原来你是我的幂幂呀!

本文为系列文章 “无穷集的基数” 的第五篇。该系列文章讲述无穷集之间的大小区别，有助于理解后续学习中经常遇到的数学运算。

系列文章：

前置文章：

所需知识：整数集

前面的系列文章已经提到，自然数集  的基数比实数集  的基数小。剩下的就是要解决问题：实数集  的基数是怎样的？实数集  的基数会比实数集  的基数大吗？目前我们还没办法直接解决这2个问题，得先回头再看看 “如何扩大可列集” 这个问题。

1. 幂集的基数

系列文章《比可列集还大的集合？》说过，通过 “添加可列个元素” 不会让一个无穷集的基数变得更大。大佬们其实已经找到了另一种有效的方法：通过 “幂集” 来扩大集合。

定义

给定集合  ，把集合  的全部子集组成新的集合，该集合称为  的幂集，记作  。

例如集合  的幂集是：

关于幂集我们有以下定理：

无最大基数定理

任意集合  与其幂集  不对等，进而有  。

证明

有限集合和空集的情况是成立的，这里不多说，重点看看无穷集合的情况。

1. 证明集合  与  不对等

用反证法。反设集合  与其幂集  是对等的，即存在从  到  的一一映射  。我们基于  来构造  的一个特殊子集： 

如果把集合  看作   中的元素，因  是一一映射，可知存在  使得下面的式子成立： 

讨论一下元素  跟集合  仅有的两种关系：

• 如果  ，根据集合  的定义，必然有  ，相互矛盾，因此这种情况不成立；
• 如果  ，根据集合  的定义，必然有  ，还是矛盾，这种情况也不成立。

仅有的两种情况都不成立，这是不可能的，说明反设不成立，即映射  不存在，因此集合  与其幂集  是不对等的。

2. 证明  

对于任意  ，构造从集合  到  的映射  ：

容易看出映射  是单射，说明集合  与  的一个子集对等，再加上前面已证明集合  与  是不对等的，因此有

证毕。

定理说明，任意一个集合，它的幂集的基数总是比原集合的大。如果一直进行 “幂集” 操作，就可以不停地得到更大基数的集合。从而我们知道，基数有最小的（可列集基数  ），但没有最大的，也因此该定理才会被称为 “无最大基数定理”。

2. 二进制数列

为方便后面内容的讲述，我们在这里介绍一个概念：

定义

如果数列  中的元素值要么为  ，要么为  ，没有其它取值，则称该数列为二进制数列。所有二进制数列组成的集合简记为  。

没错，这个定义是我自己编的，我故意的，合理可用、方便记忆，肯定不会与其它专业术语重复。

对任意数列  ，我们定义映射  ：

其中  指的是正整数集，也就是自然数集  去掉  ，即：

解释

映射  是把数列  中值为1的项的下标索引（从1开始）拿出来组成新的集合，例如，对于数列  ：

则有：

明显有  ，且有下面这个结论：

结论1

映射  为从二进制数列集  到幂集  的一一映射，或者说，二进制数列集  与幂集  对等。

这个结论我们就不证明了。

3. 正整数集  的幂集

根据系列文章《神奇的希尔伯特旅馆》的内容，前面提到的正整数集  明显与自然数集  对等（毕竟只是少了一个元素0）。而且，正整数集  的幂集还有下面这一个重要的结论：

结论2

实数区间  与正整数集  的幂集对等。

证明

思路是，证明两个集合分别与对方的子集对等，然后借助系列文章提到的 “伯恩斯坦定理” 证得两者对等。

1. 证明  与  的一个子集对等

对  的每个子集  ，即对任意  ，令： 

根据文章《专门讲讲这个级数和映射》的结论2和结论3，在 “单调有界原理” 的加持下，可知级数  的极限存在，同时有：  

即  且映射  是单射。也就是说，  是从  到  一个子集的一一映射，因此有：  

2. 证明  与  的一个子集对等

文章《实数的二进制表示》中提及映射  ，对每个实数  ，都有：

其中  ，且为单射（坚持  的同学可能不认同）。沿用本文结论1的映射  ，可得映射： 

其中  。因映射  和  都是单射，可知映射

也是单射，即  是从  到  一个子集的一一映射，因此有： 

结合式(1)和式(2)可知，实数区间  与正整数集  的幂集对等。证毕。

由系列文章《比可列集还大的集合？》可知，实数集  与区间  是对等的，又容易知道正整数集  是可列集，综合起来，实数集  竟然与可列集的幂集对等！

而结论1又提及，二进制数列集  与幂集  对等，所以，实数集  也与二进制数列集  对等。

结论3  

4. 怎么照顾微积分新手？

为了说明存在比可列集基数大的无穷集，系列文章《比可列集还大的集合？》借助于微积分新手不大好接受的 “区间套定理” 完成证明，并且找到了这样的集合：实数集  。而本文无须用到区间套定理，也证明了比可列集基数大的无穷集是存在的，并且得到了 “无最大基数定理”，从而确认定义无穷集合的基数是有意义的。

但是，为了能够进一步比较自然数集  与实数集  的基数大小，这篇文章须要用到 “单调有界原理” （参考文章《专门讲讲这个级数和映射》），须要了解 “实数的构造原理”（参考文章《实数的二进制表示》），都是对微积分新手非常不友善的内容。不过，一份付出一份收获，这篇文章得到了更强的结论：直接指出实数集  与可列集的幂集对等。

其实，区间套定理和单调有界原理，都是实数系连续性的等价描述，都是基于实数系的构造而得到的性质，可谓是同根同源。再次感慨再次明白，为什么没办法给刚接触微积分的同学介绍无穷集的相关概念。

在理解无穷集的相关概念时，对没有任何基础的同学，可以借助 “伯恩斯坦定理” 和 “无最大基数定理” 理解无穷集基数定义的合理性；如果熟悉 “区间套定理”，则能够对自然数集  与实数集  的基数进行比较；如果了解 “实数的构造原理”，并且掌握 “单调有界原理” ，则还可以知道实数集  和可列集的幂集对等，这就是本文最重要的结果。

接下来的文章，我们就会在前面打下的基础上，看看实数集  的基数究竟是怎样的。敬请期待。