自然不必重复，但当今它已经退化为了“为应试而教”.我们的解题教学中的问题范围太窄.其实，数学问题可以分成三大类别：纯正的数学问题；真实的实际问题；数学应用题（我们把它叫做部分理想化的实际问题）.我们的解题教学层次不高，为考试而讲题、练题，非常缺乏问题解决教学！

2.4  反思之四：渗透数学思想方法原则的内容是什么?

  这一条原则讲了“在数学教学中注意内容的彼此关联，努力渗透并提炼数学思想方法，是我们应当努力运用的原则. ”但在“第五节数学思想方法的教学”中，却是思想少，方法多！中国的数学教育十分热衷于解法研究，教学现状是重解题方法，轻数学思想.一题多解大行其道就是明证. 数学思想的内涵外延等基础研究仍然十分薄弱，缺少可行性，因为至今尚未解决核心问题：到底在中学数学中应该渗透哪些数学思想？因此，这条原则的落实任重道远！！

2.5 反思后的几点结论

  根据上文分析，文献[9]中所提的以上四条教学原则：学习数学化原则；适度形式化原则；问题驱动原则；渗透数学思想方法原则.从某种角度上讲，不但没有超越Freudenthal 的教学原则，反而表现出以下几方面的遗憾：

1．最有价值的“数学现实原则”去掉了

  数学源于现实,也必须寓于现实,并且用于现实.按照Freudenthal的原意，这里的现实是指真实世界+数学世界+想象出来的世界（Rea1istic = Real-world + Formal-world of mathe+ Imagination）.

  每个人都有自己的一套“数学现实”.即“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规则和有关的数学知识结构”，其中，既含有客观世界的现实情况，也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识.

  数学教学必须从学生的数学现实开始,现实在不断地扩展,教师的任务就在于,确定各类学生在不同阶段所必须达到的“数学现实”,并随着学生们所接触的客观世界越来越广泛,了解并掌握学生所实际拥有的“数学现实”,从而据此采取相应的方法,予以丰富,予以扩展,以逐步提高学生所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围.

  这一原则的思想与中国的因材施教原则，凯洛夫的可接受性原则（是指教学的内容、方法、份量和进度要适合学生的身心发展，是他们能够接受的，但又要有一定的难度，需要他们经过努力才能掌握，以促进学生的身心发展.）以及维果茨基的最近发展区原则是一脉相承的.他认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力.两者之间的差异就是最近发展区.教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展.

  数学教学必须从学生的数学现实开始,体现了以学生为主体的建构主义教学观，建构主义者强调，要把当前的学习内容尽量与以前的经验相联系，并对这种联系认真地思考.“联系”与“思考”是意义建构的关键.

  数学教学应充分地联系学生的现实是数学教学最基本的不可缺的原则.

2．“学习数学化原则”值得商榷

  将数学化定义为“学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决问题.”是对Freudenthal 和Treffers所说的“数学化”意义的误解.数学化分水平数学化与垂直数学化，前者是从真实世界到符号世界的过程.后者是符号世界内部，从低层数学发展到高层数学的过程，是在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用.他认为形式化、公理化及模式化等这些发展数学的过程都是数学化的过程,并认为：“任何数学都是数学化的结果,不存在没有数学化的数学,不存在没有公理化的公理,也不存在没有形式化的形式.”

  数学化原则要求教师要为学生创设学习的情境.创设情境（何小亚，2014），就是为数学教学的顺利展开而设置铺垫.这种铺垫既包括真实世界的内容，也包括形式世界（或想象出来的形式）的内容，而且还可能包括其它学科的内容.因此，数学教学中不能把“创设情境”仅仅局限于简单的联系生产、生活实际.事实上，为了学习一个更高级的数学，以学生已有的数学经验为基础，设置一些相关的纯数学内容为铺垫，也是一种非常高效的“创设情境”^[11].

  对数学中基础性的、重要的、抽象的数学概念，应按照水平数学化的方式进行教学；对于已经形式化的数学，可按照垂直数学化的方式进行.而有些内容则需要用到两种方式. 例如“对数”概念引入教学的对比分析.

3．“适度形式化原则”的提法太虚，缺乏实操性

  首先，此条原则提法太虚，什么是适度，什么是不适度？在数学教学中，老师们该如何把握适度，如何操作？

其次，作者将形式化解释为“用一套表意的数学符号，去表达数学对象的结构和规律，从而把对具体数学对象的研究转化为对符号的研究，并生成演绎的体系.这就是数学的形式化.”这一界定表明，形式化就是符号化.

第三，该原则的最后一段说明：数学教学应该追求符号的理解，不能只会演算操作.

因此，建议把适度形式化原则改为符号理解的原则.

4．“渗透数学思想方法原则”并不新，厚此薄彼

    这一原则其实就是人们常说的“第三基”，但因其内容较空，思想少，方法多，数学思想的内涵外延等基础研究仍然十分薄弱，缺少可行性，因为至今尚未解决核心问题：到底在中学数学中应该渗透哪些数学思想？

    既然早已有的“第三基”可以作为教学原则，那么为什么不把“第四基”——积累基本的数学活动经验也应该做为数学教学原则之一呢？

3.数学教学原则的重构

数学教学原则的确立本来就是一个不断发展的过程，在每个时期所提出的原则都凝聚着数学教育家们的无数智慧.张奠宙先生所提出的四项数学教学原则为在新时期下研究数学教学原则指出了新的方向，但是我们对其深入的内在含义及可操作性还存在一些困惑，四项原则从整个体系来说还存在一些不够完善的地方。因此，依据 “继承良好的历史传统，紧扣现代的培养目标，突出数学的学科特点，具备明确的指导作用”的思路，重构数学教学原则体系为：数学现实原则；数学化原则；符号运算与符号理解相统一的原则；演绎推理和合情推理相统一的原则；数学三维目标相统一的原则.

3.1 数学现实原则

正如前文所述，这是数学教学的基础性原则.根据Freudenthal的观点，数学源于现实，寓于现实，并用于现实.数学教学首先应以学生现有的“数学现实”作为出发点，并能预期学生在接受教学后所应当拥有的新的“数学现实”.2011年版的《义务教育数学课程标准》的课程基本理念中也强调，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教^[13].这也是与数学现实原则相辅相成的.

3.2 数学化原则

这是数学教学的核心性原则.数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化（符号化）、图式化、建模，以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程.所有的数学学习都应当是数学化的过程.数学化的对象是数学现实，学生从原有“数学现实”水平到达新的“数学现实”水平之间所经历的过程就是数学化的过程.由于学生间的数学现实不同，数学化的层次也有所不同.通过水平数学化，学生可以把数学学习从生活世界引入到符号世界.更深层次，通过垂直数学化学生可以在符号世界中构造自己的数学体系.数学学习最终的目的不应该是仅让学生拥有一个充满数学知识的头脑，而更应该是让学生拥有一个具备的数学认知能力的头脑.而数学化正是实现这种目标的有效途径，通过这两种水平的数学化过程，学生在数学学习中可以亲身感知数学发展的过程，对培养学生的创造性思维能力有莫大的益处.

数学是一门抽象的学科，具体与抽象相结合的教学方式是数学教育工作者们一直以来所推崇的教学模式.数学化方法正是运用这种教学方式的有效工具.当学生的能力还达不到在抽象的符号世界中理解数学概念及原理时，可以先从具体的生活世界出发，通过水平数学化的方法，引入至抽象的符号世界中，比如情景教学就是这种数学化方法的很好的体现.

3.3 符号运算与符号理解相统一原则

这是对文献[9]中的“适度形式化原则”的修正.我们不否认形式化是数学的特征，而这种形式化最终却是用符号进行表达.数学是用数字、字母和运算符号，依照逻辑联结，描述数量关系和空间形式的知识体系.可以说，数学的世界就是一个符号化的世界^[14].数学离不开符号，数学处处要用到符号.英国著名数学家罗素（B.Russell，1872-1970）说过：“什么是数学? 数学就是符号加逻辑.”，而实际上，逻辑最终仍然是通过符号进行表达，可见符号在数学中的地位.因此，培养学生正确运用数学符号对数学知识进行组织和表达是数学教学中的一项重要的任务.

这里要注意符号表达的一个严谨性问题.严谨性是数学的一项基本特点.任何一个数学结论都应当以严谨正确的语言进行叙述.但是，在数学教学中，对这种严谨性的要求在不同的学习阶段时可以适当放宽.Freudenthal曾经说过：严谨性是有层次的，每一个题材存在着适合它的严谨性层次；学生应该通过这些层次而获得他们的严谨性.数学家也应根据不同的严谨性层次进行运算^[15].比如，对于极限的定义，中学教材中并没有采用数学分析中所采用的严谨的“”定义法，而采用学生易于理解的以“无限趋向于”这样的术语来定义，从严谨性的角度来看，后者当然不及前者，但却符合中学生学习的年龄特点.若硬是采用“”定义法，让学生死记硬背概念，而不理解这些符号所代表的含义，则并不是有意义的数学学习.

因此，符号的合理正确的运用，固然能使数学体系更加系统，简明和严谨.但是，我们也要重视学生在不同的学习阶段对符号的理解，采用适合于学生程度的符号体系进行教学.若不理解符号所表达的数学内容的真正内涵，则严谨的符号表达对学生来说也只是一堆枯燥无味、毫无意义的陈述.故在符号教学中我们强调符号表达和符号理解两者不能厚此薄彼，既强调符号的正确运用和表达，也强调在数学背景下的符号理解，即符号运算和符号理解相统一.

符号运算与符号理解相统一原则是数学教学的基本性原则.

3.4 演绎推理与合情推理相统一原则

毋庸置疑，数学是培养人的推理能力的一门有用的学科.但长久以来，人们一直在数学教学中过分关注演绎推理能力的培养，认为这种推理能力才是数学严谨性的最好诠译.

数学确实需要演绎推理，但从科学发现的角度来说，更需要合情推理.合情推理是符合情理（经验）但并不具有必然性的推理.大多数数学概念的提出和数学定理的发现，先是通过合情推理的方式提出假说，然后经过演绎推理论证才得出.由于我们过去太注重形式运演的演绎推理，忽视了科学发现的合情推理，所以我们的学生习惯于解答别人给的现成问题，学得越多，就越来越不会发现、提出问题和解决真正的问题^[16].

我国数学教育貌似很强，不管是国际学生评估项目PISA测试，还是国际奥林匹克数学竞赛中，我国学生在国际上的排名都是遥遥领先.但是我国能称得上国际上的顶级数学家的却极其匮乏，各门自然学科的诺贝尔奖得主也仍未出现中国大陆学者的身影.其中一个很重要的原因，我们的教育缺乏对学生的创新思维的培养，只教会学生怎么解题，而且是解有固定答案的现成的题，而缺乏发现问题和提出问题的能力.

要改变这种状况，我们应当把合情推理的教学摆在一个极其重要的层面上. 合情推理和演绎推理是数学教学中都应该重视的两种推理.在数学教学中，应做到演绎推理和合情推理相统一，这是数学教学中的创新要求原则.

3.5 数学三维目标相统一原则

  虽然数学新课程改革实施了十余年，但“知识+解题能力”的应试教育依然大行其道，素质教育仍未得到真正落实. 素质教育缺失的原因可归结为如下三点：一是笔试成绩作为评价学生、老师、校长、局长、县长、市长表现的唯一标准；二是两个数学课程标准及其解读对三维目标的内涵、要素和要求都没有进行操作性的界定；三是数学教学中三维目标的缺失.

  另一方面，当前国际数学教育改革的大趋势是以培养和提高学生的数学素养为根本目的.虽然关于数学素养的定义仍没有完全统一，但有一点是国内外数学教育研究均达成共识的：仅有丰富数学知识和数学技能不能称为具有数学素养，而更应包含有数学能力和数学情感等因素.何小亚(2015)认为：数学素养是指学生为了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体. 按照学生获得的先后顺序和难易程度，数学素养的表现水平可以由低到高分成三个层次：数学知识与技能、数学过程与方法和数学情感态度价值观^[17].

   因此，我们提出数学三维目标相统一的原则，对三维目标不能厚此薄彼.

在这三维目标中，知识与技能指的是数学基础知识和数学基本技能.是数学教学的基本要求.

过程与方法是指通过数学学习过程，把握数学思想方法、形成数学能力，发展数学思维和数学意识，提高问题解决能力^[18].学生通过亲身经历和体验各种数学活动，参与数学的观察、猜测、验证、推理与交流、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理，还有反思与建构等活动方式，从而达到对数学知识的意会、理解.通过这种活动经验的积累，感悟数学思想方法的运用，学生的思维能力，创新能力以及解决问题的能力获得提高.

情感态度与价值观中，情感是指在数学活动过程中的比较稳定的情绪体验.数学态度是指喜欢与否、看法立场，包括数学学科的态度（数学信念），对数学的兴趣，对数学具体内容的态度.价值观则包括宏观的价值观和数学审美观.情感态度价值观属于内隐的心理结构，不是明确知识，而是意会知识，无法通过传授而直接获得，必须通过学生的过程学习间接获得^[18] .这是三维目标中最难实现的目标，但却应该是三维目标中的最高目标.一个拥有丰富的数学知识，具有严谨的数学思维能力的人，却不一定是一个喜爱数学的人.学生有可能把学习（学好）数学，仅当作能实现另一人生目标的踏板，比如高考中数学科目获取高分，能使他有更多的机会选择自己喜爱的专业.完美的数学教育应该让学生学得快乐，学得自觉，学得成功，并能由心底里欣赏数学的美.

数学三维目标相统一的原则是数学教育的关键性原则，是追求数学素养提高的教学原则，是解决“大众不喜欢数学”^[19]问题的根本性原则.

在数学教学中，广大一线教师应以学生的数学现实为出发点，通过数学化的方法引导学生构造自己的数学世界.在数学化的过程中，培养学生良好的符号运算和符号理解能力，在发展演绎推理能力的同时，不能忽视合情推理能力的提高，而数学三维目标的实现应自始自终贯穿于整个数学教学过程当中.

参考文献：

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http://html.study.teacheredu.cn/el/proj_421/article/37004/1281521.htm?ms=1416930106808 

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[18] 何小亚. 中学数学教学设计（第二版）[M]. 北京：科学出版社,2012：20-23.

[19]Ruben hersh,Vera John-Steiner著,杨昔阳译.爱+恨 数学[M].北京:商务印书馆,2013:336. 

——此文发表于《中学数学研究》（广州），2017年第10期（上），第0-5页.

    作者之一何小亚教授简介：男，华南师范大学数学科学学院教授，教育部“国培计划”专家库首批20位数学专家，全国教育专业学位研究生教育指导委员会理科专家，全国数学教育研究会常务理事兼副秘书长，广东省中小学教师继续教育专家组成员，《数学教育学报》杂志编委，《中学数学研究》杂志副主编。主要从事数学教学和数学高考的研究。参与完成国家级、省级教育科研项目10项，在国内外刊物上发表学术论文70余篇，出版或参与出版著作20余部。

2008、2009、2015、2016年分别指导本科生林佳佳、黄泽君、张琳琳蔡晓纯夺得教育部第一、二、六、七届东芝杯师范生教学技能大赛数学组冠军。

2013、2016年分别指导本科生朱桂静、黄健获“第一、四届全国师范院校师范生教学技能竞赛”数学组冠军。

2010年被评为全国教育硕士优秀教师。

2010、2012、2015年分别指导研究生杨志龙、胡彩英、谭团花连获第二、三、四届全国教育硕士优秀论文。

2012年所主编的《中学数学教学设计》一书入选教育部“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。

参与教育部重大课题“我国基础教育和高等教育阶段学生核心素养总体框架研究”项目研究，承担教育部哲学社会科学研究重大课题攻关项目“我国高中阶段学生核心素养的模型及指标体系研究”（13JZDW009），为新的国家课程标准的制定做顶层设计。

荐读： 何小亚：2021年数学高考“评析”之我见

文章选自：唐羊老师“思维的草根”。更多优质资源可关注公众号后查看历史消息，妙解之慧由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初，高中数学优质资源，旨在：让全国各地的师生都能享受到同等优质的教育资源。平台所选文章贵在分享，公益传播，尊重原创，所选文章会注明作者姓名，来源，如不当，请文末添加微信联系处理，如转载，请注明来源。本平台：妙解之慧（ID:WanZhuanShuXue1）诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿，与数学有关的内容都可以。来稿请注明姓名或者网名、工作单位，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。文稿可发在QQ邮箱[e-mail]或添加文末微信直接发给我，感谢各位朋友的鼓励与支持。

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