《任意角的三角函数》教学设计（第一课时）

易珊乐学数韵 2022-07-17

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作者：易珊佛山市顺德区国华纪念中学

责编：龙宇

审核：王常斌

一

教学内容分析

本节课是《人教A版必修四》的第一章第二节，这是一堂关于任意角的三角函数的概念课。三角函数的定义建立在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上，是本章最基本的概念，对本章内容的整体学习至关重要，是其它所有知识的出发点，起着承前启后的作用。紧紧扣住三角函数定义，可以自然地导出本章的很多内容：三角函数线、同角三角函数基本关系、诱导公式、定义域、值域及图像等。同时，三角函数作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，体现了数形结合的思想,数学抽象、直观想象等数学核心素养。

二

学生学情分析

在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值，因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，从这个角度说，新课的引入会比较容易和顺畅。但由于角的概念推广了，原先熟悉的锐角三角函数的定义也要推广到任意角，学生理解起来可能会存在困难。

三

教学目标分析

根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学与评价目标：

1.通过体验三角函数概念的产生、发展过程，积累从特殊到一般的基本活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，培养学生数学抽象素养；

2.通过对三角函数值的诱导公式(一)的推导，利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值、判断并归纳各个象限角的三角函数值符号，培养学生分析、探究、解决问题的能力，培养学生的逻辑推理素养;

3.借助单位圆理解任意角的三角函数，借助单位圆从任意角三角函数的定义认识其定义域和值域、各象限角函数值的符号以及推出诱导公式(一)，体会应用数形结合思想解决数学问题的过程，培养学生观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力，发展学生直观想象素养；

4.通过运用所学知识解决实际问题，培养学生解决问题的能力，培养学生的数学建模和数学运算等核心素养。

四

教学重点与难点

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义的由来、理解，及运用定义归纳得出各象限角的三角函数值符号、特殊角的三角函数值和诱导公式一。

教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画任意角的正弦、余弦、正切；定义的理解及应用。

五

教学方法

在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，本节课我主要采取问题导学、自主探究式、合作交流式等教学方式，“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，让学生经历从已学的锐角三角函数逐步探索、抽象出任意角的三角函数定义，教师以引导者、合作者的角色启发引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。

六

教学环节与活动

（一）复习回顾

问题2：本章第一节是如何将角的概念推广到任意角，象限角和轴线角怎样定义的？

生2：将角放在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，如果角的终边落在坐标轴上，则说这个角是轴线角。

师生活动：师生对话，学生个别回答。

设计意图：通过学生对锐角的三角函数和任意角、象限角概念的回顾，为后面在直角坐标系内探索任意角的三角函数作了铺垫，是一种推广和拓展的过程.温故知新，让学生体会知识的产生、发展过程。

（二）构建新知

师生活动：师生对话，学生思考、交流、讨论，回答老师提出的问题。

设计意图：通过5个环环相扣的问题，让学生产生认知冲突，将学生的思维引向自主探索的“再创造”过程。初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.体现了学生构建知识的能力，也是数学发现的重要思想和方法，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.

（三）理解概念

师生活动：教师引导学生思考函数的自变量、对应关系、函数值分别是什么？引导学生研究新函数的三要素，引导学生通过理解定义和观察图像思考问题。这两个问题的回答学生需要时间思考和小范围的交流讨论，教师适时点拨。

设计意图：紧扣“函数”的定义，通过对“函数值与自变量”的对应关系、定义域、值域的分析，深化对定义的理解，渗透数形结合思想。

（四）例题解析

师生活动：学生先做，学生回答，教师引导学生归纳

设计意图：通过例1和变式1，进一步加深对定义的理解，体会数形结合思想，通过例1和变式2，引导学生发现终边相同的角三角函数值之间的关系。通过变式3逆用定义解题，进一步加深对定义的理解和诱导公式通（一）

归纳：诱导公式一：

练习：完成下表：

角α	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
α的弧度数

（五）课堂小结

师生活动：教师问：本节课你都学到了什么？先由学生归纳总结，教师在学生总结的基础上进行再概括，注意思想方法的归纳

知识方面小结：三角函数的定义及其应用；三角函数的自变量、函数值、对应关系的理解；各个象限的角的三角函数值；特殊角的三角函数值；诱导公式（一）

思想方法：数形结合思想；特殊到一般思想

设计意图：对学习过程进行反思，对思想方法进行总结。

七

教学效果评价

本节课教学目标符合新课程标准要求，符合学生实际，整个教学过程围绕教学目标来展开；采用启发式教学，引导学生经历概念发生、发展的过程；因为所教授学生基础好，接受能力强，所以本节课设计容量较大，节奏较快，学生积极性高，课堂气氛活跃，从例题和练习题的完成情况看，学生能很好的掌握本节课知识，从这可以看出，本节课教学目标完成，教学效果良好。

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本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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