模型 | 一文搞定初中数学9大重要几何模型（优选）

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1.【中考研究】最全初中几何模型（建议收藏）

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重要几何模型1--半角模型

模型特点

倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

如图①：

（1）∠2=1/2∠AOB；（2）OA=OB。

如图②：

连接 FB，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。

典型例题1

如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．

【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF =1/2∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．

【解析】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF．

在△ABG和△ADF中，

易证△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．

∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=1/2∠BAD．

∴∠GAE＝∠EAF．

在△AEG和△AEF中，

易证△AEG≌△AEF（SAS）．

∴EG＝EF，

∵EG＝BE﹣BG

∴EF＝BE﹣FD．

典型例题2

问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；

（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．

【解析】解：（1）CM＝AN+MN，

理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴OA＝OC，

在△CDO和△ANO中，

易证△CDO≌△ANO（SAS）

∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，

∵∠MON＝60°，

∴∠COD+∠AOM＝60°，

∵∠AOC＝120°，

∴∠DOM＝60°，

在△DMO和△NMO中，

易证△DMO≌△NMO，

∴DM＝MN，

∴CM＝CD+DM＝AN+MN；

（2）补全图形如图2所示：

CM＝MN﹣AN，

理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，

在△CDO和△ANO中，

易证△CDO≌△ANO（SAS）

∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，

∴∠DOM＝∠NOM，

在△DMO和△NMO中，

易证△DMO≌△NMO（SAS）

∴MN＝DM，

∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．

典型例题3

如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．

（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；

（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；

（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

分析

典型例题4-5

已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

【分析】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，

（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，

（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

典型例题6

（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF＝45°，BE、DF的长度是方程x²﹣5x+6＝0的两根，请直接写出EF的长；

（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长．

①EF的长为：5；

②数量关系：EF＝DF﹣BE．

【分析】（1）先证明△ABE≌△ADM，再证明△AEF≌△AMF，得到EF＝DF+BE即可；

（2）先证明△ADM≌△ABE，再证明△EAF≌△MAF，即可；

（3）直接计算△_CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．

（3）由上面的结论知：DF＝EF+BE；

∵BC＝4，DC＝7，CF＝2，

∴DF＝CD+CF＝9

∴△_CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．

即△CEF的周长为15．

①EF＝DF﹣BE＝FC+CD﹣BE＝5

②和（2）方法一样，EF＝DF﹣BE．

故答案为EF＝DF﹣BE．

重要几何模型2--将军饮马模型

重要几何模型3--弦图模型

模型特点

弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.

（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.

外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.

弦图模型典例讲解

例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.

变式练习>>>

1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.

例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=6倍根号2，求AC的长.

变式练习>>>

2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.

例题3. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D为△ABC外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD，若三角形ADC面积为4.5，求AC的长.

变式练习>>>

3．点P是正方形ABCD外一点，PB=10cm，△APB的面积是60cm²，△CPB的面积是30cm²．求正方形ABCD的面积.

例题4. 在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.

例题5. 如图，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点I在AD上，

（1）若IC⊥BE，求证：I为AD中点；

（2）若I为AD中点，求证：IC⊥BE

例题6. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=2x+b，其与x轴交于点A,与y轴交于点B，在直线l移动的过程中，直线y=4上是否存在点P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标，如不存在，请说明理由.

弦图模型小试牛刀

1.我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4根号5．则△APD的面积为多少．

2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）

（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；

（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于多少．

重要几何模型4--费马点模型

模型特点

费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.

秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

费马点最值模型典例讲解

例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.

求证：GA+GB+GC的值最小.

变式练习>>>

1．如图，点P是三角形边长为1的等边内的任意一点，求PA+PB+PC的取值范围.

注    本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．

变式练习>>>

2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.

例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．

变式练习>>>

3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

例题4. 如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x²+bx+c过A、

B两点，且与x轴交于另一点C．

（1）求b、c的值；

（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR

①求证：PG＝RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

费马点最值模型小试牛刀

重要几何模型5--隐圆模型

模型特点

1.触发隐圆模型的类型

（1）动点定长模型

（2）直角圆周角模型

（3）定弦定角模型

（4）四点共圆模型①

（5）四点共圆模型②

2.圆中旋转最值问题

隐圆模型例题讲解

例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为根号7减去1

变式练习>>>

如图，在直角三形ABC中，

∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.

例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．

变式练习>>>

2．如图，矩形ABCD

中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　

变式练习>>>

3．如图，Rt△ABC

中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．

隐圆模型小试牛刀

重要几何模型6--胡不归模型

模型特点

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使

的值最小．

【问题分析】

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH/AC=K，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

胡不归最值模型例题讲解

胡不归最值模型小试牛刀

重要几何模型7--阿氏圆模型

模型特点

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【模型来源】

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

阿氏圆最值模型例题讲解

阿氏圆最值模型小试牛刀

重要几何模型8--角含半角模型

模型特点

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

类型二：正方形中角含半角模型

角含半角模型例题讲解

角含半角模型小试牛刀

重要几何模型9--共顶点手拉手模型

模型特点

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

（1）寻找公共的顶点

（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边

（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

共顶点手拉手模型例题讲解

角含半角模型小试牛刀

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来 源 ｜王通博初中数学，转自数学第六感

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