《函数的单调性》教学设计

艾树忠乐学数韵 2022-07-17

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作者：艾树忠佛山市顺德区青云中学

责编：林伟湛

审核：范友宝

一、教学内容分析：

本节课是人教A必修1第一章第3节的内容，是学生学习了函数的概念后学习的函数第一个性质。函数的单调性是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质，相对于初中用自然语言来刻画函数的性质抽象许多。在函数单调性的研究过程中，经历观察函数图像，结合图、表，用自然语言描述函数图像特征，用严谨的数学符号语言定义函数性质的过程。既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，是函数研究的深化与提高，也为后阶段研究函数的其他性质提供了方法依据。

二、学情分析：

1.有利因素：学生已经在初中学过一些简单函数，并在高中阶段学习了函数的概念及表示，具备画简单函数图像的能力，也了解到有些函数值会随着自变量的增大而增大（或减小）的现象。学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，少部分学生在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

2.不利因素：用准确的数学符号语言去刻画函数单调性,由直观感性的认识上升到理性的高度,从直观到抽象的转变对我们这样层次学校的高一学生来说比较困难，虽然他们的学习态度与积极性比较好，但思维的灵活性还是比较欠缺，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。

三、教学目标设置：

1.知识与技能：

（1）理解函数的单调性概念。

（2）初步掌握函数单调性的判断与证明。

（3）学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2. 过程与方法：

（1）通过实例让学生从直观感受、定性描述到定量刻画函数单调性的自然跨越，最终实现对单调性概念的提炼和定性，体验数学的严谨性。

（2）通过自主探究、合作交流，引导学生参与到问题的讨论中，并用自己的语言表达自己的思想，体验和建立数形结合、分类讨论等数学思想，发展学生的创新意识和应用意识。

3. 情感态度价值观：

（1）通过利用图形计算器辅助教学，让学生感受图像对函数的有力作用，培养学生对数学的兴趣；

（2）通过自主学习、小组合作探究，增强学生之间的合作意识，拉近学生之间、师生之间的情感距离，形成良好的学习模式与氛围；

（3）通过问题讨论，语言概括与提炼，感受表达准确与理解准确的统一。

4.学科素养：

（1）利用函数图像表示函数的单调性，培养学生直观想象的学科素养；

（2）利用数学符号语言刻画函数单调性，培养学生数学抽象的学科素养；

（3）利用单调性定义证明函数单调性，培养学生逻辑推理的学科素养。

四、教学重难点：

教学重点：函数单调性的概念、判断及证明；

教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

五、教法学法：

教法：问题引导、启发式教学法；

学法：自主探究、合作交流、互帮互助。

六、教学活动过程：

（一）创设情境激发兴趣，引入新课：

问题1：二十四节气是我国古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，古人通过它能够直观、清楚地了解一年中季节气候的变化规律，以此掌握农时，合理安排农事活动。下图是某城镇一年的气温变化图，观察图形，能得到什么信息？

学生回答：7月15日小暑达到最高气温为40℃，1月15日小寒达到最低温度，从1月小寒到7月小暑温度是逐渐上升的，从7月大暑到12月冬至温度是逐渐下降的。

问题2：生活中还有很多与数据相关的变化趋势问题，请同学们举例说明。

学生回答：股票行情，燃油价格，各城市工资收入，水位高低等

教师活动：肯定学生多角度发现函数变化规律，并纠正学生语言表述的准确性。用函数的观点看，这些数据的变化其实就是自变量变化时，函数值也随之变化；从图像上看，其变化趋势为上升或下降，这种增减性就是今天我们要研究的内容——函数的单调性。

设计意图：从生活中的实例出发，结合中华民族悠久的历史文化，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活，激发学生的学习兴趣和主动探究的精神，为后面的学习提供了指向性，让学生从图像的上升和下降来考虑。

设计意图：函数单调性的概念在直观上是“动”的，但我们可以采用数学符号语言，很严谨、很简洁地就把这种关系刻画出来，让学生经历从用“直观图像”，“自然语言”过渡到用“数学符号语言”描述函数单调性的过程，实现对函数三种形式的表示形式的认知，提升学生的抽象概括能力，是提升学生核心素养的有效途径，同时可以让学生感悟到数学符号语言的美。

问题8：有了对增函数的性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？

学生活动：通过先自主再合作，小组互助研讨解决探究问题，并展示自己的观点，可能会书写不严谨，有的也有可能不会分类。

教师活动：提出问题，放手学生解决，巡视、适当点拨，纠正学生书写不严谨的问题，板书正确的书写方法，归纳总结单调性证明的步骤：设值—作差—变形—定号—下结论。

设计意图：规范训练学生用严谨的数学符号语言证明函数的单调性，培养学生逻辑推理的学科素养，通过对正负讨论，初步培养分类讨论的数学思想，让学生体会函数单调性与函数图像之间的联系与转化。

学生活动：两位学生上台书写证明过程，其他学生自主完成，然后组内互帮互助。

教师活动：共同研讨上台两位学生的证明过程，强调书写的规范性。

设计意图：学生对用严谨的符号语言来证明函数的单调性还是比较陌生，还缺乏理解，通过这个巩固练习，进一步提升单调性概念运用的熟练度与准确度，以及书写的规范性。

（四）归纳小结提高认识，形成方法：

问题12：通过本节课的学习，你能用图像语言、自然语言以及数学符号语言描述函数在区间上单调递增的函数特征吗？

问题13：你能说说用定义证明函数单调性的步骤吗？

师生活动：学生自主回答，教师适当提醒或纠正，达成共识。

设计意图：回顾概念探究过程，体会直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认知过程，对数学概念的应用进一步提升到可操作的层面，学会严谨证明函数的单调性，巩固学生研究函数性质的学习方法，为后续学习函数其他性质做铺垫。

（五）课后作业及时反馈，螺旋上升：

设计意图：通过第1题巩固利用图像判断函数单调性的方法，进一步明确单调区间的概念；通过第2题巩固用增减函数定义证明函数单调性的方法，提升学生的代数逻辑推理能力；通过第3题引发学生的认知冲突，一是对参数k的分类讨论，二是此函数在整个定义域上是否是单调的讨论，激发学生的求知欲，从而从定义上找出合理解释，提升数学学科素养。

七、教学反思：

新课程标准指出：“数学概念教学，要关注概念的实际背景和形成过程，让学生尽力概念的形成过程。”本节课我就围绕立足概念教学培育学生核心素养这个根本展开，在教学目标上，定位“直观想象、数学抽象、逻辑推理”为本节课学科素养的培育目标，教学过程分为五个环节，层层递进，螺旋上升，利用“问题串”引导学生探究学习，开展小组合作交流，在关注概念背景中培养直观想象能力，在生成概念和方法形成中培养数学抽象能力，在探索论证和讨论交流中培养逻辑推理能力。

这节课主要时间花在“生成概念”上，关注师生互动，给时间让学生思考、交流、讨论，开展小组合作学习，互帮互助，尽可能发挥学生学习的积极能动性，激发学生的学习兴趣。

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本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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