三角形三条高线共点的十种证明

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众所周知，任意三角形ABC的三条中线、垂直平分线、内角平分线和高线都分别交于一点。一般称为△ABC的重心、外心、内心和垂心。当然这个是需要证明的，而且相对而言，三条高线交于一点(垂心)的证明是最难的。

本文拟对本人见到的和想到的十种证明方法做一整理，证明方法的顺序基本是按常见程度来排序的。

证明三线共点，本质上只有一种办法——同一法：即假设两个线交于一点，证明第三条线过此点即可。

具体而言，同一法通常又有两种思路。假设两条高线CF、BE交于一点H，要么证明AH⊥CB，要么设高线AD交CH于H’,证明H,H’重合，即FH=FH’即可。

当然，另外一种思路是将此三线共点问题转化为其他的容易解决的三线共点问题来证明，即以其他的三线共点结论作为引理来证明本结论。追根溯源，引理中的三线共点还是通过同一法来证明的。

思路一：

设两条高线CF、BE交于一点H，可以得到两组四点共圆，然后利用四点共圆的判定和性质，通过倒角证明AH⊥CB即可。

证明一：

设高线BE,CF交于H，

则由垂直得A,F,H,E共圆，

且B,F,E,C共圆。

则∠HAE=∠HFE=∠HBD,

则AH⊥BC,

即三条高线交于一点H。

思路二：

利用三角形的三边垂直平分线交于一点（三角形的外心，这个很容易证明）。通过过三角形三个顶点作对边平行线得到大三角形，将本问题转化为三角形的三边垂直平分线交于一点来证明。

证明二：

过A,B,C分别作BC,AC,AB平行线交于A',B',C'.

则AC’BC,B’ABC为平行四边形，

故AC'=BC=AB'，

则AD为B'C'中垂线，

同理BE为A'C'中垂线，

CF为A'B'中垂线，

由三角形三边垂直平分线交于一点，

故AD,BE,CF交于△A'B'C'的外心H，

即△ABC的三条高线交于H。

思路三：

利用四边形对角线互相垂直的充要条件为对边平方和相等（一般称为“定差幂线”定理，也称为平方差公式，此四边形可以是凸四边形也可以是凹四边形，证明不难，利用勾股定理即可证明）。由两个垂直得到两个等式，联合得到第三个等式证明垂直即可。

证明三：

设高线BE,CF交于H，

由垂直得HB^2-HA^2=CB^2-CA^2，

及HC^2-HA^2=CB^2-BA^2，

相减得HB^2-HC^2=AB^2-CA^2，

由定差幂线定理知AH⊥BC，

即△ABC的三条高线交于H。

思路四：

思路五：

利用根心定理（三个圆的根轴交于一点或者两两平行）证明：由垂直得到三组共圆，由根心定理得三条高线共点。

证明五：

由垂直得BCEF共圆,

同理CDFA,AEDB共圆,

而三条高线为此三圆的三条根轴，

根据根心定理知三条高线交于一点H。

思路六：

利用向量证明：利用两个向量垂直，则其內积为零。由两个垂直得到两个等式，再结合向量的运算得到第三个等式，即得垂直。

思路七：

设高线BE,CF交于H,算出FH，只要说明FH关于A，B对称即可得到AD过H。

证明七：

设高线BE,CF交于H,

则△BFH∼△CFA,

∴FH*FC=FA*FB,

同理若高线AD,CF交于H',

则FH'*FC=FA*FB,

故H,H'重合，

即三条高线交于一点H。

思路八：

设高线BE,CF交于H,算出CH，只要说明CH关于A，B对称即可得到AD过H。

证明八：

设△ABC外接圆半径为R。

设高线BE,CF交于H,

则△BAE∼△CHE,

∴CH=AB*CE/BE=BC*cosC/sinA=2RcosC,

同理若高线AD,CF交于H',

则CH’=2RcosC,

故H,H'重合，

即三条高线交于一点H。

思路九：

建立直角坐标系，用解析法即可证明。

证明九：

以BC，AD为x,y轴建立直角坐标系，

设坐标为A(0,a),B(b,0),C(c,0),H(0,h).

由BH⊥AC得

-h/b=c/a,

h=-bc/a,

由此表达式关于b,c对称即知CH⊥AB，

即三条高线交于一点H。

思路十：

将垂心转化为垂足三角形的内心。利用垂直得到共圆，从而得到等角，进而得到高线为垂足三角形的角平分线，利用三角形三条内角平分线交于一点得证。

证法十：

由AD、BE、CF为高线得AFDC共圆，

故∠FDB=∠BAC,

对称的有∠EDC=∠BAC,

故AD为∠EDF内角平分线。

对称的有BE平分∠DEF，

CF平分∠DFE。

由三角形的三条内角平分线交于一点（内心），

知AD、BE、CF共点于△DEF内心H，

即△ABC三条高线交于一点H。

最后对上述证明做一总结评价。

上述十种证明精彩纷呈、各有千秋，相对都比较简洁。其中证法一、七、八是直接证明的，利用共圆及相似得到一些性质完成证明，简洁明了、直击肯綮；证法二、十是通过将垂心转化为其他心（外心、内心）来证明的，移花接木、举重若轻；证法三、四、五都是利用其他引理（定差幂线、塞瓦定理、根心定理等）来完成证明的，它山之石、可以攻玉；证法六和九是利用向量和坐标系来证明的，大智若愚、大巧若拙。

一言以蔽之，上述证明的基本思路可以说都是来源于垂心的性质，几乎垂心的每一个性质都可以作为判定来证明垂心的存在性。

十种证法中，大多都是常见的。其中证法五、七、八、十是本人思考得到的，相对不是很常见，不过应该也很可能会与前人的想法“雷同”。

还有一些类似的相对复杂或者本质与上述某种证法相同的证法本文没有收录(例如利用角元塞瓦定理、利用复数或者其他坐标系等）。当然，囿于本人眼界，可能还有很多其他的巧妙的证法没有收入，本文只是抛砖引玉，希望大家斧正。

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