根轴训练题5-2015韩国KJMO-5

一道难度适中的训练题，与 根轴训练题4 类似是一道比较纯粹的根轴训练题，这次选择的是韩国KJMO的一道题目，有兴趣的同学拿起笔来试试吧；

题目标签：根轴-共点类-2015KJMO-5

需要的知识储备：根轴（多纯粹的一道题目）

后面会给两种证明；

题目如下：

（练习留白）

（练习留白）

(下面是答案啦~)

现在剖析一下该题：

如果一开始你就打算用根轴的话，就证明IT，LK与P的切线三线共点即可；

注意到RT△PTI的外接圆圆心在PI上，

即△PKL与△PTI外接圆切线重合,

两圆内切于点P

所以接下来目标就很明确了,

只需要证明TKLI四点共圆即可;

还有很多条件没有发掘:

结合ID=IL=IK

且BDEC、DKLE分别共圆导角得

∠ITL=∠IBC+∠DCB

         =∠IDL+∠DEK

         =∠ILD+∠DLK

         =∠ILK

         =∠IKL

故ITKL四点共圆

因此证毕!

(下面是解法二~)

当然还有一种相似的思路可以用:

注意到：∠EKL=∠EDL=∠EDC=∠EBC

得到:KL∥BC

若LK与BI交于Q，则

∠ILD=∠IDL=∠IDC=∠IBC=∠IQL

⇒△ITL∼△ILQ

⇒IT•IQ=IL²

若P的切线与BI交于Q'

则由于PT⊥IB且IP⊥PQ'

则IT•IQ'=IP²

结合IP=IL⇒QQ'重合，故证毕!

(下面是简评)

本题不算是一道难题,但是对训练利用根轴法找圆是一道好的练习题,当然如果能抛弃先入为主的概念也是一道很精巧的练习题;

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aops原题链接：

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1158075p5501293

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