最近特别火的“量子计算机”，出BUG了要怎么纠错？
图片来源：arXiv:2010.08699
导读
最近，量子科技的发展逐渐进入了人们的视野，其中量子计算被认为能够在大数分解等特定问题上有指数级的算力提升。但由于量子态的脆弱性，量子纠错将会是通往量子计算的必经之路。而基于玻色编码的量子纠错由于其硬件高效性，受到了人们的关注与研究。本文将介绍基于玻色编码的量子纠错，以及其在实验上的进展、遇到的困难和挑战。
总字数5239，阅读约18分钟。
作者简介：
马雨玮，2020年清华大学研究生特等奖学金获得者，清华大学交叉信息研究院2016级博士生，师从孙麓岩副教授，研究方向为超导量子计算。其多项成果发表在Nature Physics、Physical Review Letters等顶刊。曾首次成功地演示了基于玻色二项式编码的量子纠错以及可容错量子门操作，是超导量子计算领域的重要进展。
主要学术贡献
量子纠错是实现大型可容错量子计算的必要环节，但传统的量子纠错方式需要使用大量的硬件资源，编码一个逻辑比特需要上千个物理比特，以现在的技术水平难以实现，也难以用实验来探索在量子纠错中可能会出现的物理问题。这时，基于波色编码的量子纠错应运而生。这种方法用一个腔就可以编码一个逻辑比特，在实验上容易实现，也容易通过实验研究量子纠错的相关问题。
我们的主要研究贡献在于，首次在实验上实现了波色编码的其中一种编码——二项式码的量子纠错，并在此基础上实现了单比特普适量子门、两比特控制相位门以及单比特的容错相位门，也在逻辑比特的层面上演示了Ramsey实验。这一系列的实验探索了波色编码应用于实用量子计算的可能性，加深了人们对于量子纠错的理解。
一、量子计算的脆弱性
量子计算在理论上相对于经典计算在特定的问题上有指数级的计算优势，但将它应用于实际却离我们还很遥远。从物理上实现量子计算的最大困难在于量子信息的脆弱性。通常，我们会将可操控的、可测量的微观二能级系统作为量子计算机的最基础元件——量子比特，比如离子中的两个电子能级和超导电路的两个震荡模式。然而，操纵和测量都需要将这个微观系统与某个宏观系统耦合，这样就会不可避免的让量子信息慢慢的被宏观世界中的噪声所干扰。因此，虽然现在我们可以造出搭载几十个量子比特的芯片，但在对它进行了几百次诸如与非门的操作后，它原本的信息就已经丢失的差不多了，我们也就无法得知最后的计算结果。解决这个问题通常有两种方法。一种是从物理层面优化量子比特所处的环境，让它所受的干扰尽可能的小，同时减少操作时引入的错误，让门操作的保真度尽可能地提高。但这种方法往往提升有限，无法保证是否能够达到实际算法的需求；而现在，能够实现的最低的错误率距离真正可以应用还相差了10个数量级左右。因此，另一个方法，量子纠错，看上去是通往实用量子计算的必经之路。量子纠错对错误有个假设：量子系统中发生的错误是局域的。这意味着如果系统中只有一个量子比特发生错误的概率为p，那么两个比特同时发生错误的概率会正比于P2。基于这个假设，我们可以把量子信息编码到一个更大的系统中，让它不受局域的小错误的影响。这在经典计算中也有类似的对应。举一个最简单的例子，我们可以用三个比特编码一个逻辑比特，把逻辑0编码为000，把逻辑1编码为111，这样如果其中一个物理比特发生了错误，比如000变成了001，而111变成了110，我们仍然可以用多数表决的方式将001识别为逻辑0，110识别为逻辑1。现在，只有两个物理比特同时发生错误时，逻辑比特才会出错，而这个概率是个二阶小量，并且，我们可以通过继续增加比特数的方式来指数倍的降低错误率。量子纠错也是类似的原理。理论上，只要对物理比特的门操作错误率低于某个阈值，通过继续增加比特数的方式，就能让逻辑比特的错误率任意小，这样就能真正的满足任何一个量子算法的需求。
图1 表面码[1]
量子纠错码也分为很多种。目前超导量子计算领域内理论最成熟的是表面码（surface code）。它在物理上比较容易实现，每个比特只需要和近邻的四个比特耦合，因此将比特排列在一个表面上就能够实现（图1），非常契合现在成熟的半导体工艺。其次，它要求的物理比特错误率的阈值也是最宽松的，如今超导领域最好的门操作保真度已经达到了这个阈值。理论上说，现在只需要运行表面码的纠错就能够实现量子计算，但现实还没有那么简单。如果想要实现著名的Shor算法，以现在的保真度计算，我们需要将几千个物理比特编码为一个逻辑比特，而运行整个算法分解一个
22000次方的大数，则需要约两亿个物理比特。这远远超出了现在的能力水平。又由于将此编码应用于实验会牵涉到很多的细节问题，至今甚至连最小的表面码（只需17个物理比特）的实验还未有人完成。
二、玻色编码的量子纠错
由于量子纠错的实验都比较困难，有人甚至怀疑量子纠错是否真的可行。为了尽快验证量子纠错的可行性，需要找到一个更为简单的系统，能够在现有的技术水平的条件下展示量子纠错的可行性，这样也能够更快的发现和解决量子纠错应用于物理实际中会出现的问题。这时，有关玻色编码的理论和实验也应运而生。
图2 玻色编码的量子纠错
(a)超导腔中的电磁振荡模式提供了长寿命的微波光子，与之耦合的超导约瑟夫森结能够对此光子的状态进行有效地控制。(b)取超导腔提供的谐振子势中的偶数能级作为编码的逻辑空间，奇数能级作为错误空间。如果发生了光子丢失的错误，我们能够及时检错并纠错。实验结果表明纠错后光子态的寿命大幅延长。(c)控制逻辑空间与错误空间的演化，使其完全相同。这时无论何时发生错误，量子态都会在错误空间中继续演化，完成相同的演化过程。这就是“错误透明”的量子门，可以容错。
玻色编码与传统的使用比特编码的量子纠错方法有若干区别。首先，玻色编码的载体是光，可以认为是一种在谐振子势中的量子态。与量子比特只有两个能级不同，谐振子势中有无限的能级（图2b），用光子数来理解的话就是一个谐振子势中可以有任意数量的光子，以及它们的量子叠加态。这个谐振子具体可以是光纤中传播的一个光学模式，也可以是一个超导的微波腔。而这个物理系统中，主要的错误只有一种，那就是光子丢失的错误，原本N个光子会变为N-1个光子，而变为N-2个光子的概率就成为了二阶小量。利用这种错误的局域性，我们可以简单地把逻辑0编码为4个光子，逻辑1编码为2个光子。这样，即使是丢失了一个光子，我们也能通过现在是3个光子还是1个光子来区分逻辑0和逻辑1。这就是玻色码的最核心想法。可以发现，由于谐振子的无限能级，或者说无限维希尔伯特空间，我们可以只用一个超导的微波腔就编码一个逻辑比特。通过增加腔中的光子数，这个逻辑比特的错误率理论上能够到任意小。这就是玻色编码硬件高效性（hardware efficient）的由来。
然而，在实验上制备一个光子数为4的量子态并不是一件简单的事。由于谐振子中所有能级的能级差都相同，激发其中两个能级必然会引起到更高能级的激发，因此实际上我们只能简单地制备一种名为相干态的量子态，而这种相干态有着确定的光子数分布，并且不能用于上述的量子纠错。因此，玻色码的量子纠错一直没有受到关注，直到超导量子比特的出现。人们发现，只要将非线性（能级差不相同）的超导量子比特与线性的超导微波腔耦合，就能在超导腔中制备出任意的量子态，并且对它进行任意的操作。这使得谐振子势中的量子态的可操作性大幅增加，也使在超导系统中实现玻色码的量子纠错成为可能。
很快，2016年，基于猫态编码的量子纠错被耶鲁大学的实验组完成[2]。实验结果表明，纠错后的猫态编码的寿命比超导腔的单光子寿命还要长。超导腔的单光子寿命是整个超导系统中寿命最长的，而量子纠错编码会不可避免的增加量子态的光子数，这也会降低这个量子态的寿命，比如光子数为4的量子态会比光子数为1的量子态寿命短4倍。基于量子比特的量子纠错也是一样，用了更多的比特编码一个逻辑比特就会让物理上的错误变得更多。然而即便如此，在纠错后，编码的逻辑比特的表现仍然超过了系统中最好的元件，这就证明了量子纠错的有效性。并且在这个能够量子纠错的系统中，可能有更多的物理值得挖掘。
于是，我们实验室也决定在这个方向上努力。我们首先使用数值优化算法实现了对光子态的完全控制，又自主开发了基于FPGA板卡的实时反馈控制系统，能够实现反馈延迟仅340纳秒的实时反馈。基于以上技术，2018年，我们在二项式码上实现了类似的量子纠错[3]。通过对二项式编码的逻辑比特进行实时的检错和纠错，可以延长寿命从未纠错时的71微秒到200微秒，仅仅只是稍短于单光子寿命216微秒，我也在数值上分析了在哪些环节上的优化能够让这个寿命超过单光子寿命。同时我们还实现了在这个编码上的普适单量子门操作，并在逻辑比特上演示了在标定样品时常用的Ramsey实验。不久后，我们又实现了在两个逻辑比特上的控制相位门[4]，这就意味着，我们能够实现在逻辑比特层面上的普适量子计算。
三、玻色编码量子纠错的缺陷
在走通了使用逻辑比特来做量子计算这条路以后，我们再回过头来看玻色编码现有的不足之处。可以发现，虽然经过量子纠错后，玻色编码的寿命能够超过物理比特，但是在玻色编码上进行的门操作的错误率却比物理比特高很多。对于玻色编码，单比特量子门的错误率约为1%～3%，两比特量子门的错误率约为10%～20%，而对于物理比特，单比特量子门的错误率可以达到0.1%，两比特量子门的错误率可以达到0.5%。这也不难理解，对一个编码后更加庞大的逻辑比特做操作，一定会比对一个简单的物理比特做操作更难。但如果想用逻辑比特做量子计算，就需要让在逻辑比特上做的操作的错误率远低于在物理比特上的操作，并且在量子纠错的框架下，越是庞大的逻辑比特，操作的错误率应该越低。这个课题在量子纠错中被称为容错量子计算，在基于量子比特的量子纠错框架下，已经有很多成熟的理论。为了使在逻辑比特上做操作过程中发生的错误同样能够被纠正，需要精细地排布各种量子门的顺序，让错误不会在这个过程中传播开来。并且，有些量子门必须使用高纯度的某些特定的量子态作为辅助，而生成这些高纯度的量子态需要使用量子蒸馏技术。只有使用了这类复杂的技术之后，才能保证在逻辑比特上的操作错误率能够比在物理比特上的更低，而我们在玻色编码上所做的量子门并没有考虑这些，那么自然错误率就会变高。然而，对于在玻色编码上如何实现容错的量子门，却很少有理论研究。这可能是因为玻色编码算是个新兴领域吧，因此这个问题很多时候还得靠自己思考。
四、在玻色编码上实现容错的量子门
首先能想到的是由辅助比特引入的错误。为了实现对光子态的完全控制，我们引入了一个非线性的辅助超导比特，但通常，这个辅助比特的寿命会远小于超导腔中单光子的寿命。因此，做操作的过程中，辅助比特与光子态耦合在一起，辅助比特上发生的错误就会传播给光子态，引起光子态的错误。对于这个问题，已经有实验通过使用辅助比特的更高能级来减小这个错误。那么下一个问题，即便能够将辅助比特的错误压制下来，如果整个操作过程不能容忍光子态自身会发生的光子丢失的错误，那这个量子门的保真度依然会被限制，而且在这个问题上目前也没有理论研究。如果又要在实验上展示出这个效果，就必须先将辅助比特的错误压制到足够小，才能将光子态错误的影响体现出来，这难度也是比较高的。
但克服了种种困难后，这个实验还是被我完成了。为了解决操作过程中光子丢失的问题，我借鉴了“错误透明”的方法。这种方法首先在基于量子比特的量子纠错中被提出，但由于需要的多比特耦合难以实现，因此并没有被重视。然而，将这个方法借鉴到玻色编码的系统中，却变得简单很多，只需要一个腔一个比特就能实现，完美的应用了玻色编码的硬件有效性。“错误透明”的主体思想在于，将逻辑比特所处的代码空间以及出错后所处的错误空间，控制这两个空间的演化，使其完全相同，这样无论是演化过程中的什么时候发生了错误，逻辑比特都能在错误空间完成剩下部分的演化，最后的纠错就能够复原这个逻辑比特（图2c）。而为了控制这两个空间的演化，我又开发了一种新技术，通过非共振地激发辅助比特，能够调控任意光子数态的频率，这样就能调节代码空间和错误空间的频率，使其相同，实现容错的单逻辑比特相位门。又由于是非共振的驱动，辅助比特的激发数很少，因此辅助比特错误概率能被大幅的抑制。实验结果清晰的显示，应用了“错误透明”的相位门后，代码空间和错误空间的量子态的相干性都得以维持，容错的效果体现了出来[7]。
五、未来研究展望
这个实验证明了在玻色编码上做容错操作是可能的，而接下来的问题就是如何进一步的提升容错操作的保真度。虽然这个“错误透明”的相位门能够容忍光子丢失的错误，但它所需要的时间太长，因此从门操作的保真度来看，它并没有多少提升。因此之后的研究方向应该是在满足容错条件的基础上，进一步缩短门操作的时间，最后希望能够实现在逻辑比特上的门操作保真度超过在物理比特上的保真度。
参考文献
[1] Fowler A, Mariantoni M, Martinis J, et al. Surface codes: Towards practical large-scale quantum computation [J]. Physical Review A, 2012, 86(3).
[2] Ofek N, Petrenko A, Heeres R, et al. Extending the lifetime of a quantum bit with error correction in superconducting circuits[J]. Nature, 2016, 536(7617): 441.
[3] Hu L*, Ma Y*, Cai W, et al. Demonstration of quantum error correction and universal gate set on a binomial bosonic logical qubit[J]. Nature Physics 15, 503-508 (2019)
[4] Xu Y*, Ma Y*, Cai W, et al. Demonstration of controlled-phase gates between two error-correctable photonic qubits[J]. Physical Review Letters, 124(12): 120501 (2020).
[5] Rosenblum S, Reinhold P, Mirrahimi M, et al. Fault-tolerant detection of a quantum error[J]. Science, 2018, 361(6399): 266-270.
[6] Reinhold P, Rosenblum S, Ma W, et al. Error-corrected gates on an encoded qubit[J]. Nature Physics, 16, 822, (2020).
[7] Ma Y, Xu Y, Mu X, et al. Error-transparent operations on a logical qubit protected by quantum error correction[J]. Nature Physics, 16, 827-831, (2020).
文稿｜马雨玮
编辑｜于亿航 高松龄 杜昱博
李艳文 周圣钧 邱雨浩
审核｜赵 鑫 张可人