数学趣览：带你欣赏数学对称之美 感悟数学魅力

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20211202，被称为神奇的对称日，对称数在数学上称为回文数，很多情侣在这一天领证，寓意着美好。朋友圈刷了屏，大家希望疫情早日散去，寄托着回归正常。今天就从回文数展开：

对称，也许是中国人最喜欢的美。

古语有云：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美。”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”。对称即是这样的美。

对称美——庄重美

建筑师梁思成曾说过：“无论东方、西方，再没有一个民族对中轴对称线如此钟爱与恪守。”放眼中国的建筑，无论是宫殿、庙宇、亭台、楼阁、园林无不有着对称之美。

对称美——平衡美

对称的美，还在于平衡与安心。古时女子穿的衣裳，绣的花鸟蝶影总是相互呼应，从不落单。

对称美——圆满美

俗话说：好事成双。中国人最喜欢成双成对的美好寓意。

因此，对称的美，亦是圆满吉祥的美。

对称美，只有中国人才懂。这一种中国美，叫对称美！

“回文数”

一：年份中的回文数：

公元纪年后的第一个“对称日”为公元1年01月01日，即10101。中国正处在西汉时期，公元元年有很多个“对称日”，1年02月01日，1年03月01日等。

继续算，会发现需要十年甚至几百年的时间才会出现“对称日”。

比如：2011年11月02日（20111120）的上一次“对称日”是2010年01月02日（20100102）

相隔1年多；再上一次的“对称日”是2001年10月02日（20100102）

相隔8年多；再之前的那次，竟然是1380年08月31日（13800831）

那时中国还处在明朝时期，相隔了两个朝代共621年左右。

当度过2010年01月02日之后，接下来的“对称日”是2011年11月02日（20111102），2020年02月02日（20200202）。

然后就是今天，2021年12月02日（20211202）。之后将是2030年03月02日，然后十年一次，直到2101年10月12日，开始下一个轮回。

据计算，从公元纪年开始到现在，2021年12月02日（20211202)，总共有515个世界完全对称日。

21世纪对称日有20011002、20100102、20111102、20200202、20211202、20300302、20400402、20500502、20600602、20700702、20800802、20900902。

二：回文数的计算：

01回文数的个数

两位数中只有9个回文数，它们是

11，22，33，44，55，66，77，88，99；

三位数中的回文数，由前两位数确定，共有9×10=90个，它们是

111，121，131，...，212，...，989，999；

类似的四位数的回文数共有9×10=90个。

一般地，n位的回文数的个数：

当n为偶数（n=2k）时，有回文数个；

当n为奇数（n=2k+1）时，有回文数个。

问题1：（2012年湖北理13）回文数是指从左读到右与从右读到左都一样的正整数。如22，121，3443，94249等。显然2位回文数有9个：11，22，33，……，99。3位回文数有90个：101，111，121，……191，202，……999。则

（1）4位回文数有      个。

（2）2n+1（n∈N+）位回文数有      个。

解法一：（归纳猜想）

易知1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90个，4位回文数有90个，5位回文数有900个，6位回文数有900个，……可猜想2n+1位回文数有9×10^n个。

解法二：（排列组合）

由对称性可知（1）、4位回文数第1、4位取同一个非零数有9种取法，第2、3位取同一个数有10种取法，所以4位回文数有9×10=90个。

（2）、2n+1位回文数的首位和末尾取同一个非零数有9种取法，其余为关于中间对称，每两位有10种取法，中间一位有10种取法，所以2n+1位回文数有9×10×10×…×10=9×10^n个。

【详细解析】（1）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9种情况，第二位有10种情况，所以4位回文数有9×10=90种。所以答案为90。

（2）解法一：由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n位每一位有10种情况，所以个数为9×10ⁿ。

解法二：可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算4位数的中间添加成对的00，11，22，……，99，因此4位数的回文数有90个。按此规律推导S_2n=10S_2n-2，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此S_2n+1=10S_2n，所以答案为9×10ⁿ。

     问题2：北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）：

A. 3699块  B. 3474块

C. 3402块  D. 3339块

02回文数猜想

任取一个自然数，与它的倒序数相加，若其和不是回文数，再与其倒序数相加，重复这一步骤，一直到获得回文数为止。例如：

图片1

于是有数学家提出一个猜想：不论开始采用什么整数，在经过有限次倒序相加步骤后，都会得到一个回文数。至今还不知道这个猜想的对错。

既是素数又是回文数的数；比如11，101，757等等，除了11以外，其余回文素数的位数都是奇数。虽然，数学家们相信回文素数有无穷多个，但这也是尚无法证明的猜想。人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数和完全四次方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多，如

都是回文数，但是人们迄今未能发现五次方以及更高次幂的回文数。充满猜想的回文数像是一座迷宫，它在等待后来的有志者去揭示其间的奥秘。

03 回文数的加减

将两个位数相同的回文数相加减，其结果有可能仍是一个回文数。例如，

56365+12621=68986，

5775-2222=3553。

1的“金字塔”

可以看出，等式的右边都是回文数。

人生难遇对称年

从11世纪到20世纪的1000年中，对称的年份只有10个，即1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881，1991，也就是说一个世纪只有一个对称年。两个对称年间隔110年，所以，一个人活到110岁，也只能遇到一个对称年。如果活到两个对称年之间，即使活到一百岁，也遇不到一个对称年。但如果生年巧，虽然年龄小，也可以遇到对称年。

只有20世纪与21世纪的对称年相隔最近，只有11年即1991年出生的孩子，只需经过11年，又可赶上一个对称年2002年，这样一生便可能赶上两个对称年了。从30世纪到31世纪也是如此。

接下来介绍下回文数在数学方面的美

 

感悟数学之美

数学存在对称美，它是一种高度的严谨与合理而达到的一种令人心旷神怡的内在和谐。这种合理与和谐，称为数学的广义对称，对称是驾驭一切的，是具有哲学高度的数学思想。

爱因斯坦说：质量能量等价，时间空间联姻。

李政道说：对称是一种平衡。

数学中的对称之美

日常学习生活中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、平面对称等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称，还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。

在数学领域中也十分常见，如：我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等。

常见轴对称图形

中心对称正弦函数  轴对称的余弦函数

图像都具有对称美

除此之外，还有许多充满对称趣味的算式：

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

再比如：

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 =123456789 87654321

语文中的对称美

回文是根据汉字语言特点创造的修辞方法，切莫把这样的作品看做“文字游戏”。因为要构造出一首回文诗，选词和巧妙的安排是需要很费心思的。下面列举几种不同形式的类似“回文”的诗、词、联:

中国最有名的回文体裁是回文诗。回文诗最有名的当属1600多年前前秦的苏若兰所做的840字《璇玑图》（后人在中间加了一个“心”字，遂成流传至今的841字璇玑图）。

       现在流传的841字璇玑图纵横各二十九字，纵、横、斜、交互、正、反读或退一字、迭一字读均可成诗，诗有三、四、五、六、七言不等，如今统计约可组成七千九百五十八首诗。例如从最右侧直行开始，随文势折返，可发现右上角红色区块外围顺时针读为

仁智怀德圣虞唐

贞志笃终誓穹苍

钦所感想妄淫荒

心忧增慕怀惨伤

而原诗若以逆时针方向读则变为

伤惨怀慕增忧心

荒淫妄想感所钦

 苍穹誓终笃志真

 唐虞圣德怀智仁

    有一种诗，顺念倒念都有意思，称这样的诗为“回文诗”。如，

云边月影沙边雁, 水外天光山外树。

倒过来读，便是

树外山光天外水, 雁边沙影月边云。

无论是从哪个方向读，意境与韵味皆在。

回文是根据汉字语言特点创造的修辞方法，切莫把这样的作品看做简单的“文字游戏”。因为要构造出一首回文诗，选词和巧妙的安排是需要很费心思的。下面列举几种不同形式的类似“回文”的诗、词、联。

苏轼的回文诗

苏东坡写过一首《题金山寺》的回文诗：

潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。

桥对寺冂松径小，巷当泉眼石波清。

迢邏远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。

遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。

让我们把这首七律由后往前读下去，就成了：

轻鸥数点千峰碧，水接云山四望遥。

晴日晚霞红蔼蔼，晓天江树远迢迢。

清波石眼泉当巷，小径松门寺对桥。

明月钓舟渔灞远，倾山雪浪暗随潮。

这不是一首与原诗意境相同的优美的七律吗？

赏花

曹鸿年

寒风晓日映沙滩，

日映沙滩竹报安。

安报竹滩沙映日，

滩沙映日晓风寒。

梅

张奕光

香暗绕窗纱﹐

半帘疏影遮。

霜枝一挺干﹐

玉树几开花。

傍水笼烟薄﹐

隙墙穿月斜。

芳梅喜淡雅﹐

永日伴清茶。

    明末浙江才女吴绛雪作《四时山水诗》也很奇物，诗云：

春景诗（莺啼岸柳弄春晴夜月明）

莺啼岸柳弄春晴，

柳弄春晴夜月明。

明月夜晴春弄柳，

晴春弄柳岸啼莺。

夏景诗（香莲碧水动风凉夏日长）

香莲碧水动风凉，

水动风凉夏日长。

长日夏凉风动水，

凉风动水碧莲香。

秋景诗（秋江楚雁宿沙洲浅水流）

秋江楚雁宿沙洲，

雁宿沙洲浅水流。

流水浅洲沙宿雁，

洲沙宿雁楚江秋。

冬景诗（红炉透炭炙寒风御隆冬）

红炉透炭炙寒风，

炭炙寒风御隆冬。

冬隆御风寒炙炭，

风寒炙炭透炉红。

回文诗中最有名的是宋代李禺写的《夫妻互忆回文诗》

 夫妻相思　　          

宋朝.李禺

枯眼望遥山隔水，　　往来曾见几心知。

壶空怕酌一杯酒，       笔下难成和韵诗。

途路阻人离别久，　   酒杯一酌怕空壶。

孤灯夜守长寥寂， 　 夫忆妻兮父忆儿。

这首诗顺着读是夫想妻的意境，讲的是一个丈夫望着山和水想着妻子，即使酒壶空了还怕喝酒，都无法下笔写诗句，在路上遇到人还说着两人离别很久的事情，妻子的消息因为没有大雁往往都很迟才能够收到，深夜独自一个人守着很寂寞，默默的回忆着妻子和孩子。

将原先的诗给倒着读一遍，都很押韵也有着另一种的意境。

夫妻相思　　          宋朝.李禺

儿忆父兮妻忆夫，　　寂寥长守夜灯孤。

迟回寄雁无音讯，  　久别离人阻路途。

诗韵和成难下笔，　　酒杯一酌怕空壶。

知心几见曾来往，　　水隔山遥望眼枯。

倒着读变成了妻想夫另一种的意境，写了儿子想起来父亲妻子也想丈夫，漠漠的一个人空守着深夜里面的那一盏灯火，很久都没有回来也没有书信寄过，这么长时间的离别都觉得道路很难，想写出诗却又觉得很难下笔描述，想喝一杯酒却又怕酒壶空了，山和水都把眼睛给望穿了也没有见到丈夫的归来。只是顺序不一样了，完全把两个人的心里都给描述了出来，真的是很厉害。

读完了上面的诗词，来做一道数学题，复习下吧

 问题3:数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是(    )

解析　三位数的回文数为ABA，

A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，…，

B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，

共有9×10＝90(个)；

其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，

B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，

其有4×10＝40(个)，

茶碗回文

从前，茶馆里用一种写有五个字的茶碗，如图1，这五个字在圆形茶碗上均匀分布一周，不论以哪个字领头，都是一句令人愉快的话：

①可以清心也

②也可以清心

③心也可以清

④清心也可以

⑤以清心也可

图2

哪一句都是赞美这店的茶好劝人喝茶的，这无异于给茶馆反复作招揽顾客的广告。

回文对联

北京有一家“天然居”的名餐馆，顾客进店，便可看见一副对联：

客上天然居，居然天上客。

顾客一见到自己居然成了天上的客人，虽然还未进餐，就产生了一种好感。这副对联不但意境好，而且是一首回文联，即将上联倒过来念，便成了下联。这种回文联又称“卷帘联”，就像现在百叶窗帘一样，既能从上往下顺放，又能从下往上倒卷。

据说清代的乾隆皇帝把这幅回文联两句并成一句，作为新的上联，看谁能对出下联？乾隆手下有一名大臣名叫纪昀（音同“匀”），居然对出了下联：

人过大佛寺，寺佛大过人。

可不是吗？人们来过大佛寺，寺庙里的佛像自然是大过人的。这种巧妙的对仗，不正体现出一种对称、和谐的美吗？

回文词

比起回文诗、回文联，回文词的难度要更大一些。清代丁澎曾写过一首《菩萨蛮》的回文词：

下帘低唤郎知也，也知郎唤低帘下。来到莫疑猜，猜疑莫到来。

道侬随处好，好处随侬道。书寄待何如，如何待寄书。

全词共八行，偶数行都是上一行倒着念而成。每行都是奇数个字（5或7个），因而，相邻的奇数行与偶数行的中间一个字都是相同的。可见作者费心费神，用词用句之巧。

顶针诗

有一种修辞方法叫“顶针”，即用前一句末尾的字（或词），作为下一句的起头。这样，同样的字（词），可以造成上下句蝉联递接的趣味。唐代大诗人李白的《白云歌送刘十六归山》，是一首以“词”顶针的诗：

楚山秦山皆白云，白云处处长随君。

长随君，君入楚山里，云亦随君渡湘水。

湘水上，女萝衣，白云堪卧君早归。

从以上列举的一些回文数与回文诗中，可见其各种情趣。然而，这种情趣又似有相通之处，是一种对称的美使人心里产生的一种愉悦。

下面给出一道用回文联编成的形成回文数的趣题，可看出其中相通的情趣。列出供大家欣赏：

图3

在上面的乘法算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请您把这道算式还原出来。这道题只有惟一的一个答案，即21978×4=87912。这个答案是猜想出来的？凑出来的？还是算出来的？请读者去想一想吧！

 中国汉字之“对称美”

     汉字，讲究内方外圆，沿着竖中线分开的话，左右都一样，这叫“对称”，我喜欢把这样的字叫“照镜子”。话说这样的汉字，是不是很多呢？如，山，火，水，田......

      自然界的万物大多是左右对称，从人体到动物、植物、器皿、建筑等，都存在左右对称的特征，很多汉字形体是对自然现实事物的描述，文字的对称形态完全反映了生活物体的形貌。因此，甲骨文和篆书中很多字都是对称字。后来，人们为了追求对称，还会刻意改变字的笔画或部件。如，唐朝时期，雕刻在古床头上的浮雕“福”字，将两个“示”旁分别雕刻在“畐”字两边，以此显得富贵、庄美。

      其实，不止这些，中国的楹联、剪纸、印章、瓷器等，都有着对称美的影子，反映了中国人独有的阴阳平衡概念和理性智慧的思维态势。

英文中的回文诗

19世纪的英国女诗人Mary Coleridge 就曾写过一首著名的回文诗 

Slowly (缓步)

Heavy is my heart, （我的心情悲戚)

Dark are thine eye. （你的眼神忧郁）

Thou and I must part ,（你我定会分离）

Ere the sun rise.（早于日出之时）

　　 
　　Ere the sun rise,（早于日出之时）
　　Thou and I must part.（你我定会分离）
　　Dark are thine eye ,（你的眼神忧郁）
　　Heavy is my heart.（我的心情悲戚）

地理中的对称美

△东西经度数相等的经线，是以0°经线和180°经线对称

纬度数相等的南北半球的纬线，是以赤道对称

△过地心的对称（即对跖点）

△地球自转的线速度变化规律，赤道最大（1670千米/秒）越往极地越小

△近日点、远日点对称

△地转偏向力的规律，南半球左偏，北半球向右偏，纬度越高，偏转越强

△正午太阳高度分布规律，由直射点纬度向南北递减

△晨线与昏线、子夜与正午对称

△纬度关于赤道对称的南北两地，一地的昼长等于另一地夜长

△关于太阳直射点对称的南北两地，正午太阳高度角相同

△在同一地点，关于12：00对称的两个时刻，太阳方位关于正午时刻的经线东西对称

△关于二至日对称的两个日期，太阳运动轨迹相同，即其昼夜长短、日出日落时间和正午太阳高度都相等

△对流层高度从赤道向两极递减

△三圈环流及气压带风带分布以赤道对称

△洋流分布模式图

△海水温度、盐度、密度分布图

△背斜部分中心老两翼新，向斜部分中心新两翼老的对称

△洋底岩石年龄新老对称以海岭中心，越往两侧越老

△等震线是以震源为中心大致成同心圈分布

△中纬度从沿海到内陆，自然带对称分布

△同一自然带海拔高度随纬度的变化规律

△非洲自然带南北对称

地理对称美一文撰稿：孙月飞

选自：中学地理课整理发布

建筑中的对称之美

建筑师梁思成曾说过：“无论东方、西方，再没有一个民族对中轴对称线如此钟爱与恪守。”

放眼中国的建筑，无论是宫殿、庙宇、亭台、楼阁、园林无不有着对称之美。

对称二字虽然简单，却是属于中国人的规矩，是一种约定俗成的美学，人们无需深入研究，更不需细致教学，皆知对称为美。 
在宫殿建筑上，对称是华丽精致的严谨庄重；对于人的性格来说，对称是映照真实的明镜，也是客观公正的理性清醒……对称之美，
是中式美学传承的典雅与精致，也是中华千年流传的品德与精神。

对称之美，透露着的是中国人对天地万物的秩序感，是中国人几千年来的平衡艺术，更是中国人对圆满和谐的追求。

对称思想

对称的广泛性

  1

自然界中的对称：

雪花—中心对称

花朵—旋转对称

蝴蝶—轴对称

  2

生活中的对称：

剪纸

天安门

倒影

  3

语文中的对称 ：            

       对偶是中国文化独有的文学形式，不仅字义要意、形、性相对等，而且字的音韵讲究平仄、长短、高低、快慢、开合相对（吟诵 ）

  4

物理中的对称：

月球的运动轨迹

  5

化学中的对称：

元素周期表

6

哲学中的对称

一分为二、对立统一

有正就有负、有大就有小

数学中的广义对称

  1

数字中的对称：回文数

  2

图形对称：      这些是可以进行量化研究的，比较哪个图形对称性多一些？谁的对称轴多即是谁的对称性多。

  3

数与数轴的对称 ：

实数与数轴上的点 存在一一对应的关系

  4  4

点集的对称：

                 数轴上点的集合比较大小    

   在（1，+∞）之中任选一点 a

 在（0,1）都有与它对应的一点1/a

  5  5

数学形式的对称：

  6

数学单元“1”思想的对称

一斤大米对应一个单价

一箱啤酒对应一个单价

  7

数学“=”同属于对称

质能方程

  8

高等数学中的对称研究：

对称集抽象群

对称的本质

对称是一种平衡

“变”中“不变”是对称的本质

  1

勾股定理：

S2=½ab

S3=½c²

S梯=½（a+b）×（a+b）

S1+S2+S3=S梯

↓

c²=a²+b²

2

圆周率：

 L是可以变得  半径r是可以变得  但是π是不变的

对称思想的应用

对称思想是一种哲学思想

对称思维具有广阔的应用

  1

图形面积的量化计算：

通过对图形的平移翻转快速求出阴影面积

2

记忆数学公式：

  3

物理：天体运行

开普勒第二定律

天体的运行：行星在单位时间内扫过的面积相等

  4

化学：晶体结构的对称性：

晶体结构的类别数量是

用高等数学“对称群”所计算得出的

  5

数学对称思维  ：阴阳，上下，前后，左右 

正向、逆向，归纳、演绎

· 渗透数学思想 

· 激发数学兴趣 

· 培养数学素养

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