2018年全国高中数学联赛一试(B卷)第11题的探析

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作者：林国红   佛山市顺德区乐从中学
编辑：张小春
审核：王常斌

摘要及关键词

文章对2018全国高中数学联赛一试（B卷）第11题的解析几何试题进行深入探究，从不同的角度给出四种证法，联系课本分析试题的证法，并对试题的命题背景进行探析。

关键词：数学联赛，向量，参数方程，平面几何，命题背景

注：本文发表于《中学教研（数学）》2019年第9期.

1  题目呈现

    本赛题主要考查直线与直线平行，线段的中点，直线的斜率及椭圆等基础知识和运算求解的基本技能，突出考察学生对数量转化，运算能力，推理论证能力。作为解答题中压轴题，对考生的数学思维水平和数学素养有较高的要求。

2  证法探析

2.1证法一（向量角度）

2.2证法二（椭圆的标准方程角度）

恰好是突破口。本证法的运算量虽不小，但方法是解析几何中的常用方法，这种通性通法在数学解题中有重要作用。所以在平时的教学中要注重一般性的解题规律和方法（即通性通法），要重视知识的生成过程，尽量创设问题情境引导学生探究知识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

2.3证法三（椭圆的参数方程角度）

2.4证法四（平面几何视角）

评析:①本证法从平面几何的角度思考，借助三角形全等，勾股定理等几何性质，简化了推理和运算过程，具有直观、简捷的特点，方法新颖独到^[1]。

解析几何是用代数方法研究几何问题，其思路直接明了，我们往往注重解析几何的代数运算，轻视其几何推理。实质上解析几何问题本质是几何问题，它们本身就包含一些重要的几何性质，如果我们能挖掘出题目里面蕴含的平面几何元素，充分利用平面几何知识，往往可以避开繁琐的代数运算，使解决问题的过程得到简化，解法简洁优美，更好地揭示这些问题的几何性质。因此对于解析几何问题，应该将解析法与平面几何方法相结合，用充分的思考引领认真的计算，从而得到解决问题的最优解法，这不仅是解决解析几何问题，减少运算量的法宝，还可以更好地提高解题能力^[2]。

3.背景探析

  显然，原赛题就是以上述性质（2），（4）为背景命制的。

4.结束语

    从不同的思维角度分析同一道题目，得到不同的解题方法，一题多解的方式增加了题目涉及的知识广度，以一带多，减少了考查同样多的知识所需的题量。从数学知识的角度来看，通过解题发现知识的相互联系，体会知识之间的转化过程，从多角度地思考和发现问题，构建知识网络体系。这样，在学习基础知识、掌握基本技能的同时，能培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性以及创新性，能够使学生对学习的内容有一个整体的认识，并将知识融会贯通，举一反三，开阔眼界，活跃思维，从而提炼出数学思想与方法，这正是数学教学的核心。

    数学家波利亚说过：“掌握数学就意味着善于解题。”罗增儒教授说：“数学学习中发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动。”引导学生学会解题，是数学新课程教学的重要组成部分。同时，数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题后的回顾，遇到一道经典试题，需要从多角度、深层次探寻其解法，通法也好，巧法也罢，不单要比较其优劣，还要清楚其中的方法内涵，知晓其中的来龙去脉，方能实现试题研究价值的最大化。

参考文献

[1] 林国红，解析几何不“解析”[J]，数理天地(高中版)，2018（6）：22-23。

[2] 林国红，探究让考题更精彩----一道学考题的探究与思考[J]，中学教研（数学)，2019（4）：24-26。

[3] 林国红，一道2016 年北京大学生命科学冬令营数学试题的研究[J]，中学数学研究（华南师范大学版），2018（3）:17-18。 

本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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2.《高三解析几何解答题解题模式分析及教学建议》，广东省中学数学（高中组）优秀教育教学论文讲座稿，2019.5.18

3.《对2018年全国高联竞赛广东预赛第9题的深入探究》，发表在《数学通讯》2019.1期

4.《突出学科素养，提升应用意识》，个人学术讲座，2018.11.8

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