那些年读过的“自由而无用”的数学书

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对于数学人来说，那些符号和公式就是最动听的乐谱，曲线和曲面就是最优美的画作，而数学语言则是我们之间的密电码，“自由而无用的灵魂”将伴随我们终生。

撰文 | 范明

第一次听说母校复旦大学的民间校训“自由而无用的灵魂”，是在2015年校庆110周年的时候，据说此语最早出自一个毕业生在校园BBS上的留言：“如果你看见有人在路上走着走着，忽然就自己唱起歌来，那人八成是复旦的，因为只有复旦才能培养出这么自由而无用的灵魂。” 那时已在坊间流传了十多年，其知名度远超官方校训。所谓“自由”，乃思想与学术以至生活观念能在无边的时空中恣意游走；所谓“无用”，则是对身边现实功利的有意疏离。其实最能诠释“自由而无用”精神的学科，非纯数学莫属。意大利著名女性数学家和哲学家玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西 (Maria Gaetana Agnesi ，1718－1799) 在其经典巨著《分析讲义》的前言中写道：数学“赋予了世界一种特有的简单和纯粹 (clarity and simplicity) ……按照自然秩序运行，提供了可能是最好的工具，和最伟大的智慧之光。” 

现代数学精神越来越远离尘世，使得人类的自我完善成为可能，当今不少人正是因为这一点才从事数学研究。三、四十年前在复旦数学系/所读书的时候，曾度过几年“自由而无用”的日子、读过几本“自由而无用”的书、做过一些“自由而无用”的事，现在想来也算是与复旦灵魂的某种契合。六年多前笔者在《我的复旦七年》一文中，回忆了在母校度过的那段难忘的岁月。在复旦念数学的七年时间，可以说是一步步颠覆认知、重塑三观的过程，不仅是对数学，更是对人生。迄今已经大学毕业整整40年了，借机再码些“自由而无用”的文字权当回忆，免得再过几年会统统忘光。

17世纪牛顿和莱布尼茨同时创立了微积分理论，被称为“微积分之母”的阿涅西在《分析讲义》(左图) 中第一次将这两个大冤家的数学方法总结到一起，该书在欧洲流行了60多年。微积分引入无穷小量而产生的问题引发了史上第二次数学危机，微积分的严格数学基础直到十九世纪才被“现代分析之父”、大器晚成的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass，1815-1897) 最后建立，从而使得数学分析的叙述终于达到了真正的精确化。顺便说一下，老魏在成为数学家之前据说是体育老师。如今人们在讽刺某人数学不好时，常常爱说那人的数学“是体育老师教的”，看来这话还真不能随便说。

与老魏同时期还有一位同样名为卡尔的德国老乡，在其生命后期也曾致力于微积分的“数学基础研究”，并在1881年前后写下了《数学手稿》。情愿相信他的治学态度是认真的，可惜研究方法不对，仍然停留在牛顿、莱布尼茨和拉格朗日的时代，又被后人捧上神坛。如果当年两位卡尔有缘相见，不知会是啥光景，遗憾的是二人失之交臂。晩清的中国数学家李善兰 (1811-1882) 与英国汉学家、伦敦传道会传教士伟烈亚力 (A. Wylie) 合译美国数学家罗密士 (E. Loomis) 所著《代微积拾级》(右图) 一书，将Calculus译成“微积分”，这个“微积分”译得很传神。

笔者少年时代觉得微积分很神秘，总会联想到达芬奇、贝多芬，当然此“分”非彼“芬”。文革后期高中毕业、失学下乡，百无聊赖中找了一套大学课本来读，习题做了几大本。其实并没有真正搞懂，主要是用来打发时日的一贴自我安慰剂，最大收获则是为77年高考的数学附加题贡献了十几分。当年也曾读过《数学手稿》，但越读越糊涂，尤其那个零分之零，为此考大学第一志愿报了复旦数学，希望弄个明白。大一数学分析课上学了老魏等建立的极限ε-δ定义以及一套完整的极限理论，似乎才渐渐明白起来，业余民科与专业大神毕竟不同。老魏于1872年构造了一个“处处连续但处处不可导”的虐心函数——可看作是分形曲线的雏形，下图为德国2012年为这个函数及曲线140岁生日发行的邮票。

大三第一学期开始读实变函数论，老魏那个处处连续但处处不可导的东东都算是小菜一碟的好函数了。这次轮到法国人闪亮登场，Marie Jodan、Emile Borel、Henri Lebesgue定义并推广了测度与积分的概念。他们还构造出各种各样稀奇古怪的点集合与函数，比如测度为零的稠密点集、可测但处处不连续的函数等。Lebesgue的工作是20世纪科学领域中的一个重大贡献，但在他的研究中扮演了重要角色的那些不连续和不可导的函数曾被人们认为违反了所谓的完美性法则，是数学中的变态和不健康部分，从而一度受到某些数学家的冷遇。

这两门课程我们使用的教材是复旦老师自己编写、高等教育出版社出版的《数学分析》和《实变函数论与泛函分析》，这两套书是复旦为中国数学事业贡献的最重要的教材，从1978年第一版开始即为国内最早、最经典、最标准的专业教科书，受益的学生不可计数。尽管这些艰深的理论、刁钻的难题，日后未必有什么实际用处。记得有位名人说过：“数学是训练思想的体操”，这些思维训练以及数学的精神传承和文化沉淀，对于一个人的影响可以是一生的。故庄子曰：“无用之用，是为大用。”

那时的参考书主要是苏联数学家的著作中译本，如菲赫金哥尔兹著八册《微积分学教程》(上图)、吉米多维奇著《数学分析习题集》(左下图)、那汤松著《实变函数论》(右下图)，每套书都材料丰富、论述详尽、文字优美，堪称经典。格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔兹 (Григо́рий Миха́йлович Фихтенго́льц，1888-1959) 是著名的分析数学列宁格勒学派奠基人之一，在列宁格勒大学 (现圣彼得堡大学) 工作40多年，主讲了30多年数学分析课。他和学生们一起创立了数学分析教研室，培养了许多世界著名的苏联数学家，人们赞扬“他的每一堂课都是一篇教学杰作，甚至他的板书也像是一幅艺术作品”。《微积分学教程》是菲赫金哥尔兹几十年教学经验和教学艺术的结晶，堪称数学分析的百科全书。

伊西多尔·保罗维奇·那汤松 (Исидор Павлович Натансон，1906-1964) 出生于瑞士苏黎世，是菲赫金哥尔兹的学生及列宁格勒学派的代表人物。《实变函数论》是一本难得的语言流畅的精品译作，徐瑞云先生翻译、陈建功先生校订，只是书中很多习题难到使人怀疑人生。白俄罗斯籍数学家鲍里斯·帕夫罗维奇·吉米多维奇 (Борис Павлович Демидович，1906-1977) 是安德雷·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫 (Андре́й Никола́евич Колмого́ров‎，1903-1987) 的学生，柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的数学家之一、苏联另一个著名的数学学派——莫斯科学派的领军人物。《数学分析习题集》共有4622题，涵盖数学分析的大部分基础知识，是每个数学人的入门功夫秘籍，那时没有现在那么多习题解答，全靠自己一题一题做出来。

现代数学是建立在德国数学家乔治·康托尔 (George Cantor，1845-1918) 的集合论基础之上的，为数学的统一提供了一线希望，但康托尔自己发现的悖论及罗素悖论却在19世纪末引发了第三次数学危机。当年还摘抄过萧文灿先生1930年的著作《集合论之初步》文白相间的叙述，现在读来依然十分有趣，特摘录一段如下：“据氏自述，彼发表之集合论，曾弗十年之踌躇，盖其中所含之思想与常识相反者颇多，而为常识意想不到者亦复不少，实为富于革命色彩而又有巨大建设之理论科学。” 

在实变课上学到了用以比较无穷集间大小的基数的概念以及连续统假设，连续统假设如同平面几何中的第五平行公理一样，既不可被证明、又不可被证伪。最引人入胜的则是关于公理系统的“哥德尔不完备性定理”，笔者读研时的教学实习讲座就是以公理系统的不完备性为题目。出生于奥匈帝国的美国数学家库尔特·弗雷德里希·哥德尔 (Kurt Friedrich Gödel，1906-1978) 于1931年证明了“无矛盾”和“完备性”不能同时满足，“真”与“可证”是两个概念，在某种意义上悖论的阴影将永远伴随我们。

后来又读了匈牙利裔美国数学家保罗·哈尔莫斯 (Paul Halmos，1916-2006) 所著《测度论》中译本，与苏俄数学家的风格有所不同。笔者最欣赏哈尔莫斯的一句话：“To learn mathematics is to do mathematics”。据说使用墓碑符号 ∎ 来表示证明完毕是他开始使用的，因此这个符号有时叫作“哈尔莫斯”。那时笔者涉猎了几乎所有能找到的分析数学参考书，但除了仔细研读了那汤松的《实变函数论》和哈尔莫斯的《测度论》之外，大部分只是浅尝辄止。有些重要的参考书很难买到，上述二书都是从图书馆借来，手抄了主要内容，因此练出来一流抄功，图为笔者大学期间的读书笔记。

大三第二学期泛函分析课程的主要内容是Banach空间和Hilbert空间以及这些空间上的线性算子，我们学到的Banach空间上第一个也是最重要的定理之一是“共鸣定理”，即关于有界线性算子的一致有界性原理。这个定理的一般形式是波兰数学家斯特凡·巴拿赫 (Stefan Banach，1892-1945) 与他的导师胡戈·斯坦豪斯 (Hugo Steinhaus ，1887-1972) 一起于1927年率先证明并以二人的名字命名，该定理与Hahn-Banach定理及开映像原理一起被认为是泛函分析的三大基石。提到德国数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert，1862-1943)，自然要联想到1900年他在巴黎的国际数学家大会提出的著名的23个问题，这位“数学界最后的一位全才”、哥廷根学派的代表人物为20世纪的许多数学研究指明方向。

说来有趣，斯坦豪斯的导师是希尔伯特、学生是巴拿赫，斯坦豪斯虽然没有他的老师和学生著名、也没有以自己的名字命名的空间，但他在这两类空间中架起了一座桥梁。巴拿赫与斯坦豪斯都是波兰的国宝级大神，几年前本人曾到后者工作多年的波兰弗罗茨瓦夫大学观光，在大学博物馆拍摄了图片，图中左半部是二战期间著名的波兰利沃夫 (今属乌克兰) 学派成员的合影、右上者为巴拿赫、右下者为斯坦豪斯。作为数学家的大本营，巴拿赫带领一群数学天才在利沃夫大学旁的苏格兰咖啡馆里通宵达旦地神侃数学，他们在那里讨论的193个问题被整理成了《来自苏格兰咖啡馆的数学问题集》。匈牙利数学家Alfréd Rényi有一句名言：“数学家是把咖啡变成定理的机器”，而正宗的苏格兰咖啡是用闻名世界的苏格兰威斯忌与咖啡调和而成。这样说来，泛函分析就是美酒加咖啡的杰作。

泛函分析课教科书中还收录了一些新近的研究成果，例如瑞典数学家连纳特·卡尔松 (Lennart Carleson) 1966年证明的鲁津猜想，即平方可积函数的傅立叶级数几乎处处收敛；以及苏联数学家维克多·罗蒙诺索夫 (Victor Lomonosov) 1973年证明的Banach空间上的全连续线性算子具有非平凡超不变子空间的定理。高年级之后有些课程开始使用影印的英文原著，大四讨论班及作毕业论文时读了哈尔莫斯的第二本书《A Hilbert space problem book》，其中包括200多个问题。希尔伯特和他的学生们在20世纪前三十年提出并发展的Hilbert 空间与算子谱理论，与Banach空间理论一起，标志着泛函分析作为独立的、也是最年轻的分析数学的分支学科诞生，被称为“代数和分析在方法上的统一”。

我们在研究生课程中学习了苏联数学家伊斯拉埃尔·莫伊谢耶维奇·盖尔范德 (Израиль Моисеевич Гельфанд，1913-2009)  在1938年的博士论文中创立的“赋范环论”，即交换的Banach代数。他在Banach空间的分析和几何结构之外，赋予了这些空间合适的代数结构，从而奠定了一般Banach代数的基础。盖尔范德是出生于乌克兰敖德萨省的犹太后裔，柯尔莫哥洛夫的另一位学生，首届数学沃尔夫奖得主，20世纪最伟大的数学家之一。在本科和研究生阶段为我们讲授泛函分析课程的夏道行先生曾于1957-58年间留学莫斯科大学，师从盖尔范德，成为他的得意门生。

2017年秋为纪念恢复高考四十周年，复旦举办了盛大的77、78级同学返校活动，各类回忆文章、各种聚会花絮，令人目不暇接，再现了当年丰富多彩的校园生活。但是作为数学系的学生，留下深刻记忆的还是那些“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”的日子，因此笔者和同学玩笑说：“我们大概进的是在平行空间中的另一个复旦”。1980年代初期的中国，生活还很艰苦，物质还很匮乏，书本的印刷质量也很粗糙，然而名师的指导、知识的沁润、精神的传承却是无价的。

尽管当年读过的书中内容已经记不太清了，但阅读时的愉悦之感、解题中的冥思苦想、顿悟后的豁然开朗，柳暗花明、渐入佳境，依旧恍同昨日。对于数学人来说，那些符号和公式就是最动听的乐谱，曲线和曲面就是最优美的画作，而数学语言则是我们之间的密电码，“自由而无用的灵魂”将伴随我们终生。德国大数学家赫尔曼·克劳斯·胡戈·外尔 (Hermann Klaus Hugo Weyl) 在谈及哥德尔不完备性定理时曾发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。” 其实人生又何尝不是如此。

原稿：2019-07-22 修改：2021-12-30

本文经授权转载自微信公众号“和乐数学”，返朴发表时，作者有二次修改。

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