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【例1】已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BE/CE＝x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围．
【图文解析】（1）利用平行线分线段成比例定理或相似的性质，可得到比例线段，进一步可求出CF的值；如下图示：
具体过程如下：∵AB∥DF，∴AB/CF＝BE/CE，∵BE=2CE，AB=3，∴3/CF＝2CE/CE，∴CF=3/2.（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．分别运用勾股定理或相似求出与之相联的线段；①当点E在线段BC上，如下图示：
对折（即对称）易得到等腰，可添加如下图的辅助线（常用），则不难得到：
在Rt△ADM中，由勾股定理，可得AD2+DM2=AM2，即32+x2=（9/2﹣x）2，解得x=5/4 ,从而AM=13/4.所以sin∠DAB1=DM/AM＝5/13.当然，也可这样处理：
②当点E在边BC的延长线上，如下图示：解法类似，如下图示：
（3）本题分两种情况讨论：①若点E在线段BC上，此时x>0如下图示：
此时由BE/CE＝x可得
BE＝x/(x+1)×BC
＝3x/(x+1)=B1E,
所以所求的面积y=S△ABE，
即
由CE∥AD得△CEF∽△DAF，得DF/CF＝AD/CE＝BC/CE，由BE/CE＝x得BC/CE＝ (x-1)，所以DF/CF＝(x-1)，DF＝CD×(x-1)/x＝3(x-1)/x.所以y=S△ADF＝0.5AD×DF
【例2】定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
【图文解析】（1）本小题不做分析，只给出答案：线段AB的“对角线正方形”如图示：
（2）首先画出符合条件的图形，如下图示，当线段PB的“对角线正方形”且 有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，易得∠1＝∠A，分别在Rt△PCE和Rt△ABC中，由tan∠1＝(4-x)/x，tan∠A=4/3，得(4-x)/x=4/3，解得x=12/7.继续由cos∠1＝x/(5t)，cos∠A＝3/5，得(12/7)/(5t)＝3/5，解得t=4/7.(3)显然应分两种情况，当点P在AC边上（即0≤t≤1）和点P在AB边上（1＜t＜8/5）.
情况一：当点P在AC边上，即0≤t≤1时，如下图示：由于∠C是确定的角，相应的各个三角函数值均已确定，因此△BCP已具备“三个条件”，可以将PB用t表示，同时“线段PB的对角线正方形”的面积可以等于0.5PB2.如下图示：在Rt△PCF中，CF＝PCcosC=5t×4/5＝4t，PF＝PcsinC=5t×3/5＝3t，进一步得到BF＝4－4t，所以在Rt△BPF中，PB2＝PF2+BF2＝…＝=25t2﹣32t+16．因此S＝0.5PB2＝12.5t2-16t+8(0≤t≤1）.情况二：当点P在AB边上，1＜t＜8/5时，如下图示：得PB＝3－(5t－5)= 8－5t.所以S＝0.5PB2=…＝12.5t2－40t+32(其中1＜t＜8/5).综上所述，(4)首先画出符合条件的图（画出正确图显然是解决本题的关键，要大胆努力去画，一次性无法完成，可以多次完成，可以慢慢调节，再逐步调到合适位置，如下图示：
下面逐个分析：
情况一：当D、E在∠BAC的平分线上时，如下图示，根据角平分线与正方形的性质，不难得到AB=AP=3，PC=2，∴t=2/5s．
情况二：当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．
情况三：当点E在∠BAC的角平分线上时.法一：根据角平分线的性质，分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于一，作EH⊥BC于H，设EH＝r，如下图示，不以得到： 得3-r+4-r=5，解得r=1.所以PA＝3-2r=1，进一步，得5t＝5+1，解得t=6/5.法二：如下图示，先求m的值：由sinC＝m/(4-m)=3/5得m=3/2，进一步地，在△AEH和△ABF中（如下图示）tan∠BAF＝r/(3-r)=(3/2)/3，解得r=1，所以AP＝3-2r=1，……（下同）.综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 2/5s 或1s或6/5s.【例3】如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AG/BE＝______；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝______．
【图文解析】
（1）本小题属基础题，只做简要解析①由“三直角”得矩形+"邻边相等”(由角平分线的性质得GE＝GF)，可以证明四边形CEGF是正方形.②由EG∥AB可得CG/AG＝CE/BE，进一步，得AG/BE＝CG/CE＝√2.
（2）这是一个典型的“旋转相似“的基本图形（相当于共直角顶点的两等腰直角三角形旋转），因AC/BC＝CG/CE＝√2：1，且∠ACG＝∠BCE＝900－∠ACE，可得△ACG∽△BCE，如图示：
由相似三角形的性质，即可得到AG/BE＝AC/BC＝√2：1.
【拓展延伸】将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转任意角度，线段AG与BE之间的数量关系总保持：AG/BE＝√2：1.如下图示（展示部分图形）：（3）原题展现：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2√2，则BC＝______．
【图文解析】 DF＝BE＝3√2∠BFD＝∠BCD＝900.进一步，得到：【拓展延伸】正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6， BC＝3√5，则GH＝______．答案：GH＝2√2.【例4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．（2）已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【题干解读】
由“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12”说明此直角三角形尚未确定，是一个动态直角三角形，由“点D在直线CB上”说明点D是一个直线CB上的一个动点，而四边形ACDE是个矩形，可得到多个直角和多对线段相等，而点F、G是直线与直线的交点，画图时要特别关注，否则图形容易画不出或画错．由此看出：依据各个小题的条件画出正确的图形是解决本题的关键．【图文解析】（1）当点D在线段CB上，四边形是正方形时，如下图示：由“正方形ACDE”可得到无数个完美的结论，如：就图中因平行而得到的相似现成的就有多对：△AEF∽△BCF，△AGE∽△BGD∽△BAC，△ACF∽△GEF等.，由此得到的相关结论……
①当G为DE的中点时，通过全等，不难得到：（如下图示）： 根据勾股定理，得AG=6√5，进一步地，有：FG/AF＝EG/AC＝1/2，所以FG＝1/3×AG＝2√5．
②当DG＝GF时，由正方形的对称性和三角形的内外角的性质，不难得到：900－α＝2α，解得α＝300，如下图示：
因此BC＝AC/tanα=12√3．
（2）当BC＝9时，△ABC可解，是确定的，且根据勾股定理，可得AB＝15，进一步得到BC：AC：AB＝3：4：5，由“题干解读”知：△BDG∽△BAC，从而BD：DG：BG＝3：4：5，可设BD＝3x，DG=4x，BG=5x．另一方面，由于D是在直线CB上的动点，因此要根据点D的位置进行讨论：①当点D在线段CB上时，此时只有一种DG＝FG可能，如下图：进一步地，有：即x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5（舍去）当x=5时，9-3x<0，不舍题意，所以腰长GD为＝4x＝4．②当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF＝DG，如下图示：类似上述解法：即x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1（舍去），x2＝5当x=1时，3x-9<0，不合题意，所以腰长GD为＝4x＝20．③当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF＝DG，接下来的解法，与上述类似，也是通过相似（或三角函数的定义）．
【例5】已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD 交于点E，F. ①求证：BE＝CF； ②求证：BE^2＝BC•CE.（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE^2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG延长交 CD于点F，求tan∠CBF的值.图文解析：
（1）①如下图示，通过△ABE≌△BCF（ASA）不难证得BE＝CF.②如下图示：可证得：BE＝CF＝CG，△CEG∽△CGB（AA），得到CG：CE＝BC：CG，从而CG^2＝BC×CE.又因BE＝CF＝CG，所以BE^2＝BC•CE（得证）. （2）法一：添加如下图所示的辅助线. 由CD∥AB得△CNE∽△BAE，得到CN：AB＝CE：BE，所以CN×BE＝AB×CE＝BC×CE.又BE^2＝BC•CE（已知），所以CN×BE＝BE^2，得CN＝BE.
另一方面：如下图示，由CD∥AB得△CNG∽△MAG，得CN：AM＝CG：GM. 【例6】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合,连结CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G.（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE=1/2时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由.(3)若四边形CEAG为平行四边形，则∠BFG=45°，又∠EFC=45°，所以∠BFC=∠BFG+∠EFC=90°.此时F点与B点重合，点D与点E重合，与题目不符.所以点E在运动过程中，四边形CEAG不能为平行四边形.
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