好文荐读：数学文化过程及其育人价值

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作者 | 马明(南京师范大学附中)

来源 | 《课程研究与实践》，1998年第7期。

一次偶然的会上，一位老朋友对我讲：“语文教育是一个文化过程,这好理解；数学教育也是一个文化过程，就不好理解了。”言下之意，语文是文化，而数学则不是文化。
一、数学教育是一个文化过程
数学本是自然科学的一个分支，由于数学在自然科学以及社会科学的很多分支中越来越有用，更由于数学自身的发展，于是人们进一步提出,数学已超越自然科学和社会科学两个领域独立地成为现代文化的一个重要组成部分，齐民友教授在《数学与文化》一书中，自始至终地提出并论证了一个命题：“一个没有现代数学的文化是注定要衰落的”，说明数学对于人类文化的影响不仅显示在现代科技方面,更重要的是它表明了一种理性主义的探索精神，对人类文化产生了巨大的影响。
这种数学文化的价值，近几年来在数学教育界也产生反应，也被确认。1992 年和 1996年分别颁布的初,高中《数学教学大纲》在承认数学对科技的工具作用的同时，又认定数学的“内容，思想，方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分，”“对学生良好的个性品质和辨证唯物主义世界观的形成有积极作用。因此，使学生受到必要的数学教育，具有一定的数学素养。对于提高全民族素质,为培养社会主义建设人才奠定基础是十分必要的。”( 见数学教学大纲》)P1)
从此在数学教育中“数学是文化”被确认了，对它的育人价值也做出规定。
教育或教学，其本质是过程。这一点我在1991年发表的“数学教学及其本质”一文中，曾从中学数学教学近四十年的发展历史中提出过。没有过程就没有教育，教育乃是受教育者延续不断的身心发展过程。
数学是文化。教育的本质是过程。因此，从本质上讲，数学教育乃是一个文化过程。
二、以“文化过程”透视“数学教育”
将数学教育视为文化过程，把数学教育放在文化过程中去思考、去审视，是具有现实意义的。
自16、17世纪以来，对文化一词的解说不下百十种,而文化的真实涵义何在?
茶、咖啡、可可是当今世界三大饮料，其中,茶最接近人类文化。我国历来有客来敬茶和以茶代酒的习俗，而饮茶也历来有雅、俗之分，“品”为雅“喝”为俗。品茶可用备、洗、取、沏、端、饮、斟、清八个字来概括。仅“备”一字，除去备茶叶、备开水、备茶具外,还要备品茶时的环境。而“沏”一字，讲究就更大了，沏茶时手势动作要轻柔持重，倒开水时要高冲低调，上下拉三次(凤凰三点头)，目的是使茶叶均匀吸水,有利于茶叶在杯中显色、透香，此时还要仔细辨别沏茶的水声和茶叶吸水的吱吱声,再观察茶叶(像朵花样) 从浮到沉的形态变化,其间过程跌宕起伏,引人遐思，........。
然而“喝茶”与“品茶”的真实差别何在?其起点(喝) 相同,其终点(止渴) 也相同。止渴作用是外在的，看得见、摸得着、用外在尺度可测知的,而其间过程相去甚远，“品茶”具备一个延续不断、跌宕起伏的过程( 称之为延宕过程)，具有丰富的育人价值，是内在的，看不见、摸不着、只有用内在尺度始可测知的，因此,文化的真实涵义不仅在于它的工具作用(外在的)，更在于它的育人作用(内在的)。而这种内在的育人作用需由一个延宕过程始能完成。
古今中外，数学教育倍受人们厚爱的原因，除了它对科技的工具作用以外,还在于这种文化过程可用来培养人的良好品质,发展人的思维能力的内在因素。为了研讨数学学科的素质教育,将数学教育放在文化过程中用“文化”进行透视，可以将人的思想引向深处。
饮食文化的主人是谁?陆文夫先生说“不是厨师,是吃的人。吃的人是不会滥吃，更不会大吃大喝的。"同样，教学的“主人”是谁?不是教师,而是学生。教师只能是“厨师”的位置，为“吃”的人备“菜”，并且“上菜”的序是乱不得的，更不能让学生“滥吃、大吃大喝”。可如今却反了过来: 教学的主人是教师,而真正的主人(学生) 却被逼着“滥吃”，“大吃大喝”——被动地、机械地接受知识。某地一位高考落榜,回校复读的学生给我来信说:“校长又作动员报告了,他还是以' 乱打三年出拳师’的理论为依据,要我们见题就做' 乱打三年’也能出‘拳师’嘛!我曾是‘乱打三年’的失意者,现在又要‘乱打’了，"并问我,“行吗?”
在数学教育中,学生不是“主人”，被逼着“滥吃”,这是时弊之一。
时弊之二:不把数学教育做为一个“过程”来进行，而做为“结果”来进行。不管是概念的出现，或是定理，公式、甚至一道例题的解法，为了赶进度,经常做为“结果”抛给学生。这有点像杂技团“抛盘子”节目,蹩脚演员接一个丢一个,手中始终只有一个盘子,甚至连一个也没有，我们的差生学习不也是这样吗?而这种过分压缩知识的发生、发展过程，忽视学习中思维过程的现象已形成一种时弊。1985 年，我在“从复制与发展谈数学教育的任务”一篇短文中谈到如今的教学“学生只要能复制例题就可以得高分，这种数学教学方法把数学变成一种反复再生的科目,变得枯燥无味，而且,这种数学教育让学生获得的社会行为也只能是因循，只能是屈服于外界的权威。”目前，这种弊端仍然广泛地存在。
“数学教育是一个文化过程”，它在我头脑中已盘旋多年，自从齐民友先生将他的大作《数学与文化》于1991年寄给我以后我的这种认识就更加确定了，而今，严峻的现实迫使我们不得不用历史的眼光去透视、去审视诸多弊端，这该是教育改革过程中刻不容缓的事。
三、关于育人价值
数学文化过程的育人价值应是数学教育内部固有的内容和要求，是教学大纲中可以查得到，或可以想象得到的内容和要求，而不是外加的，更不是“标签式”的，这是寻求学科育人价值应遵循的思路，也是传统教育思想的精华——教书育人的真实涵义。
数学学科教育中的德育途径不完全等同于学校的一般德育途径，而是通过数学文化过程的内在力量去促使人对世界和人生的较为透辟的理解，形成良好的个性品质。
数学教育中的智育不是图形、公式、定理的单纯积累，而是用数学科学认识世界的精神、思想、态度和方法，从各个方面去教育学生——或直接传授、或潜移默化，使学生形成一个良好的认识结构(有序的，有生长点，开放面的、而不是形式的、封闭的)和一种良好的思维品质。
同样，数学教育也必须体现对人的身体素质的促进。当然，这不是通过直接的体育训练。而是通过真、善，美去陶冶、去磨炼思考器官和促进身心的健与美。
以下从“发展个性品质”“运用数学思想方法”和“建立数学观念”三方面进一步寻求数学文化过程的育人因素。
四、发展个性品质
素质教育所刻意追求的是使受教育者形成一种内在机制——自我激励与约束的内在机制。这是不可缺少的良好个性品质。
数学内容抽象,这是由于数学总是在“不断追求最简单的、最深层次、超出人类感官所及的宇宙的根本”(《数学与文化》P5)，这种高度的抽象性在基础数学中也有反应。
从数学思维方法的发展历史看，人类懂得用文字代表数，并让文字像已知数一样地参加运算，这种代数思想是科学数学的一大进展。可是对一个初学代数的少年来说就十分抽象,就需要一个悟的过程，而这种悟的过程所产生的育人价值就是自我激励这种内在机制的逐步形成。1941年，我学习温德华氏小代数时，老师要我们“计算一个长方形的周长，已知其长为a，宽为b。”我的答案是2(a+b)，但我问老师:“长方形究竟有多大?”老师无法回答这个问题。往后,经过一段悟的过程我终于明白,“原来代数竟是这么一回事!”我仿佛变得聪明了许多，所以，教师应有一项任务——帮助学生缩短悟的过程,并培养学生的自我学习能力和自我发展能力，非常可惜，由于“复制教育”在目前教学中的广泛存在,学生这种“自我”的机会太少了。
1994年中央电视台记者在采访舞蹈家杨丽萍时曾问她:“舞蹈难学、难成名，成名后舞台生涯又很短，你是怎样看待这些问题的？”杨回答:“我没有想到这么多。在台上我是处在自我之中,要表现自我。下台后我怀念过去,但也重视现在更幻想未来。”一个人要想有所作为,没有自我,没有这种执着追求的精神是不行的。1995 年春节期间,一位学生对我讲，她爸爸退休后还时常跑学校实验室，我们不理解。昨天(新年初一)中午从实验室回家后十分高兴地讲“今天”我找到了自我，”我们对爸爸才有点了解。另一位从德国读完博士学位归国工作的学生来看我。当我问他为什么要回国工作时他的回答很干脆:“在那里，只要有点自己思想的人，总是要回来的。”所谓有自己思想的人，”也就是“自我”吧!
学生在学习上的自我意识，反映在将来工作上便是自觉性与创造性，这种育人价值应是教育者始终要追求的。
良好的个性品质还应包含另一种内在机制——自我约束。
中学数学已逐步建立在推理基础上，由这种系统的推理训练所获得的教育价值，称之谓论理价值。
一个真实的故事，卖菜人在叫喊:“我的菜根根都是好的。”买菜人随手抓一把，并给卖菜人看:“这几根并不好。”卖菜人十分恼火，双手一捧:“这不都是好的吗! 买菜人事后对我讲:“我已用反证法证明他的第一个命题是假命题，而他的第二个命题(大多数是好的)则是真命题，于是我就买了他的菜，避免一场争吵”。可见，良好的个性品质是要依靠文化来熏陶的，古希腊柏拉图本人不是数学家，但在柏拉图哲学院门口声明:“不熟悉几何学的人请勿入内”。可见，柏拉图本人已发现几何学的推理已成为推理体系，已看到这种论理价值。
这种论理价值具体表现在两方面:方面之一是培养人尊重事实。尊重科学。讲究逻辑而不迷信、不盲从,让人变得正直一些。踏实一些。实事求是一些。具有一定的科学精神方面之二是培养人懂得一个基本道理——只要遵守一些共同的准则,如原则、法律、公德等那么不同个体也可以有选择适合自己的观念与行为方式的自由。这两方面的“和”就是自我约束的内在机制。它与自我激励相辅相成，构成良好个性品质的主要内容，也是素质教育结构的支撑点,缺一不可。
五、运用数学思想方法
《数学教学大纲》还着重指出“初(高)中的基础知识是指初(高)中数学中的概念性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法 ”这说明，数学文化过程不仅向学生传授数学内容，还要阐明数学家在处理这些内容时所采用的数学思想和方法，这是数学文化过程的一个特点。揭示这一特点，是有重大意义的。对此，日本数学家、数学教育家米山国藏曾有精辟的议论:科学工作者所需用的数学知识，相对地说是不多的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必需的:数学知识可以记忆一时，但数学精神、思想与方法却永远发挥作用，可以受益终身，是数学能力之所在，是数学教育根本目的之所在。无论对于科学工作者、技术人员、还是数学教育工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识(内容)只是第二位的。数学文化过程的这一特点导致对“传授知识这一传统教学目标的深化认识，也将对“培养能力”这一教学任务赋予具体内涵，还将影响到课堂教学的实际过程。一句话，对学生智育的发展正在产生积极作用。下面将就学生的德育发展，寻求数学文化过程的育人价值。
整体原则。运动变化原则以及相互联系、相互转化等原则是《大纲》在阐述辩证唯物主义教育时指出的几个主要原则，也是常见的几种数学思想方法。
1、整体原则
西方文化在认识上经历过主客体的二元分割，而早期的一元论者，由于各自片面强调主客体一面的重要性，从各方面的角度看似乎是一元论的，但做为文化整体又是二元论的，割裂了主客体的整体相关性。马克思做了开创性的综合，将认识看作是客体通过中介作用在主体中的能动反映，这就是将主客体“二合一”的一元论。马克思的这种认识上的整体原则在《关于费尔巴哈的提纲》中也有所反映:"费尔巴哈把宗教的本质归结为人的本质，但是，人的本质并不是单个人所固有的抽象物，在其现实性上，它是一切社会关系的总和 ”这种整体原则易被东方文化认同。宋代诗人苏东坡的名句 “不识庐山真面目，只缘身在此山中，说明只有从整体上才能认识、才能把握庐山的真面目。怎样才能将诗写好?诗人陆游说，“功夫在诗外”，这也是整体思想原则的运用，婴儿认识自己母亲总是既快又准，这是因为婴儿在认识自己母亲的过程中，也是从整体上去把握的——每天喝妈妈的奶，感受到妈妈的爱。可是我们目前有些教学过程则 “把母亲支离破碎了”。
《大纲》提出，“必须注意知识的整体性，把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，以便于存储，提取和应用。”整体思想是一个十分重要的数学思想，表现在分类法、交集法，曲线系方法，基本量方法以及构造法等数学方法的具体应用。即便是一个数学问题的解决或证明，往往也是若干个三段论的有序组合。我们只能从整体上把握推理过程的序，这也是教学中让学生着重明白的地方。
经常运用整体原则，受教育者就要产生整体意识，这就是整体原则的育人价值，也是自我约束这种内在机制的表现。
一个人具备了整体意识，就能全面地看问题，在社会生活中就表现为顾大局、识大体在做局部工作时能想到整体。
一个故事。三位工人在砌砖，管理人员分别问“你在干什么?” 分别答:“在砌砖”;“在砌墙”;“在盖房子”，第三位工人被认为有整体意识，并委以重用。故事是虚构的，但它说明人在做同一件事时有否整体意识，差别是很大的。我国社会主义建设中让国民形成这种意识，对于增强事业心，培养集体主义精神，会起到很大的作用。
2、运动变化原则
数学文化不仅要求学习者从整体上去把握，还要求在运动变化中去把握，这也是符合辩证唯物主义认识论的。
事物在发展过程中，其本质部分是不变的，否则该事物就要转化为他事物。数学家最关心的不是变化本身，而是事物在运动变化中不变的部分，不变的部分才是事物的本质。
三角形的内角和不变定理表述了三角形的本质;多边形的本质是外角和不变;
列方程解应用题的关键在于寻求不变量；
几何中常用的方法是各种几何变换，而每种变换都有其不变量；
平移变换的不变量是与平移方向一致的直线位置不变;
旋转变换——旋转中心不变；相似变换——角是不变量;仿射变换——平行直线仍是平行直线；射影变换——直线仍是直线，但不保持平行；拓扑变换——一个圈还是一个圈。
F.克莱因把几何学的任务定义成研究运动群下的不变性。
希尔伯特证明了对于任何一个或一组二次型或高次型，都存在有限个有理整不变量与协变量，使其它的有理整不变量与协变量都可表示成它们的线性组合。
总之，数学家最关心的是不变部分，不变部分是事物的本质，寻求事物的本质是很重要的素质。列宁在《哲学笔记》中说:“规律和本质这两个概念是同一序列、同一等级的概念，因为，规律是一种具有本质性的内部联系，是现象运动中本质的东西，找到了事物的本质，也就接近于找到了它的规律。” 因此，为了寻求某事物的规律，常从寻求该事物的本质开始。
人们常说，“要全面地、本质地看问题，”这就是由“整体原则”和“运动变化原则”推出的育人价值，是每一个国民应有的素质。
3.相互联系、相互转化原则
匈牙利数学家罗莎说:“与应用科学家相比，数学家最善于使用化归方法”化归的实质就是转化，就是不断变更问题，化归方法就是促进事物转化的方法，这是由数学系统性强的特点决定的。也是《大纲》提出的要求。
可以说，有数学的地方，几乎都可以发现化归思想的运用。
有理数的四则运算法则是按下列的序进行的:
定义有理数的绝对值以后，将有理数的加(乘)法化归为算术的加、减(乘)法运算；
定义有理数的相反数以后，有理数的减法就化归为有理数加法运算；
定义不为零的有理数的倒数以后，有理数的除法就化归为有理数的乘法运算。
对数运算、复数运算等也可以类似地进行。
转化原则的育人价值表现在促使事物向有利方向转化的能力。
鸡兔同笼问题是我上小学时颇感头疼的数学题。“笼中有鸡和兔若干，其中有脚 140,有头50，问鸡兔各有多少?”我国古算书是用改变已知条件，达到化归目的的:让每只鸡呈金鸡独立状(提起一支脚)，每只兔呈玉兔拜月状(提起两支前脚)，这时笼中仍有头 50，有脚 140/2=70，为什么脚数(70)比头数(50)多出 20 呢?这是因为笼中有兔 20 只的缘故。
应该说，学生具有促使事物向有利方向转化的能力后，会变得聪明些。
六、建立数学观念
我们已看到数学思想方法的育人价值，与之相联系的则是数学观念的建立。
数学观念是指用数学的眼光去认识和处理周围事物，把数学关系变成一种思维模式。
所谓思维模式，是人们思维时所遵循的某种样板或格式。例如黑格尔的三段式(正题、反题、合题)，毛泽东的两点论，就是两种不同的思维模式。还有杨献珍的合二而一的思维模式，中国古代算卦就是《易经》的阴阳八卦的应用，是古人的一种思维模式，思维模式有些是思维者自己创造的，有些是思维者本身并不自觉地意识到，但又不等于他的思维没有模式。军事家喜欢把一切社会关系都比做打仗，用军事术语来说明各种实践活动，军事行为就成了他的一种思维模式。而数学家则善于，或习惯于把什么都归结为数学关系，数学关系就成为他的一种思维模式。笛卡儿就曾经有一个期望，要将任何种类的问题化归为数学问题再将任何种类的数学问题化归为代数问题，最后再将任何种类的代数问题化归为单个方程的求解，17 世纪初，笛卡儿就是用这种思维模式创设了解析几何方法，亦称笛卡儿模型。
这种善于或习惯于把什么都归结为一个数学关系的思维模式是一种十分重要的数学观念，或者说，这种强烈的“用数学的意识”是一种十分重要的数学观念，而这种观念与我们常讲的“数学头脑”、“数学眼光”、“数学感”，或“数学精神”，与在公民基础教育中的要求又是一致的。
1964 年秋天，在喝茶时华罗庚教授手持茶杯盖，用他深邃的数学眼光，讲了一个动人的“茶杯盖的故事”，苹果能从树上落到地上，为什么盖子掉不进茶杯里去呢?也许，你认为这很简单，“盖子比口大，当然掉不进去了”盖子比口大，是不是就一定掉不进去呢?——有一种正方体形状的茶叶盒，它的盖子是正方形，比口大，一不小心就会掉进去因为正方形的对角线比它的边长得多，可以把盖子竖起来，沿对角线方向放进去。如果茶叶盒的口改为正三角形呢?——也能掉进去(想一想，为什么?，除了口是圆形的以外，是不是都能掉进去呢?是，还是不是?华教授一边讲，一边用手指画出一个“三角拱”，说明它虽然不是圆，也具有“掉不进去”的作用，那么除了圆和三角拱以外，还有这类“掉不进去”的几何图形吗?如果有，有多少?为了回答这个“一般性问题”，就要对几何图形的宽度下定义，然后寻求“常规度图形”，发现“掉不进去”的几何图形太多了，多到不可胜数。
这种数学思维模式的思维过程是:提出问题——考察一些比较简单的情形——形成一般的概念(定义宽度)——得到一般结论，常规度图形，——......
这下一步又是什么呢?是实际应用——用三角拱形的钻头可以钻正方形的孔!而这是一位在东北某工厂工作的学生来信告诉我的。
“用数学的意识”表现在何处?主要的不只是解几道应用题，而应是数学观念的建立数学眼光的训练。这固然是数学家所应有的素质，也是公民基础教育的要求。
理论联系实际原则是重要的教学原则，强调这个原则不是要求回到“测量、制图、会计”等那种忽视基础理论，或者将此原则“简单化”的老路上去，而是要培养用数学的意识和愿望，让学生感受到，不仅教室内有数学，教室外也有数学;数学的威力不仅在考场，更在于人的自身的思维发展。
认识是从感觉和知觉开始的，但感知所能达到的领域毕竟是有限的，而思维所能达到的领域则是无限的，生长在地球上的人可以用手指去“触摸”天上的星辰，靠的是“理性的手指”，是思维着的精神使人类创造一系列物质产品和精神产品，人类一直把思维与科学努力地结合在一起，因此，恩格斯把思维着的精神誉为地球上最美的花朵，并论证了科学的发展史就是一部思维发展史。
“数学自身的发展水平在影响着人类的思维方式”(见《数学、我们、数学》丛书，前言)数学文化过程也一再表示，数学是一种方法，它能使人的思维方式合理化，严格化，程序化，养成有步骤地进行推理的习惯和能力，并用确定的、简明的语言表述，而不迷信任何权威，这不仅是一个数学家所应有的，也是一个国民所应有的素质。
七、结语
基础数学教育与科学数学教育尽管在内容和方式上不同，但从育人的高度看，同属文化过程，这种文化过程不仅给人以文化，也用自己的文化过程教育人，启迪人，发展人的素质。
“中学数学课并不是针对任何专门技术训练而开设的，它是公共文化的一部分，通过数学的学习而去培养学生的空间直觉能力与逻辑思维能力，锻炼学生运用清晰的语言去正确地表达思想的能力，因而数学教学具有伦理学与美学的效应。对于理解人类文化的发展和进一步的文明建设而言，作为普通教育中的数学教学是必不可少的一部分” 这是20 世纪初，一位数学教育家讲的话，今天读来倍觉亲切，发人深思。(见《数学家的言行录》P33)
从本质上看，中学各门学科教育都是一个文化过程。如果各门学科都能从自己的文化过程和特点出发，寻求各自的育人价值，形成一曲素质教育的交响乐，前景应是十分诱人的。
参考文献1. 初(高)中《数学教学大纲》。2. 齐民友，《数学与文化》，湖南教育出版社，1991。3. 郭思乐，《数学素质教育论》，广东教育出版社，1990。4. [美]莫里兹编著，朱剑英编译，《数学家言行录》，江苏教育出版社，1990。5. 郭思乐，《发扬数学内在的教育性--马明数学教育思想的理论特点》(文载《马明数学教育文集》)，首都师大出版社，1994。6. 沙国祥，《认识过程的思维模型》(文载《自然辩证法研究》VoL.12.N05.1996。推荐阅读：

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