放大，参量放大，约瑟夫森参量放大

Original 无邪返朴 2021-03-08

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黑夜给了我黑色的眼睛，我却用它寻找光明。自然赋予了人类各种感觉器官，但远不能满足我们探索世界的欲望，于是人类发明了各种传感和放大技术。我们能更深入了解这个世界、更好地利用自然原理，放大技术功莫大焉。

今天要讲的参量放大是其中比较特别的一个门类，可能大部分人甚至从没听说过。不过想必大家都玩过荡秋千吧，在荡的过程中你有没有思考过这样的问题：我们通过控制身体有节奏的摆动，可以在没有人推的情况下把秋千荡得越来越高，这是为什么呢？我们所做的功如何能有效地转移到秋千这个单摆系统中去呢？这个过程背后的原理其实就是参量放大。在电路中，我们也可以通过控制某个电路参数有节奏地振荡，来迫使驱动电路所做的功转移到信号频率上去，实现信号放大。参量放大的某些特性，使得这种另类的放大器越来越受到极端条件下的量子测量所青睐。

撰文 | 无邪（量子计算从业人员）

我们的身体带有一系列的传感器，比如五官可以收集自然界不同的信息，如图像、声音、气味等。不过，大自然赋予我们这些感觉器官，可不是为了做科学实验用的，是为了生存，为了发现危险，躲避危险，鉴别食物，获取食物......正因为如此，我们的身体完全就是为此而量身定做的。我们的眼睛是焦距不可调、但能调感光度的“摄像头”，只能看到可见光，分辨率只有大约0.1毫米；耳朵只能听到频率为20-20 kHz的振动，只能分辨强度在0-100 dB（分贝）的声音；鼻子不算灵，只对少数几种与食物中毒相关的气味敏感... ...

但是大自然中的现象显然远不止展现在这些范围。空气中充满了我们看不见的PM2.5，以及附着在上面的细菌和微生物；蝙蝠通过超声波来定位和交流，但我们听不见；甲醛有毒但无色无味，我们无法闻到... ...

为了加深对世界的理解，增强人类对环境的适应能力，我们不断开发出各种信号放大和转换的工具，试图去突破身体极限，感知那些依靠身体无法感知的东西。到如今，我们已经“上可九天揽月，下可五洋捉鳖”，既捕获了百亿光年以外的星系图像，也敲开了原子核的内部结构。我们对世界的理解，发生了翻天覆地的变化，那些本以为是巫术的谜团，得到了科学的解释。而这一切，都应归功于探测和放大技术的不断进步。今天讨论的主题，就与此有关。

一

噪声

放大（Amplification）与噪声（Noise）是两个始终相伴而对立的概念，因为放大的目的就是希望要探测的信号能压过噪声。当我们希望听见台上的讲话，但周围人声鼎沸，那么喧闹杂乱的人声是噪声；当我们收看电视，背景的雪花是噪声；当我们在城市里仰望星空，城市灯光造成的杂散光是噪声......总的来说，噪声总是我们不想要的东西，但噪声永远存在。

从物理的本质而言，噪声来源于那些不可知、不可控的自由度，它与“熵”的概念密切相关。我们还是以嘈杂声为例，如果我们把讲话的人看成一个“自由度”——这是我们想要的信号，而把每个参与喧闹的人看成是其他“自由度”——这是噪声源。显然，正是因为我们无法控制这些噪声自由度——其他人讲话，才导致了嘈杂声，如果我们有办法控制他们，强迫他们禁声，或只能讲悄悄话，主角的声音自然就凸显出来了。

电视上的雪花我们没有办法，因为它是宇宙微波背景辐射造成的——这是一种完全不可控因素（我们曾经也不知道，后来知道了），我们能做的，就是将信号增强到远强于微波背景辐射的程度，这在信息处理学上有个专门的术语，叫信噪比增强。单位时间内接收到的信号能量与噪声能量的比值，就是信噪比。提升信号能量，或者压制噪声，都可以增强信噪比。增大信号的技术，就是所谓放大技术。

二

放大

放大，浅显来讲就是将想要的信号能量增强，以克服噪声的干扰。我们每个人手里握着一部甚至多部手机，可以接收其他人传递过来的信息——电话、短信或微信视频。每台手机中，都免不了要内置各种放大器和滤波器，否则我们很难顺利地接收到清晰的电话声。手机中的放大器，恐怕是我们日常生活中接触最多的一种放大器了，这类放大器通过晶体管的非线性特性，将小电流/电压转换成大得多的电流/电压，从而起到信号增强的作用。

可以作为信号来传递的物理量当然远不止于电流/电压，声、光、磁、电、压力/压强等都可以用来承载信号，相应地就有各种类型的放大器。在这里我们不讨论任何一种具体的放大器——直到我们的主角，约瑟夫森参量放大器（Josephson Parametric Amplifier, 简称JPA）登场。我们先从普适性角度探讨一下放大的本质。

要想实现某信号的放大，就一定要让更多的“自由度”携带信号。还是以电信号放大为例：要想让电信号放大，就需要让更多的电子能携带信号，这些新注入的电子与原来携带信号的电子（输入信号）之间有某种弱耦合关系，导致新注入的电子通过这种耦合也携带部分信号，同时对原输入信号只造成可忽略的影响。输出信号能量与输入信号能量之比，就是放大器的增益（Gain），而上面提到的放大对原输入信号造成的影响则称之为“反作用（Back-action）”。与放大相关的还有另外几个重要的物理指标：

(1) 带宽——指放大器能够起到足够放大作用的频率范围。举例来说，我们的耳朵就相当于一个振动信号的放大器，它只能响应20-20KHz的振动，这就是耳朵的带宽。随着年龄增长，这个带宽还会逐渐降低（有兴趣的同学可以下载一个测耳龄的app，看看自己的耳朵几岁了）。

(2) 动态范围——指放大器能够合理放大的信号能量上下限。还是以耳朵为例，低于0dB的声音，耳朵就听不见了，因为信号能量与自身噪音相当，耳朵已无法分辨；另一方面，高于100dB的声音会使耳朵极为难受甚至发生物理损伤，这是耳朵所能承受的上限；因此我们知道耳朵的动态范围大约就是100dB的样子。

(3) 附加噪声——指放大过程中引入的额外噪声。前面已经提到，放大的过程就是引入更多的“自由度”来携带信号，这些新引入的自由度，比如说新注入的电子，总有我们用不上的、不希望的、同时又不可控的自由度，这就意味着会引入额外的噪声。

还是举例子来说，在电路中最为人熟知的噪声叫“Johnson Noise”，也叫热噪声或者白噪声，这种噪声是由于电子的热运动造成的，放大过程中新增电子的热运动势必导致噪声增大，即便扣除增益，等效噪声依然是增大了的，因此在电路中，我们会引入一个“噪声系数”的参量，来衡量这种由于放大过程本身引入的噪声水平，它等于（输入端信号的信噪比）/（输出端信号的信噪比），一般取对数，然后用“dB”作为单位表示：

噪声系数 = 10 x lg （输入端信号的信噪比 / 输出端信号的信噪比）（dB）

理想情况下，这个比值为1，取对数后也就是0 dB，实际的情况则永远是比值大于1，或者说噪声水平大于0 dB。假如某天有两个放大器摆在你面前，一个噪声系数是0.6dB，一个是1.2dB，你果断选择0.6dB的，装逼指数满分。

放大器必然会引入额外的噪声，使得信噪比下降，这与前面讲到放大可以“增强信噪比”不是矛盾吗？这里需要澄清一下，在放大技术中，我们需要区分噪声是来自“前端”还是“后端”的——也就是噪声是在放大前引入的还是放大后引入的。放大能够压制“后端”噪声，不能解决“前端”噪声。

手机中的信号放大芯片

一个完美的放大器，应该是增益无穷大、带宽覆盖所有频段、动态范围无穷大并且噪声系数为0dB的，可惜这个世界上没有完美之物。我们必须根据自己的目的，选择、制造最合适的放大器。如果一个放大器不够，我们就采用级联的形式，例如在进行量子计算实验时，为了得到量子态的信号，需要进行4级放大，总增益超过100dB（也就是100亿倍）！或者可以先将信号转换成另一种形式，比如将声音振动转换成电磁场，再进行放大——这不就是麦克风嘛！为了抑制噪声还需要加入多种滤波器、衰减器、隔离器等等，可以说无所不用其极。

在整个放大链路中，最重要的放大器是哪个呢？聪明的读者一定很容易想到，是第一个，因为它引入的噪声，会被后面的放大器逐级放大，变成一个很大的噪声。如果第一级放大器增益足够大的话，甚至整个放大链路的总噪声几乎就由这个放大器决定。我们把这第一个放大器叫做“前置放大器”。既然前置放大器如此重要，接下来要说的，就是一个关于接近完美的前置放大器的故事。

三

量子噪声极限

在故事展开之前，还要做一些铺垫，这样才能显示出金刚钻的绝活来。前面提到了任何放大器自身都会引入一定程度的噪声，这其中主要的噪声来源，如上述的热噪声、散粒噪声等，都与温度相关——温度越低，噪声越低。当温度达到绝对零度之后，这些噪声都将消失。那是不是意味着如果在绝对零度下进行放大，就可以得到理想的无噪声放大呢？对不起，量子力学说“Too Naive，你们还要考虑量子效应！”

一个信号往往有两个互相依存的自由度，比如一个自由粒子，我们需要同时知道它的位置和动量，才能完全了解它的状态；一个电信号，我们需要同时知道它的幅值和相位，等等。在量子力学中，这样一对物理量满足一定的对易关系，并受不确定性原理限制，从而无法准确地获得全部信息。

现在，我们假设有这样一个理想的放大器：

（1）它的输入和输出信号都是量子的，服从量子力学原理；（2）它没有任何其他形式的噪声；（3）它的增益很大，并保持输入和输出信号相位不变。

这样的放大器，唯一的要求就是输入信号和输出信号都需要满足不确定性原理。但Caves等人做了严格的证明，发现如果放大器不增加额外噪声的话，这是不可能实现的！在无穷增益极限下，这个额外噪声趋近于半个光子。这个噪声仅仅是由于量子力学原理造成的，是不可突破的“物理极限”——这就是Caves量子噪声极限，也叫“Haus-Caves理论”。加上输入信号本身还有至少半个光子的涨落，那么放大后至少有一个光子的噪声。

这是大自然保留的禁地吗？如果我们想要的信号本身就是单光子水平，或者甚至更低，岂不是只能摊手撇嘴，表示无能为力？在设计测量引力波的技术方案时，就遇到了这样的难题。引力波探测计划（LIGO）包含两对L形的干涉仪，臂长4公里，由于引力波引起的臂长变化不足一个原子核直径，要测量这样极端微弱的信号，我们不仅要设法消除地震、热、散粒噪声等经典的噪声，还要设法超越“量子极限”！等等，量子力学不确定性原理不是不能违背的吗？怎么能超越量子极限呢？看官莫急，且听我慢慢道来。

LIGO超长的干涉仪臂

前面讲的Caves理论，做了一个基本假设，就是放大过程中保持输入和输出信号相位不变。我们常见的放大器确实都是这样的——放大是各向同性的，对任何方向的信号做同等放大，我们称之为“相位不敏感放大”。但是，理论上并不禁止对不同方向的信号增益不一样的情况，甚至也允许某一方向是放大的，另一方向是缩小的（能不能实现另说）。

有这样一个特殊情况：这个放大器对一个方向的信号是放大的，而对与之正交的方向却是缩小的，两个方向的增益正好互为倒数。此时，我们再代入Caves理论中去就发现，放大器引入的额外噪声可以为零！而这并不违反不确定性原理。为什么会这样呢？

我们回头看那个条件——正交方向缩小。在大增益极限下，相当于有一个方向的信号完全被压缩了，我们几乎得不到这个方向的信息——我们丢掉了一半的信息，另一半自然可以完美地放大了！这种放大，我们又只好取个名字，叫“相位敏感型放大”。采用这种放大形式，对于我们想要的那一半信号而言，就可以“超越量子极限”了。在很多极端的实验中，我们都需要这样的放大器，或者至少需要接近量子极限的放大器。

四

参量放大器

终于等到主角登场了，性子急的同学们怕是早就溜出去上厕所了，没关系，以后你跟他们谈论参量放大器的时候，他们一脸懵逼的样子，你的装逼又拿满分。我相信绝大多数人都没听说过参量放大器。参量俩字是啥意思呢？它跟我们手机里的放大器有啥不一样呢？它咋就那么牛逼呢？

实际上参量放大器一点也不神秘，甚至是日常生活中很常见的一种放大现象。有没玩过荡秋千的同学没？有没有？有没有！好的没有。大家不知道，荡秋千里面，就用到了参量放大的原理。要想在没人推的情况下把秋千荡得越来越高，该怎么办？如果是坐着荡，那就在秋千达到最高点的时候将身体向外探，脚向内伸，到最低点的时候收回来；如果是站着荡呢？那就到最高点的时候站起来，而到最低点的时候蹲下去。这个节奏把握好了，自然会越荡越高。

下面我们从物理学角度来分析这个过程。首先，秋千可以用一个单摆来建模，秋千绳就是摆臂，人和座板就是摆球。既然是单摆，学过高中物理的就知道，它有一个固定的频率，这个频率只与摆臂的长度和重力加速度相关（很多人下意识以为胖子摆得慢，其实大自然并没有这样的歧视）。

其次，按照上述秋千的荡法，在最高点站起来或者将身体探出去，实际上相当于改变了质心的位置，把质心抬高或向外移，等价地，我们是在改变单摆的臂长——如果我们把臂长当成单摆的一个“参量”，是不是已经感觉到了什么？

其其次，在单摆的一个摆动周期内，这样的动作实际发生了两个周期（不信的同学可以掰着手指数一下）。

最后，还有一个很关键的因素，是单摆的非线性。我们把单摆当作一个简谐振子来看待，并推导出其固有振荡频率的时候，其实做了一个假设：小摆幅假设。此时重力沿摆动中心的分力可以认为是与摆角成正比的——不过实际上是正弦关系，随着摆幅的增大，这一近似逐渐失效，非线性项，即正弦项展开中的高阶项作用不再是可忽略的。正是这非线性的高阶项，将我们改变质心所做的功，逐渐转移到了单摆的摆动中去了。

老式壁钟内都有一个单摆（下方圆锤状物）

上面单摆的例子，实际上已经完整地描述了一个参量放大的作用过程。它有几个核心要素：

（1）一个振子；（2）振子具有一定的非线性；（3）有一个频率为振子共振频率二倍的外界驱动，或者这个外界驱动可以造成振子某一个参量的二倍频振荡。

具备了这三个条件，就可以构造一个参量放大器了。在电路中，我们可以用一个电容（C）和一个电感（L）构造成一个LC-振荡电路。这个振荡电路的共振频率与L和C都相关。假如其中某个参量与振荡的幅值有某种非线性关系，并且如果我们能够想办法改变这个参量，比如电容，就可以构造一个放大器了——这也是参量放大器得名的原因，我们需要改变其中一个参量来实现能量的转移。

早在二战时期，由于变容二极管的发明，就有人以此制造出参量放大器并作为雷达接收技术应用。它的优点自然是噪声性能优异，但缺点也很明显：它只能在驱动频率附近很小的范围内放大，换句话说，它的带宽很窄。随着半导体技术的快速进步，这种放大器的优势丧失，便越来越不受重视了。

一个1296MHz参量放大器古董，早年半导体放大器噪声还很高的时候，参量放大器能够提供更好的噪声系数。
- 未完待续 -

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