高一数学《二次函数含参的最值问题》教学设计

吴鸿轩乐学数韵 2022-07-17

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作者：吴鸿轩顺德区伦教中学

责编：曾菲陈万寿

审核：王常斌

写在前面：

高一数学中学习《函数的单调性与最值》后进行了一次周测考试，这是考试后进行的一堂试卷讲评课。上课老师吴鸿轩老师是刚毕业第一年任教的新教师，虽说其教学设计多少还有一定的青涩，但从他这节课的教学设计，可以引发我们更多的关于试卷讲评课课型的思考……

课堂教学设计

三、 课堂实录

师：大家拿出这次的周测试卷，看到最后一题的第二问。昨天我们一起把第二问解决了，大家还记得解题的思路吗？

生：关键是讨论对称轴与给定区间的位置关系。

师：没错，我们将这两者的关系分为三类，分别是“对称轴位于区间左侧”“对称轴落于区间内”“对称轴位于区间右侧”。由于这三种情况对应的最小值情况各不相同，所以要分类讨论，现在我们来回顾这道题的解题过程。

……

师：好，这是这道题目的解题过程。既然我们要解决最值问题，那最大值也不能漏，题目信息不变，让大家去求区间[2,4]的最大值，现在大家先独立计算。

生：（独学8分钟）

师：（巡查完成情况并对个别解疑）

……

师：我巡查了一遍，发现大家对“对称轴位于区间左侧”和“对称轴位于区间右侧”这两种情况的最大值问题都能很好很顺畅地解决，主要的障碍还是在于“对称轴落在区间内”这种情况大家比较困惑。

生：当对称轴落在区间内时，不能明确得到最大值的结果，到底是f（2）还是f（4）呢？

师：没错，我们不妨一起来看看这种情况下，最大值问题如何解决。留意到当对称轴更接近区间左端点2时，最大值为f（4）；反过来，当对称轴更接近区间右端点4时，最大值为f（2），所以这种位置关系是分类讨论的基础。下面大家小组内讨论这种微妙的位置关系如何表示。

生：（群学，分组合作，组内讨论）

师：（巡查小组讨论情况，并进行解疑）

……

师：大家经过讨论后，认为这种位置关系的分水岭在哪里，也就是说什么时候对称轴更接近2，什么时候对称轴更接近4？

生：（评学）分水岭在于区间中点3。当对称轴落在区间[2,3]内时，对称轴更加接近左端点2，此时最大值为f（4）；当对称轴落在区间[3,4]内时，对称轴更加接近右端点4，此时最大值为f（2）。

师：非常好！其实我们可以先解决对称轴距离区间左右两端点相等的情况，把最特殊的弄明白。根据位置关系可以知道，当对称轴时，对称轴与左右端点距离相等，自然就可以把剩余的情况讨论清楚。下面大家动笔写一写分类讨论的步骤。

生：（自行讨论四种情况）

师：下面大家拿出国庆假期作业（1），完成选择题第八题。

生：（独立完成）

……

师：（教师评讲）

师：（思学）通过这两道最大最小值的题目，不难看出，对于开口向上的二次函数来说，给定区间内谁距离对称轴越近，其函数值就越小，谁距离对称轴越远，其函数值就越大；反之，对于开口向下的二次函数来说，给定区间内谁距离对称轴越近，其函数值就越大，谁距离对称轴越远，其函数值就越小。

后序

通过本节课引发我们更多的关于试卷讲评课课型的思考：我们希望试卷讲评课能“由点带面”，通过对试卷一道题目的讲解将一类题目讲通透，从而完善学生的数学知识体系，锻炼学生的思维能力，让顺德区数学教育的课堂灵动着智慧的光芒！

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本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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