材料力学新算法系列讲座（四）：连续分段独立一体化积分法

李银山  张智慧

(河北工业大学 机械工程学院 工程力学系，天津300401)  (辽宁工程技术大学）

摘要：提出了一种解决杆件结构弯曲变形问题的创新算法—连续分段独立一体化积分法。此算法是材料力学与计算机编程有机结合的一种快速解析法。本系列讲座通过材料力学与计算机编程的有机结合，对材料力学的教学方法进行有效改革, 强化对学生的能力培养, 收到了较好的效果。传统算法和现代算法并重，学习传统算法便于理解材料力学基本原理，采用现代算法可以快速，准确解决工程问题，提高效率。

关键词：创新算法，Maple，平衡方程法, 支座约束力，逆解法

第四讲

平衡方程法与连续分段独立一体化积分法

梁的弯曲内力和弯曲变形是材料力学中两大教学重点和难点，是解决梁的弯曲强度和刚度问题的基础，也为解弯曲超静定问题等所必须^[1~3]。求支座约束力是解梁的弯曲内力和弯曲变形问题的第一步。平衡方程法是求解支座约束力的基本方法。平衡方程法通常不能求解超静定问题的支座约束力。连续分段独立一体化积分法与平衡方程法求支座约束力的思路不同，实际上连续分段独立一体化积分法是平衡方程法的逆解法。平衡方程法解题思路如下：

支座约束力剪力F_s(x)弯矩M(x)转角θ(x)挠度ν(x)；

连续分段独立一体化积分法解题思路如下：

载荷集度q(x)挠度ν(x)转角θ(x)弯矩M(x)剪力F_s(x)支座约束力

随着人工智能和专家系统技术的不断发展，代表人工智能技术在数学领域的应用典范——计算机代数系统，伴随着计算机技术的不断发展而迅速崛起。Maple, Mathematica， Matlab，MathCAD等都是非常实用高效的计算机代数系统，具有很强的符号运算、数值计算、图形、编程等功能，和友好方便的人机交互界面，其应用遍布科学研究，工程应用和辅助教学等^[4~16]。用连续分段独立一体化积分法和计算机编程相结合来求解支座约束力就显得轻松自如。

1.平衡方程法求解支座约束力问题^[17~20]

1.1符号约定

符号说明如下：

① 载荷集度q：向上为正,“+”。

② 集中力F：左上右下为正，“+”；

③ 集中力偶M_e：左顺右逆为正，“+”；

④ 剪力F_s：左上右下为正，“+”； 

⑤ 弯矩M：左顺右逆为正，“+”；

⑥ 转角θ：逆时针为正“+”；

⑦ 挠度ν：向上为正,“+”。

⑧ 弹性模量E；

⑨ 截面惯性矩I。

1.2 平衡方程法

平衡方程法解物体平衡问题一般遵循如下步骤：

第一步：研究对象

根据问题的需要，选定研究对象并画出其分离体图。选择研究对象的原则是：

(i)简单优先 即未知力数量最少原则。

(ii)整体优先 这样选未知力数量比较少。

第二步：受力分析

对选定的研究对象进行受力分析，画出隔离体的受力图。进行受力分析的原则是：

(i)先主动力 即先画主动力。

(ii)后约束力 即后画约束力，按约束的约束力数量多少逐步一一画出。

第三步：平衡方程

根据隔离体受力的类型，列出隔离体的平衡方程。进行受力分析的原则是：

（i）投影优先

平衡方程一般有两类，其一，向某一坐标轴上投影；其二，对某一坐标轴取矩。在包含未知量个数同样的情况下，二者相比应该投影优先。

（ii）含未知数量最少

即列出的平衡方程中应该包含尽可能少的未知数。列投影方程，尽量取垂直于一个未知量的方向投影；列取矩方程，坐标轴尽量取在未知量比较集中的位置。

第四步：写出结果

解出未知量，用有效方法检验结果。

(i)用字母表示的结果应该化简为最简单。

(ii)用数值表示的结果，一般用四舍五入法保留四位有效数字，并选择合适的单位。

(iii)计算结果中最好能体现量纲的物理意义。

空间任意力系可以列6个独立的平衡方程，即

平面任意力系可以列3个独立的平衡方程，即

1.3 例题讲解

例题4.1承受集中力F=8kN和载荷集度q=2kN/m的外伸梁，如图4.1a所示。梁弯曲刚度EI ，长度L₁ =4m ，L₂ =6m ，L₃ =4m ，试求梁的支座约束力。

(a)复杂载荷下的外伸梁

(b)支座约束力

图4.1外伸梁的支座约束力

解：采用平衡方程法

外伸梁受力F，q ，F_Ax ， F_Ay ，F_C。如图4.1b中所示。

综上所述

2.平衡方程法与Maple软件的结合^{[16，21，22]}

2.1建模 （平衡方程法）

 现在我们利用平衡方程法与Maple编程相结合解例题4.1如下：

① 列平衡方程一；

② 列平衡方程二；

③ 列平衡方程三；

④ 解方程组求支座约束力；

⑤ 代入数值求支座约束力的值。

Maple编程计算结果与手算结果完全相同,见式(4.6)。

2.2 Maple程序（平衡方程法）

3.连续分段独立一体化积分法求支座约束力问题^[23~29]

3.1连续分段独立一体化积分法

李银山等（2013年）^[23~25]提出了一种解决结构变形问题的快速解析新算法—连续分段独立一体化积分法。该法首先将梁进行连续分段，独立建立具有四阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独立积分四次，得到挠度的通解。根据边界条件，确定积分常数，得到剪力函数。根据剪力函数提取支座约束力的值。图4.2是连续分段独立一体化积分法求支座约束力的流程图。

图4.2连续分段独立一体化积分法求支座约束力流程图

基本方程如下：

基本关系如下：

微分关系

积分关系

3.2建模（连续分段独立一体化积分法）

现在我们利用连续分段独立一体化积分法解例题4.1如下：

① 建立挠度的（载荷集度型）四阶导数微分方程；

② 积分一次得剪力方程的通解；

③ 积分二次得弯矩方程的通解；

④ 积分三次得转角方程的通解；

⑤ 积分四次得挠度方程的通解；

⑥ 根据边界条件和连续条件确定积分常数；

⑦ 求剪力函数,外伸梁的剪力图如图4.3所示；

⑧ 计算外伸梁的支座约束力。

连续分段独立一体化积分法计算结果与手算结果完全相同,见式(4.6)。

图4.3外伸梁的剪力图

3.3 Maple程序（连续分段独立一体化积分法）

4.结论

4.1平衡方程法+Maple编程加快了计算速度

平衡方程法主要的繁琐计算在于手工解方程组，用平衡方程法与Maple编程相结合，用电脑解方程组求积分常数既简单、又速度快。

4.2连续分段独立一体化积分法求支座约束力是材料力学的逆解法

平衡方程法求解支座约束力需要列平衡方程，连续分段独立一体化积分法不需要。新旧方法求解思路对比如图4.4所示。

图4.4新旧方法求解思路对比图

4.3 增加了求解支座约束力的新方法

连续分段独立一体化积分法提供了除平衡方程法和虚位移原理外求支座约束力的第三种方法。

4.4 实践创新升级

通过创新方法求支座约束力不仅可以培养学生的正向思维还可以培养学生的逆向思维。

下一讲预告：

第5讲：叠加法与连续分段独立一体化积分法。

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李银山教授专栏

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编辑：吴良秀

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