第一次量子革命：波和粒子的统一 | 众妙之门

 

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撰文 | 文小刚（麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）

物理学的四次革命

我们在探索自然的过程中，会发现很多奇妙的现象，我们也发展了很多漂亮的理论来解释这些现象。随着发现越来越多，也会有越来越多的理论。这时，我们就想把这些不同的理论统一起来，得到一个更加全面更加深刻的理论，用它来理解更多的现象。物理学就是这样在“发现、统一、再发现、再统一”的循环中，一次又一次登上人类认知的巅峰。

每一次大统一，都代表一次物理革命，都给我们带来一个新的世界观，使我们以全新的眼光来看世界。这一新眼光就像为瞎子赋予视觉，展示了一个全新的景象。每次物理革命带来的认知的角度是如此之新，连我们描写自然的语言都必须是全新的，所用的数学也都是全新的。可以说，每次物理革命都给我们带来了脱胎换骨的升华。

第一次物理学革命是牛顿的力学革命。 牛顿统一了两个似乎毫不相关的自然现象：夜空中行星的位移和地面上苹果的坠落。他用万有引力和力学理论统一地解释了这两个很不同的现象。更重要的是，他提出了一个世界观来理解万物：所有物质都是由粒子组成的，而这些粒子的运动满足牛顿方程。这使得牛顿力学成为理解万物的普适理论。当牛顿发展他的理论时，描写这个理论的数学语言还没有发明。牛顿不得不又当一个数学家，发展了这一套数学理论——微积分。这是最高层次的发现和创新。牛顿既做物理学家又做数学家，非常不容易。

第二次物理革命是麦克斯韦的电磁革命。它把电、磁和光这三种看起来很不相同的物理现象给统一起来了。麦克斯韦先统一了电和磁，发明了麦克斯韦方程。他发现麦克斯韦方程的波动解——电磁波的波速——和当时测的光速差不多。于是，麦克斯韦又提出电磁波就是光，把电、磁和光都统一了。第二次物理革命更加本质的地方在于发现了一种新的物质形态：波形态物质。和牛顿的粒子形态物质不同，波形态物质运动不是由牛顿方程来描写，而是由麦克斯韦方程来描写的（见《光的奥秘和空间的本源》）。

第三次革命是爱因斯坦的相对论革命。爱因斯坦指出，引力作用其实来源于时空的扭曲。在更深的层次上，相对论革命发现了第二种形态物质——引力波。引力波不是别的，就是时空扭曲的波动。引力波的运动也不是由牛顿方程来描写的，而是由爱因斯坦方程描写。

从此以后，我们认为世界上有两种形态的物质：粒子形态物质和波形态物质。粒子形态物质之间的各种相互作用是由各种波形态物质所引起的。描写波形态物质的理论，麦克斯韦理论，爱因斯坦广义相对论及其后来的一个推广——杨-米尔斯理论，也需要一个新的数学语言——纤维丛理论——来描写。纤维丛理论描写了时空本身和时空上的场的几何扭曲。其后，这种以几何眼光看世界的理论就成为理论物理的主流（见《追求对称之美：杨振宁超越他诺奖的贡献 | 附量子纠缠新观念 》（上、下））。

第四次物理革命应该是量子革命。量子力学是非常非常深刻的革命，也是最具有颠覆性的物理革命。但它不是一个人搞出来的，而是一大群人的共同成果。量子革命给我们带来了最深刻的变革，它统一了粒子形态物质和波形态物质。它告诉我们，我们世界的真实物质只有一种形态：波粒形态。也就是说物质的存在形式又是粒子，又是波；又不是粒子，又不是波。这篇文章我们将着重介绍这种不可思议的存在形式，介绍我们世界中的存在为什么有如此诡异的性质。

作为一个全新的理论，量子力学的数学基础是线性代数，把微积分、纤维丛这些几何分析理论给扔掉了，由几何变成了代数。所以说量子力学之后，我们开始以代数的眼光来看世界。这是一个全新的眼光，它所带来的变革，目前还在继续发生与深化。

什么是粒子?

物理的研究对象是世界上各种各样的存在。牛顿力学的根基是认为粒子是存在的基本形态。认为其它的物质都是由粒子组合的。粒子这一存在，可以有很多状态。如粒子可以有不同的位置，用三个数（三个方向的坐标）来描写。这马上就产生一个问题：这三个数是不是对一个粒子的状态的完备描写？是不是代表一个粒子状态的全部信息？为了回答这个问题，我们需要问，知道了这三个数，知道了粒子的位置，是不是就能确定粒子将来的运动轨迹？答案是不能够。所以描写粒子位置的这三个数不是粒子状态的全部信息，只代表部分信息。要完全地描写一个粒子的状态，我们需要六个数：三个数是位置，三个数是速度（速度在三个方向上的分量）。这六个数完全描写了粒子的状态，决定了粒子将来的运动轨迹。也就是说，如果我们知道现时刻（时刻t ）的粒子状态：，我们就可以通过牛顿定律得到下一时刻（时刻）的粒子状态：

其中是粒子所受的力。上面就是牛顿力学的基本内涵。我们看到牛顿力学是建立在对粒子存在和对其状态描写的基本认知之上，加上对状态演化的描写（也就是对将来的预言能力），我们就得到了一个完整的物理理论。

牛顿（左）、麦克斯韦（右）

粒子不是粒子，波不是波

可是上面对粒子存在的基本认知和对其状态的描写，仅仅是我们头脑中的一个想象、一个模型。通过对微小粒子（如电子）的细致精确的实验，我们发现，真实的粒子完全不像上面描写的那样。牛顿力学并没有描写我们这个世界中真实存在的粒子。

名正则言顺。为了区分这些不同的概念，我们把上节所描写的粒子叫做经典粒子，而把我们世界中真正存在的粒子叫做量子粒子。这样我们就可以清楚地说：经典粒子在我们这个世界中并不存在，其纯粹是我们头脑中所想象的东西。而在我们世界中真正存在的粒子是量子粒子。       

 普朗克（左）、爱因斯坦（右）

我们对量子粒子的认识，始于普朗克对黑体辐射，也就是高温物体发光光谱的研究。人类对光的认识的发展有好几次质的改变。这一次次对光的不同认知反映了人类文明的发展历史。早期牛顿提出了光的粒子说，认为一束光就是一束粒子。到麦克斯韦电磁革命之后，大家都确信光是一种波。但普朗克发现，为了解释高温物体发光光谱，他必须假设光波的能量不是连续的。具体地说，频率为 f 的光的能量只能是 hf 的整数倍，其中 h 就是有名的普朗克常数。这相当于要求光波的振动幅度只能取一些离散的值。为什么一个波的振动幅度只能取一些特殊的离散值？这是非常不可思议的。

图1  光电效应实验：把两个金属电极密封在抽真空的玻璃管中，在两个电极之间加一个电压，当光照到一个金属电极上，被冲出的电子要克服两个电极之间的电压差才能走到另一个电极，从而在回路中产生电流。所以调节两电极之间的电压，就可以测出被冲出电子的最大能量。人们发现电子的能量和光的强度无关，但和光的频率有关。这是一个非常令人吃惊的发现。因为根据直觉应该是光强越强被冲出来的电子能量越高。

后来爱因斯坦引入了光子的概念来解释这一光波能量量子化的现象。光子不仅能解释黑体辐射光谱，同时也解释了新的光电效应。所谓光电效应就是当光照射在金属表面时，会从金属中冲出电子。人们吃惊地发现，被冲出电子的最高能量和光的强度无关，只和光的频率有关，光强只影响被冲出电子的数量（图1）。当我们把光的频率增加 Δf 时，被冲出电子的能量也增加 hΔf。如果我们把光看作一束粒子，其每个粒子带的能量为 hf，我们就很容易解释观测到的光电效应：金属中的电子吸收一个光子，获得 hf 能量。光的频率增加 Δf 时，电子获得的能量也增加 hΔf，这正是我们观测到的现象。所以光电效应告诉我们：光是一束粒子，每个粒子的能量 E 由光的频率决定：E=hf 。通过光和电子的散射，我们甚至还能确定这些粒子的动量。我们发现粒子的动量 p 由光的波长 λ 唯一决定：p=h/λ。有趣的是，同一个普朗克常数 h，同时出现在能量频率关系中和动量波长的关系中——我们又回到了早期牛顿的光的粒子说。

光到底是粒子还是波？光的干涉效应明确说明光是一种波。而光电效应又明确说明光是一种粒子。所以光集波性和粒子性存于一身，正是量子粒子的特性。之所以会这样，是因为在我们这个世界中，“存在”这一基本概念和我们以前的想象完全不同。我们世界中的存在，其实是一种量子存在。在《返朴》文章“量子比特：一只又死又活、不死不活的薛定谔猫丨众妙之门”中，我们详细地介绍了这一概念，及其相关的量子叠加概念。下面我们将用这一概念来仔细解释一下什么是量子粒子。

什么是量子粒子？

“量子粒子”这个真实的存在有不同的状态。那这些不同的状态是用什么数据来描写的呢？首先，量子粒子也有不同的位置。我们用记号来描写粒子在位置这一个状态。但我们世界中存在的量子粒子，还允许一种不可思议的存在状态，这就是两个状态的叠加态。比如说和是一个量子粒子两个可能的不同状态，一个代表粒子在位置，另外一个代表粒子在位置。那么这两个状态的叠加态 ，也一定是量子粒子的一个可能的状态。这就是量子力学中的叠加原理。在这个叠加态中，粒子又在位置又在位置，它又不在位置又不在位置。我们的世界就是这样一个奇奇怪怪的量子世界，这种莫名其妙的叠加状态是真实存在的，且没有对应的经典状态，我们通常称其为量子态（见《量子比特：一只又死又活、不死不活的薛定谔猫丨众妙之门》）。

这类莫名其妙的量子态还有很多种，除了之外，也是一个可能的量子态，代表了一个粒子可能存在的另一个状态。更广义的状态还可以是，其中 ψ₁ 和 ψ₂ 是两个复数。

上面仅仅是讲了两个位置的叠加态。我们还可有所有不同位置的叠加态：

其中  代表对所有的位置求和。我们发现一个量子粒子的不同的叠加态，是用不同的复函数  来描写的。这种类型的叠加态是完备的，其代表了一个粒子所有可能的量子状态。所以一个粒子的量子状态，被一个复函数  来完全描写。这种对粒子状态的描写，形成了量子力学的基础。

一个函数  描写了一个量子粒子在空间上的分布，可这也是对一个波的描写。我们发现，由于量子理论中的叠加性，对一个量子粒子状态的描写，相当于对一个波的描写。这就是有名的波粒二象性，而复函数  也被叫作波函数。我们看到，量子力学的真正革命之处，就在于其修改了“存在”这一基本概念。这也是量子力学很难理解的根本原因。量子力学的内涵不在于量子化、离散化，而在于对“存在”的重新识知。这样看来，量子力学这个名字，有点名不正言不顺，没有抓往最关键的内涵。“波动力学”或者“矩阵力学”这两个名称可能更准确。

海森堡测不准原理

海森堡

根据上面的描写，我们知道，如果波函数 只在一点  不为零，而在其它位置都为零，那这样一个波函数就描写了一个处于这个位置的粒子（图2a）。那什么是波函数描写速度为的粒子呢？速度为的粒子其动量为，其中 m 是粒子的质量。它对应于波长为 λ=h/p 的波：（图2b）。我们注意到这个波函数处处不为零，粒子出现在所有地方，位置非常不确定。这就是有名的海森堡测不准关系：一个粒子速度确定了，其位置就不确定；一个粒子位置确定了，其速度就不确定。我们找不到一个波函数，它又有一个确定的位置，又有一个确定的速度。也就是说位置速度都确定的粒子根本就不存在。

测不准关系是神奇的量子叠加原理的一个推论。一个有完全确定速度的粒子状态，是所有不同位置的粒子状态的一个叠加。一个有完全确定位置的粒子状态，是所有不同速度的粒子状态的一个叠加。所以速度的完全确定就导致了位置的完全不确定。而位置的完全确定又导致了速度的完全不确定。不管多么别扭，这就是我们的真实世界。

图2：（a）一个位置完全确定的波函数。（b）一个速度完全确定的波函数。（c）一个位置有点儿不确定速度也有点儿不确定的波函数。这个波函数，描写了我们日常说的，同时有位置有速度的粒子。其实粒子的速度位置都有点不确定。速度位置都完全确定的状态根本不存在。因为波函数是一个复数函数，这里蓝线是波函数的实部，红线是波函数的虚部。

上面对一个粒子的量子描写，好像完全是胡说——一个粒子明明可以同时有位置和速度，这不仅仅是我们日常的经验，也是实验的观察。说粒子不可以同时有位置和速度，有悖于已有的实验观察。其实这里并没有矛盾。量子力学说的是，位置速度都确定的东西不存在。但位置有点不确定，速度也有点不确定的东西，还是可以存在的。这样一个状态是由图2c中的波函数所描写的。我们日常经验中所谓同时有位置和速度的粒子，其实是位置和速度都有些不确定的粒子。只不过这个不确定很小，以前没有注意到。但这个小小的不确定性彻底颠覆了经典力学的看法。我们不能用六个数，来刻画一个粒子的状态，我们必须用一个波函数来刻画一个粒子的状态。这个变化太大了，彻底改变了我们对世界的认知。

粒子的波性和薛定谔方程

 图3  单缝和双缝实验展示了我们世界中真实粒子的波动性

我们世界真实粒子的这种波动性，可以通过双缝实验来验证（图3）：我们让一束电子通过两个窄缝，观察窄缝后屏幕上电子的强度分布，其由波函数的绝对值平方给出。如果我们挡住一条缝，我们会观察到一个强度分布，如果我们挡住另一条缝，我们会观察到另一个强度分布。但如果两个缝都打开，让我们吃惊的是我们看到的不是上面两个强度分布的和，而是一个有附加干涉条纹的强度分布。这和通过双缝的水波所产生的干涉条纹一模一样（图4）。我们特别注意到，在量子世界中，两种可能性的叠加，有时反而使可能性减少，甚至可以减少到零变成不可能。经典粒子可能性的叠加总是概率叠加，可能性不会减少，只会增加。而量子粒子可能性的叠加是波的叠加，叠加后的可能性有时增加，有时减少，甚至有时可以变成零。

 图4  波通过双缝后的干涉条纹

通过对干涉条纹的仔细分析，我们发现电子所对应的波的波长，是由电子的动量 p（动量就是质量乘速度）来决定的：λ＝h/p，和光子的波长动量关系一模一样。这样德布罗意就猜测：所有粒子都是波，所有波都是粒子，它们的波长动量的关系都是 p=h/λ。受到光的能量频率关系的启发，德布罗意进一步猜测，所有粒子所对应的波的频率，也都是由其能量给出的 f=h/E。

 德布罗意（左）、薛定谔（右）

波函数是对一个粒子状态的完备描写。也就是说知道现在这一时刻的波函数，我们就能知道下一时刻的波函数 ：

上面也可以写成微分方程的形式：

这就是有名的薛定谔方程，它描写了一个粒子的态（波函数）如何随时间变化，给出了量子力学的预言能力。这一对粒子状态及其随时间演化的新描写，就是所谓的量子力学理论。这种对粒子存在的新认知，导致了我们对大千世界的新认知，进而导致了一个新的量子世界观。

一个质量为 m 的粒子的能量和动量，有一个确定关系 E=p²/2m。由于能量频率关系和动量波长关系，这就导致了当我们把粒子看作是波的时候，其频率和波长也有一个关系 f=h/2mλ²。由薛定谔方程所解出来的波，其频率波长正好满足这一关系。其实历史上，薛定谔正是利用这一关系来凑出他的方程。

眼见为实

图9  扫描隧穿显微镜，及其“看”到金属表面的原子，以及金属中跑动的电子和原子干涉所形成的驻波

电子真的是波吗？通过扫描隧穿显微镜（图9第一幅），我们还真能直接“看”到电子的波。扫描隧穿显微镜有一个很尖的针尖，针尖顶上只有一个原子。这个针尖在金属表面扫描，可以看到一个个原子（对应图9中的小尖包）。甚至可以拨动一个个原子，组成各种图形。

仔细的读者可以发现，原子的周围有缓缓的波形，这就是金属中的电子波。金属中的电子十分不安分，跑来跑去。原子周围缓缓的波形，就是运动中的电子，碰到金属表面的原子，所形成的干涉现象（驻波）。我们可以根据驻波的波长λ，来估算金属中电子跑动的速度：v=h/λm_e，其中h是普朗克常数，m_e=9 x10^-28g 是电子的质量。从图9中，我们可以读出 λ＝14x10^-8cm，我们得出电子的速度为 v=5x10⁵m/s，这比空气中的音速快了一千五百倍。

在绝对温度零度时，一个体系中的粒子能量会被降到最低。这时我们会觉得每个粒子都应该处于动能最低的静止状态。可我们发现，即使在绝对温度零度时，金属中的电子还会如此疯狂的跑来跑去，不停下来休息休息——其实这来源于电子的费米性，电子根本停不下来！以后有机会我们会来谈谈什么是粒子（也就是波）的费米性。

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