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数学越学越笨？先搞清什么是数学思维
The following article is from 欧拉数学荟 Author 娄文 1050
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最近几年，“数学思维”这个词的出现频率比以前明显高了不少，有很多课程也打着数学思维的旗号。然而在我看来，这些课程基本上都是挂羊头卖狗肉，甚至老师自己都不了解什么是数学思维。
本文是我为了跟同行交流而写的一篇关于数学思维课的普及性简介。虽然篇幅不长，但如果对数学这个学科和教育没有一些基本的认识，仍然可能存在理解困难。
撰文 | 娄文（中山大学数学学院）
在很多科目上，提高学习强度的做法效果是比较明显的，因为这些科目的学习目标主要是了解相关的知识点，考核的也是学生是否“知道某个事实或结论”。通过增加学习时间提高学生对知识点的熟悉度，特别是有针对性地对其中的重点内容进行死记硬背，成绩的提升效果就更加显著。
然而，在数学学习上埋头苦干、强行突破，虽然不能说完全没有效果，但相对投入的时间精力而言，可以说是收效甚微。而且，为达到既定目标而加倍地布置任务，更容易引发学生的抗拒和厌学情绪。孩子不是没有感觉的机器，不是我们希望运转多长时间就能运转多长时间的。
数学的科目特点跟其他科目有比较明显的差异性，因此在教学方式上也应该有所体现。具体来说，其他科目是以知识性学习为主，而数学则是思维分析能力和知识性内容并重，两者相辅相成。然而长期以来，数学的教学实践采取的却是适合知识性学习的模式。
现有的数学教学模式的困境，很多人其实都看得很明白。然而如果要进行调整，小修小补意义不大，大幅度的调整却难以下决心。为什么大家都不愿对这个模式开刀？对于小学，我认为主要原因有二：
其一，缺乏动力。小学阶段因为学习内容相对（中学阶段）简单，知识点少，题目的变化也较少，“填鸭式教学+题海战术”的方式虽然存在各种弊病，但也能达到一些提分效果。在现有的教学条件下，这不失为一个“明智”的选择。更何况，这种方式的弊病更多地是在中学阶段才逐渐显现，给了小学足够充分的“掩耳盗铃”的时间，说服自己无需为这些弊病负责。
其二，师资条件不足。由于各种客观原因，导致教师队伍的整体能力和素质远不够理想，填鸭式教学尚且勉强，优化教学则困难重重。这个问题在数学科目上的表现尤为明显。
由于缺乏动力，所以没有做出改变的紧迫感。同时又受到师资条件的限制，难以找到合适的突破口进行教学革新。于是，墨守成规就成了自然的选择，因为它足够安全，而且结果容易预测和掌控。
总结起来，在小学阶段采取适合知识性学习的教学模式教数学，虽然教学方式和科目特性并不匹配，但如果以考试成绩作为衡量标准，结果还可以接受。最关键的是，这种方式对老师和学校的挑战性不大，而让学生承担了更大的学习压力。
上述局面如果打个比方，就像我们现在有一辆马车，最高时速可以达到50公里。然而如果要达到最高速度，拉车的马就要拼尽全力，而且不能期望进一步提高速度了。为了提高速度，一个可行的方案是把马车换成小汽车，不仅可以很轻松地达到50公里的时速，而且还能再把速度继续往上提。
但是这个方案有两个“缺点”，第一是把马车换成小汽车需要花费一笔钱，第二是原本习惯了驾马车的“车夫”要改学开汽车，是否能胜任？培训费用多大？由于存在这两个缺点，从短期来看，把马车换成小汽车是亏本的买卖。因此，即使明白为长远的利益考虑应该换小汽车，做这个决定仍然需要很大的魄力。
小学的数学教学也存在（旧的）马车模式和（新的）小汽车模式。现实中，几乎所有小学都仍然保持这马车模式，敢于尝试小汽车模式的学校凤毛麟角。
如果说小学还有选择余地，困难主要在于下决心排除客观上存在的障碍，那么中学则可以说是没有选择的机会。中学的生源来自小学，由于绝大多数学生已经习惯了“填鸭+题海”模式，而且没能建立起基本的数学思维能力，中学也只能“一条道走到黑”了。无论是改变学生的固有习惯还是培养数学思维，都需要花费大量的时间和精力，而中学的学习内容本身就很多，学习进度很快，根本不可能拿出这么多时间去完成这些任务。
每当对现状进行批判时，总会有人引用“存在即合理”来反驳。小学和中学当前的数学教学状态，确实有其形成的原因，但这不能成为我们不去改变它的理由。如果总是按照这样的逻辑去做事，社会也就不可能发展进步。
数学学习的外在表现是“解题”，在大多数人眼里，各种各样的题目就是数学的主要学习内容。然而，如果把题目看作是知识性内容来学习，那么数学的“知识量”就太大了。特别是在中学阶段，题目的条件千变万化，有些题目看起来很不一样，用的却是差不多的方法；而有些题目看起来差别很小，用的方法却截然不同。摸不着其中门道的人，气恼之下就抱怨数学的“陷阱”太多，故意为难人。
数学题目的变化多端，平面几何是一个典型例子。仅仅是一个“全等”的概念，就可以编出很多不同的题目。而“相似”的概念比“全等”更广泛，变化形式就更多了。可以说，平面几何让一大批在小学阶段自我感觉学得不错的学生纷纷缴械投降，从此失去了学好数学的信心。
相对于中学的其他学习内容，平面几何对寻找关联性和探索不同的解决路径的能力要求更高。这些能力在小学的数学题目中原本也有充分的体现，然而却往往在教学中被刻意回避了。小学的数学老师们想了很多办法，让学生能在不锻炼这些能力的情况下把题目做出来。而中学的数学老师却难以复制这样的“成功经验”。
如果说小学数学像一座小山包，从旁边绕过去比直接翻越山顶只是多花费一点时间，那么中学数学就像连绵不绝的山脉，试图从旁边绕过去不仅需要绕得很远，在规定的时间内拼命努力也可能无法按时到达目的地，而且一不小心就会迷路，让人在焦虑和迷茫中耗尽了所有体力。
在小学的数学题中也有变化形式较多的内容。例如行程问题，归结起来都是关于速度、时间和路程三者之间的关系，但在不同的题目中，它们之间的关联复杂性却可以有天壤之别。相应地，行程问题中既有难度很低的“送分题”，也有难度极高的“压轴题”。
行程问题中的知识性内容只有速度、时间、路程的概念，但如果只是把这三个概念翻来覆去地念叨，花再多时间也做不出几道行程问题的题目。不过，数学老师们想了很多办法，只为把行程问题的解题变成知识性内容。他们把行程问题的题目按题目的条件和需要求的结果分成很多类型，大类下面还可能要再进一步分成小类。越是经常考的题目，分类往往就越细。
有的题目虽然曾经出现在考试中，但难度较大且再次出现的可能性相对较小，老师们通常就不会花很多时间去讲解它们的解法，也不会安排很多同类型的题目给学生练习。总的原则是，出现频率越高的题目，花的时间就越多，务必使学生充分熟悉其所属类型的解法的每一个步骤，并且能够熟练地完成整个解答过程，达到足够高的准确率。
这种处理方法把行程问题的学习看作一个静态的任务，按照行程问题的题目的难度和在考试中出现的频率来分配学习时间。如果站在学生的位置上看，行程问题这个“学习单元”共包含若干个类型，有的类型是需要重点掌握的，有的类型相对次要，但也要争取掌握好。在其他（知识性）科目中，这种编排模式是非常典型和常见的。
对每种类型的行程问题题目，学生尽管也需要了解解法中每一个式子的作用，但这往往不是他们充分思考后的结论，而是源于老师的“知识性介绍”。能力强且思考习惯好的学生通常能形成自己的见解，然而这样的学生显然只占一小部分，大多数学生都是囫囵吞枣，也甘于囫囵吞枣，因为他们只要把这些步骤都记准确了，就能够拿到分数。
当学生习惯了这样的教学方式后，就会越来越抗拒接触学校的老师所教授的范围之外的题目。他们非常熟练地使用“超纲”来形容这些题目，并且毫不掩饰自己的厌恶。长此以往，他们的思维不仅不可能外向发散，而且会不断萎缩，直到不再具备哪怕一点点的独立思考能力。
我们强调对数学思维的重视，并不是否定知识性内容在数学课中的重要性。小学数学中包含大量的知识性内容，例如各种基本概念和性质。对于认知能力仍处于不断提升阶段的小学生来说，这些知识性内容的学习需要花费大量的时间。而且，这些知识性内容也是数学思维学习的必要基础。只有在足够扎实的知识基础上进行数学思维的引导和训练，才有可能达到理想的效果。
我们强调对数学思维的重视，是因为相对于数学思维在数学学习中的重要性，老师在教学中投入的时间少得太多，甚至想方设法避开数学思维的培养。这种短视行为使数学这个支柱性科目在事实上丧失了它最重要的教育功能，退化成为毫无教育意义的知识性科目。
数学素养虽然可以划分为数学知识和数学思维两个部分，但这两个部分并不是相互独立的内容。数学思维的培养需要以相关的数学知识作为基础，并且自然地融入到这些知识点的学习中去。数学思维能力应随着数学知识的增长而逐步提升，两者相辅相成，相得益彰。
本文经授权转载自微信公众号“欧拉数学荟”。
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