拾级而上，领略数学的价值 | 走近数院通识课程“古今数学思想”
编者按
解读数学经典知识，理解知识背后的数学思想、思维方式和价值观，是培养数学高阶素养的重要环节。
北京大学数学科学学院范后宏教授开设“古今数学思想”课程多年，该门课已进入北大“通识教育核心课程”行列。今日，与您分享北大教务部对范后宏老师的专访稿件，了解范老师对于这门通识课程设计的深入思考。
Q1
“古今数学思想”这门课被列入北京大学通识教育核心课程。可以请老师介绍一下这门课的授课思路吗？
通识教育核心课程，按我的理解，首先是要深入地解读经典。在此之后，加以反思。反复的反思之后再加以评判。最后的目的是要培养学生的原始创新意识和能力。通识教育的高阶目标是培养学生的原始创新能力。
这个和以前的学习不大一样。为什么呢？从数学的角度看，学生以前学到的大多是第一层数学知识点，第二层做题的能力。学的是经典知识，古代数学的经典、牛顿的经典、欧拉的经典、高斯的经典、等等。但是对经典知识背后的东西，有没有反思过？牛顿的思维方式和莱布尼茨的思维方式各有什么特色？对后来数学发展有什么深远的影响？对欧几里得的五个公设是不是很清楚了？它的涵义和现代数学精神有什么联系？中国古代数学的思维方式有哪些？它是不是有更加广阔的未来？这都需要反思，反复的反思。反思之后才能评判，才能有意识地做原始创新。
这个就是第三层数学思维方式。比如说代数拓扑的不变量思维方式，与微积分的变量思维方式，有很大的不同。多次反思之后，就会发现背后有很多很多东西。一个人学习和研究时间是有限的，要选择一个特定的方向，这就需要第四层数学价值观了。
这门“古今数学思想”课的主要目的就是针对第三层的数学思维方式和第四层的数学价值观。
范后宏老师
Q2
对于您理解的不同层次的学习目标，可以举一个例子谈谈吗？
说得具体一点吧。像课上讲的欧几里得的《几何原本》，我会讲欧几里得的第一公设，第二公设，第三公设说的是什么。比如说第一公设说连接任何两点能构造唯一的一条直线段。然后呢，第二公设说任何直线段两端都能无限长地延长。然后呢，第三公设说以任何点为中心和任何长度为半径能构造唯一的一个圆。所以这三个公设合起来，实际上说的是一个尺规作图问题，说的是在欧几里得体系中最基本的存在性问题。
然后我们就能理解了，为什么古希腊人认为尺规作图问题很基本。因为他们认为只有能用尺规作图做出来的图形才是存在的。那么三等分角问题，化圆为方问题，倍立方体问题，就变得非常重要了。
那么三等分角问题到底重要还是不重要呢？一般的三等分角，古希腊人一直做不出来。这本质上是数学思维方式的问题。一直到19世纪，才把它化为一个代数问题来解决。这是一个人类经过二千多年，从几何思维方式转变为代数思维方式，并获得巨大成功的经典案例。
Q3
您能为您所说的“数学价值观”做一个简单介绍吗？
我们在课上会讲到，数学的第一个价值观是计算。数学可以帮物理做计算，帮工程做计算，帮经济做计算，计算体现了数学的力量。但是计算能不能靠得住，这就需要一个保险，也就是需要证明。这就是数学的第二个价值观，证明。当遇到的问题非常复杂，经典数学处理不了，这就需要现代数学的价值观：结构。如群结构，拓扑结构。这就是数学的第三个价值观。
数学还有另外一些重要价值观。比如说简化、优化、转化。像牛顿-莱布尼茨公式，把复杂的计算简化为简单的计算。像变分法，做优化。像解析几何把几何问题转化为代数问题。像傅里叶级数把函数转化为序列。像代数拓扑把拓扑问题转化为代数问题。比如说对偶、对称。像复变函数中实部和虚部的对偶。像群论里的对称。这些就是数学重要的价值观。比如喜欢对称，就研究群论。喜欢计算，就去做计算数学，喜欢证明就去学基础数学。在这里就看到了，不同的价值观，会影响到学习和研究方向的选择。
在数学中，一些看起来好像没有关系的两个问题，背后却有着深层的内在联系。特别是在基础数学内部，才能真正体会到各种思维方式转化的美妙。像我刚才说的，三等分角问题是几何问题，n次方程的解是代数问题，你会发现它们的精神是一样的，是不是很奇妙？
张卜天教授新译《几何原本》
Q4
这些在刚才的《几何原本》里是如何体现的呢？
我再说欧几里得的第四公设，它说在任何两个点，所有直角都是一样的。但是，这个公设是不可操作的，因为不知道怎么把一点处的直角的两条边 “平行移动”到另外一点， 从而在同一点处来做比较。地球上一点处的角边，如何把它“平行移动”到火星上面去呢？
后来发现从一个点到另外一个点， “平行移动”的方式不是唯一的。定义不同 “平行移动” 的方式就产生了不同的几何学，在现代数学中，叫联络几何，在现代物理学中，叫规范场论。它背后的意义深刻得不得了，因为大自然四大基本作用背后的几何结构都是联络几何。所以，“平行移动”的方式， 联络几何结构是大自然微观、宏观、宇观都有的一个根本结构。这是令人震惊的。
总结来讲，我认为数学素养有五阶。第一阶是知识点；第二阶是解题能力；第三阶是数学思维方式；第四阶是数学价值观。第五阶，我等会再谈到。
Q5
这数学五阶素养结构是如何体现在数学学习中的？
如果能领悟出、抽象出数学思维方式的话，就会把知识点融会贯通，灵活运用，迁移知识与方法到新的情境。会推广许多定理，因为定理证明的起点往往是它的思维方式。论文大概可以分为两种，一种是已有的思维方式，还有一种是全新的思维方式。体现全新思维方式的那种论文，可能会引出许多论文，可能会开辟一个新天地。所以，原始创新往往是思维方式的创新。
选方向和选题常常能反映出数学价值观。学生的数学价值观可以和老师的不一样，这是学生的学术自由。学术自由就是要保护学生的创造力。否则的话，如果一直沿着老师那个方式走的话，就可能难有大的突破，对不对？科学的内在发展，和科学的学术自由是有紧密关系的。科学的学术自由保证学生有可能超过老师。优秀的学生更要去探索、开辟新的学科方向，这种创新更大，可能会有变革性的发展。
Q6
您谈到价值观的培养与学术创新的关系，有没有什么例子可以说明呢？
我举一个例子。线性代数理论是在19世纪才正式产生的，它关心不变量：秩、符号差、特征值 、等等。但是，17世纪产生的微积分理论的价值观是变量，关心的是局部变化有多快，整体变化有多大。整个18世纪，没有矩阵的理论。包括高斯，有关矩阵，也只是高斯消元法，没有把矩阵作为一个对象加以系统深入地研究。这就是为什么线性代数理论在19世纪才产生。把价值观搞清楚了，就容易理解后来发展的道路了。线性代数不变量后来发展为代数拓扑不变量，不变量的价值观是相承的。代数拓扑的早期核心不变量，同调群，就是对一个拓扑空间，构造出一系列线性空间，然后看它们的内在关联。明白这个，就知道，如果喜欢不变量的价值观，就可以选择代数拓扑方向。
Q7
那么，您前面谈到的数学第五阶素养又是什么呢？
数学第五阶素养就是数学哲学，数学美，数学直觉等隐性知识。隐性知识，也叫缄默知识、默会知识，tacit knowledge。它的意思是说，这种“知识”不能够用书面语言、逻辑推理论证来传授的。它实际上是人类感性思维的高级阶段。在人的理性思维之外，还有感性思维，这是人的长处，是人和计算机最大的区别。在某种意义上讲，它比理性思维更加高级，是真正创新思维的高级阶段。
隐性知识，就只能靠老师面对面地传递，学生自己感悟。它是不能通过书面语言来传播的。就比如说厨师，看网上的菜谱就能做出好吃的菜了吗？肯定是不行的。一定要有一个大师傅，在大师傅旁边实习，看他用料、火候怎么掌握的。因为过程很微妙，师傅也说不明白。徒弟只能观察他是怎么做的，自己去体会、去感悟。这也要看学生的悟性。这是教育哲学家反复研究过的现象。
爱因斯坦的那些创造是怎么来的？我想爱因斯坦也不可能完全用一种书面语言和逻辑推理来论证给你看。数学第五阶素养，比前面阶的素养有更大的创造力。数学五阶素养，一阶比一阶强大。
Q8
我们还想了解，老师您当初开这门课的动机是什么？
这个问题还是可以接着我的这个理论讲。在2020年，我做了一个北大教务部本科教学改革项目。结题论文题目就是《面对21世纪国际竞争的本科生数学五阶素养教学》。在论文中，我系统性提出了“本科数学五阶素养教学理论”，以应对新时代对本科数学教学的新要求。
人类在21世纪已经进入知识经济新时代。新时代知识经济的最大特点是信息化、智能化、尖端化。信息化、智能化、尖端化的“灵魂”是数学化。尖端技术，竞争到最后一步往往是数学创造力的竞争。在21世纪，学生最具有国际竞争力的素养是原始创造力，而原始创造力是与许多高阶素养是强相关的。只教数学第一阶素养和第二阶素养是远远不够的，无法面对21世纪激烈的大国竞争的。数学创新意识、创新能力、创新程度有多大，那就要看学生的数学第三阶、第四价、第五价素养了。
上面是这门课的第一个目标。还有第二个目标，我认为，数学还需要体现一些重要的人文精神。
在数学的探索过程中，人类的自强不息精神非常重要。因为数学有很难的问题，挑战人类的智慧。有的延续了上百年，上千年，在这之中就体现了人类的一个非常重要的人文精神——自强不息。自强不息，加上一个厚德载物，就是中华文化的基本精神。著名数学家希尔伯特（David Hilbert）也说，“We must know, we will know”——这反映的就是这种精神。其次，数学的理性精神也是最重要的。虽然理性思维不是万能的，但没有理性思维是万万不能的。再次，还有一个人类共同体的精神，因为数学语言是全世界通用的，也就是全人类共有的。
事实上，数学体现了很多人文精神。在我的教改结题论文《面对21世纪国际竞争的本科生数学五阶素养教学》中，我细致地说明了数学五阶素养与教育部发布的《中国学生发展核心素养》中基本要点的多方位多层次联系。
Q9
像“上同调”这样的概念，数学系的学生可以很深刻地理解它的美妙之处。但是它的定义对于初学者而言又太过复杂。对于不是数学专业的同学，我们怎么向他们介绍这样的东西？
所以一开始不能讲上同调。向一个非数学专业学生介绍数学时，最好要从他们熟悉的概念开始讲解，如果能从小学开始就从小学开始，如果能从中学开始就要从中学开始。讲得越底层，学生就越容易接受。这就是我平时教线性代数和高等数学课的一个特点。我尽量从中学开始，讲中学解多元一次方程，解得很累，然后才能介绍矩阵形式的优点。公共数学教学最好起点要低，要学生容易接受。
同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个交换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。
你刚才说的上同调，一开始不能讲这个东西。一开始要讲线性代数，要讲欧拉数。欧拉数可能别人还没有什么感觉，听起来就只是数学上的一个游戏，最好还是要从线性代数进入它，因为线性代数的价值观大家都知道了。线性方程组有解的充分必要条件就是系数矩阵与增广矩阵的秩相等。从不变量的角度去看它就特别优美。这是一个巨大的理论简化。这是理性思维的优美。然后我们可以证明不变量的价值。不变量的数学，在有的复杂情形就显示出巨大的价值。
Q10
面对来自不同学科背景的同学，这门课的考核是怎么安排的？
这就涉及到这门课的难点。因为如果要讲解这些数学思维方式和数学价值观的话，它多多少少就要涉及一些比较难的问题。怎么样把这个课讲得更加通俗，这是一个难点，也是我未来一段时间想去做的事情，尽量把这个课讲得足够通俗。
今年的课比去年的课讲得通俗多了，也慢多了。去年在网上上课，也是一个教训。一开始选这门课的人有六十多个人，前面两次听下来之后有二十多个人退课了（笑）。为什么呢？因为我第一堂课就在讲上同调（笑）。有一个学生说，“老师，你不是说只需要高等数学就能听懂这门课了吗？” 我才恍然大悟，原来我一下子讲得这么快。我讲课的时候，常常沉浸在数学的真善美之中，其它暂时就给忘了。（笑）
这个问题的背后是什么原因？我觉得也不一定是因为数学太难了。2009年，2011年，2015年，每次开课都有110人以上。课上我也讲上同调，而且还讲微分拓扑学里的一些东西，那些物理学院的学生高兴得不得了，因为他们也关心这些东西。下课后还围上来，问很多很深入的问题，谈 Bott周期律，谈Atiyah-Singer指标定理，谈规范场，谈四维空间的外来微分结构，等等，激发起了他们的好奇心。
现在，为什么来上课的学生发生了这样的变化，坦率地说，我还不太了解。我要对这门课的教学做更多的调查研究、反思和创新。
来源：“通识联播”微信公众号
供稿：坤坤
校对：睿清
编辑：华华
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