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量子阻挫的“弦音”

返朴 2023-02-08

The following article is from 量子材料QuantumMaterials Author 拨弦人


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撰文 | 拨弦人
对那些 2000 年初毕业的物理人来说,《超弦演义》毫无疑问是当时非常流行的一本科普读物。李淼老师的这本著作,不仅对超弦理论有很好的图像化描述,同时也于其中夹杂了对中国超弦理论发展的回顾和思考。不同于粒子物理学家,弦论学家将粒子进一步分解为“弦”的无限薄的一维物体。这些一维物体不同的振动模式,对应着基本粒子的属性——质量、电荷等。而粒子间相互作用,则通过弦间的分合来实现。这里,需要指出,因为弦的长度比普朗克长度还小,实验验证“弦”的存在几乎不可能。
与此同时,凝聚态物理的演生论认为:相互作用的那些基本单元,它们集合所形成的大实体会拥有那些基本单元所不具有的特性。可以简单地认为:物理系统经常拿来作为公理用的“线性叠加原理”在这里不适用了。在量子多体系统中,物理人根据这一思想的指导,还真的找到了许多演生 (emergent) 的点状拓扑激发。这些激发中,有些与标准模型中的基本粒子相对应。
图1. 学生坐座位类比一维反铁磁链上的拓扑激发 (涂色区域)。
那么,“弦”是否也能通过演生来实现呢?想像一个由大量“弦”组成的系统:由于弦是一维的,一维弦具有比零维的粒子多得多的自由度,它们既有内部的振动,也能相互作用。由此,弦演生所带来的物理,也将比粒子演生带来的物理丰富得多。笔者们作为理论物理热爱者,基于各种机缘巧合,进入了量子多体物理的领域。然而,我们却在无心之中,机缘巧合地拨动了量子阻挫这把“妙琴”,聆听到美妙的“弦音”。
故事的主人公,是非常著名的伊辛模型,其哈密顿量为:

对于铁磁相互作用 J < 0,最低能量要求自旋成平行排列;而对反铁磁相互作用 J > 0,自旋则反向排列;由此形成了我们熟知的自旋构型。
不过,实际体系,未必如此理想化。为说明简单起见,考虑一个卡通系统:类比于当下疫情,如果在幼儿园里,小朋友为了保证社交距离,需要隔位就坐,那么就会形成类似于一维反铁磁序的结构。然而,如图 1 所示,如果一开始某位同学坐错了位置,产生了两个空位 (橘色空位)。如果想要回到原来的坐序,就需要很多同学集体挪动。这就表明,此类局域结构 (点缺陷) 具有拓扑特性,即需要通过全局构型的改变才可以使其消失或产生。
在磁性系统里面,这样的点拓扑激发,被称为自旋子激发 (spinon)

图2. 左侧图表示了正方晶格如何通过局域能量最低实现全局的反铁磁序。右侧图表示具有几何阻挫的三角晶格上,局域能量最低导致基态的宏观简并性。例如,圆圈标记的自旋可以在不破坏三角形规则的基础上任意选择方向。


维度更高时,拓扑激发模式会变得更加丰富多彩。除了维度提高带来的自由度外,几何阻挫的存在也对激发贡献卓著。所谓几何阻挫,是系统无法通过固定自旋排布来实现局域能量最低的现象。例如,如图 2 所示,对正方晶格,反铁磁相互作用会使每一个连键上自旋反平行排列,点阵因此进入到总简并度为 2 的反铁磁态。与其不同的是,对三角晶格而言,三角形上的三个自旋,无法在每个边上形成反平行排列。因此,局域能量最小的要求是两个反铁磁加一个铁磁排列。这个约束,称为三角约束,对应于自旋冰材料中的冰规则 (ice rule) [1]。满足三角约束的构型并不唯一,如图 2 右侧所示,圆圈标记的位置处,自旋可上下任意选择。瓦尼尔在 1950 年严格求解出这一体系的基态简并度,对应的平均熵约为 0.3383R[2]。因此,三角晶格上,伊辛模型的基态是完全无序的,具有宏观简并性。
有趣的是,这样的宏观简并性,可以被横向磁场 (-ΔSx) 破坏掉。所谓横场,可以理解为量子涨落,由此量子效应就偷偷摸摸进来了。可以想象,对应于图 2(右) 中圆圈标记的位置,在横场影响下,会变成自旋向上与向下的叠加态。如此,点阵在整体上丧失了平移对称性,系统进入到被称为时钟态 (clock phase) 的量子相。
这种在无序的简并基态中诱发出有序量子相的机制,被称为 order from disorder。近期的一些有关稀土化合物的工作,再次带动了对磁性模型的深入研究:例如,对铥镁镓氧 (TmMgGaO4, TMGO) 的系列研究[3, 4],充分揭示了描述其低能激发的有效模型,必须是一个次近邻相互作用 Jʹ 不能忽略的、自旋 1/2 三角晶格横场伊辛模型。然而,笔者利用最先进的数值计算方法之一——量子蒙特卡洛方法 (详见:瞧!这些发明算法的人) ,对其动力学谱函数进行了数值模拟。模拟揭示,在降低横场后,原来的能谱分成了上下两支 (如图 3c)。这一无心之举,却拨动了量子的“弦音”。

图 3. 不同横场 Δ 下的能谱。稀土材料 TMGO 对应的参数:(a) Δ = 0.54、Jʹ = 0.05;(b) Δ = 0.35、Jʹ = 0.035;(c) Δ = 0.20、Jʹ = 0.02。随着横场降低,高、低能模式变得清晰分明。


图4. 左侧为条纹相 (stripe phase) 的自旋构型。中间是单个弦激发的自旋构型。右侧是横场导致的弦的量子涨落。


行文至此,估计绝大多数读者几乎要愤然离场了,因为笔者就好像说书人一般,卖了很多关子,却不把最精彩的说出来。切勿着急,且听笔者讲讲“弦”在何处。
事实上,在次近邻影响下,系统的简并性被完全“冻”住,其基态变成了图 4(左) 所示的条纹相 (stripe phase)。之后,如果把右侧自旋全部反向,就会发现构型并没有破坏三角约束。如图 4(中) 所示,两侧不同的构型中间出现了一条弦。而图 4(右) 表明横场会使弦内部的折角发生扭动,进而改变弦的形状。这就是说,量子涨落改变了弦的形状,使其成为——量子弦!
量子弦振动对应的能量尺度,大概是在横场强度 Δ 附近,也就是低能的那一支。那么,高能区中接近伊辛反铁磁相互作用的那一支,又是来自于何种激发呢?从图 5(左) 可以看出,这一支对应于破坏三角规则的激发形式。这样的点缺陷,是二维的自旋子激发,呈现出分数化的特性,必须成对出现。并且,这一对自旋子,还需要通过量子弦连接在一起。行文到此,我们终于探寻到谱线中分属高能、低能分支的物理源头。貌似故事到此就应结束了,然而,“弦音”却比想象的更加丰富。
对一根“弦”来说,最直接的运动模式,便是内部的振动。这样的振动模式,可以被定量化描述。如图 6 (左) 所示,可以将弦的左 (右) 向映射为有效“自旋”上 (下),则横场导致的弦折角扭动就对应于近邻有效“自旋”的交换作用。那么很自然地,弦的内部振动便可以用一维 XY 相互作用的自旋模型来描述[5, 6]。该模型可以通过 Jordan – Wigner 变换,映射到无相互作用的费米子模型,从而严格求解。其激发谱,是以正弦曲线为包络线的连续谱。从图 6 (右) 可以看出,量子弦的振动模式,确实与 XY 模型的模式 (虚线) 保持一致。这也同时表明,量子弦的内部振动模式也伴随着分数化 (弦折角乃一维拓扑缺陷上的点缺陷,妙!)

图 5. 左侧为自旋子激发对应的自旋构型;右侧是重新回顾弱横场下的谱,其中高能模式对应自旋子分支 (spinon branch),而低能模式则是弦分支 (string branch)。


图6. 左侧为量子弦和一维自旋链的映射关系;右侧是与弦方向平行的激发谱,其中虚线是自旋链上的上下包络线。


在弦理论中,如果跳出普朗克长度,则每个弦都是一个基本粒子。同样地,由于弦之间不能重叠,多条弦的出现将导致彼此限制振动的空间、促使体系能量相应上升、诱发弦与弦之间产生有效的排斥作用。正如图 7(左) 所示,二维系统中多弦的集体行为,就变成了准长程相互作用下的一维费米子系统,意味着可能会出现量子弦的 Luttinger 液体集体激发模式。奇妙的是,如图 7 所示,能谱结果确实与 Luttinger 液体的能谱非常相似。这种一维拓扑激发的集体行为,不由得让人感叹演生论的丰富内涵。
回归实验本身,通过算符定义,我们可以成功剥离量子弦和自旋子的贡献。如图 8 所示,对 TMGO 中对应的能谱,自旋子和量子弦模式在很多地方已经混合成一支,看不分明了。这也就解释了实验中探测不到量子弦相关激发模式的结果。虽然在实验上无法区分,但通过数值计算可以看到,在某些能级相同的区域,激发中既有自旋子的贡献,也有量子弦的贡献。点状拓扑激发——如自旋子、任意子、马拉约纳 (Majorana) 费米子等——的演生,在物理学的各个领域产生了重大影响。毫无疑问,高维的演生激发,则具有更为丰富的内部自由度以及相互作用形式。这把由量子“弦”组成的“琴”,正待物理人弹奏出动听的旋律。
最后,笔者还有一些感慨:物理世界丰富多彩,物理人从事的方向也各不相同,但物理学大道至简、九九归一的朴素精神是普适的。当年,众多大神由高能物理初转凝聚态领域时,纷纷将很多新思想引入进来,带来凝聚态物理的兴起。笔者也许没有那样的功底和能力,但愿在纷繁复杂的凝聚态领域内,能找到一些精简的理论、描述普适的规律。
我们的这些观点和讨论,近期发表在《npj Quantum Materials》。有兴趣的朋友,请移步拙文[7],关注其中更多细节。

图7. 左侧为多条量子弦,其可以等效看作排斥相互作用的一维费米子;中间是垂直于弦方向的能谱,可以看出其与右侧 Luttinger 液体有非常相似的能谱结构。


图8. (a) 稀土材料 TMGO 对应参数下的能谱,(b) 破坏三角形规则的自旋子贡献和(c) 不破坏三角形规则的量子弦贡献。


参考文献

[1] Castelnovo, C., Moessner, R. and Sondhi, S. L., Magnetic monopoles in spin ice, Nature 451, 42 - 45 (2008)[2] Wannier, G. H., Antiferromagnetism, the triangular Ising net, Phys. Rev. 79, 357 (1950).[3] Shen, Y. et al., Intertwined dipolar and multipolar order in the triangular-lattice magnet TmMgGaO4, Nat. Commun. 10, 4530 (2019)[4] Li, H. et al., Kosterlitz-Thouless melting of magnetic order in the triangular quantum Ising material TmMgGaO4, Nat. Commun. 11, 1111 (2020).[5] Zhang, X.-F. and Eggert, S., Chiral edge states and fractional charge separation in a system of interacting Bosons on a kagome lattice, Phys. Rev. Lett. 111, 147201 (2013).[6] Zhang, X.-F., Hu, S., Pelster, A., and Eggert, S., Quantum domain walls induce incommensurate supersolid phase on the anisotropic triangular lattice, Phys. Rev. Lett. 117, 193201 (2016)[7] Zhou, Z., Liu, C., Yan, Z., Chen Y. and Zhang X.-F., Quantum dynamics of topological strings in a frustrated Ising antiferromagnet, npj Quantum Materials 7, 60 (2022) [https://www.nature.com/articles/s41535-022-00465-3]
开弦我世界,一枝可成琴

备注

(1) 笔者:周正、刘长乐、严正、陈焱、张学锋。(2) 这几位笔者,每一位都是理论物理个体,其自身的维度还远不止一维。现在,这些人聚拢一处,形成高维的“弦”聚体,那岂不是天地都帅翻了?!这也是演生物理的意义。(3) 置于文尾的书法“开弦我世界,一枝可成琴” (也是封面),乃青年书法家赵韬与作者之一张学锋于某日、堯寶齋中畅谈物理,即兴泼墨所作。


本文经授权转载自微信公众号“量子材料QuantumMaterials”。


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