龙年伊始，Sora横空出世，举世震惊。Sora声称“作为世界模拟的视频生成模型”，豪气干云。有人悲观预言很多传统领域可能被颠覆，其中最为岌岌可危的可能是计算机图形学，短视频和影视娱乐行业。依随OpenAI透露出更多技术细节，很多Sora生成的物理悖谬的视频流传于网络。这里笔者依据现代数学特别是整体微分几何领域的一些观点来解释目前Sora技术路线中的缺陷，希望能够抛砖引玉，为广大AI研究和工程人员拓宽思路，共同促进提高。这里主要用流形嵌入理论、灾变理论（临界态理论）、纤维丛示性类理论、热扩散方程和最优传输方程（蒙日-安培方程）的正则性理论来解释。流形分布定则在深度学习领域，一个自然的数据集被视为一个流形上的概率分布，这被称为是流形分布定则。我们将观察到的一个样本看成是原始数据空间中的一个点，大量的样本构成原始数据空间中的一个稠密点云，这片点云在某个低维流形附近，这个流形被称为是数据流形。点云在数据流形上的分布并不均匀，而是满足特定的分布规律，被表示成数据概率分布。那么，我们自然产生如下的疑问：1.

最近清华大学举行了2023年本科生特等奖学金答辩大会，竞争异常激烈。我收到了清华党委学生部寄来的《一封清华学子的来信》，信中说道：”还记得在高中的时候,我们就听过‘清华大学特等奖学金’,

最近很多年轻朋友询问最优传输的理论和计算问题。当年丘成桐先生是通过凸微分几何的Minkowski问题教给笔者Monge-Ampere方程的相关理论，因此笔者一直通过几何图景来理解最优传输和Monge-Ampere方程。最优传输理论具有非常直观的几何图景，并且与经典的计算几何概念和理论密切吻合。例如经典的Brenier理论等价于Minkowski-Alexandorff凸几何理论（图9），c-变换等价于几何中的包络。最优传输中的各种对偶与几何中的各种对偶一一对应：c-变换（勒让德变换）对应包络、凸包直接的对偶（图3，图4），正逆最优传输变换对应Power

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ChatGPT，那么我们需要将所有可能的提问构成输入，根据上下文的回答构成输出，这时我们计算两个语义分布之间的联合概率分布。在当今时代，人类社会将所有可能出现的信息都保留在

今天暴雪，狂风怒号，漫天飞雪，天地一片苍茫。早起铲雪，无力地挥舞着雪锹对抗残酷的自然，再度体会了石器时代的原始生产力水平。忽然感到能够在书桌前百无聊赖地思考抽象的数学，实在是人类通过世代努力积累，才修来的一种无上幸福。这些天笔者一直和老朋友汪浩然探讨Arnold所创立的拓扑Galois理论，汪浩然比较认同Arnold的观点，Arnold认为应该用初等古典的观点讲解现代数学，而非用故弄玄虚的现代抽象观点讲解初等数学。这里，我们用Arnold的拓扑方法来解释抽象的Galois理论。可解群求解多项式方程是代数学的基本问题之一。Abel证明五次方程无“代数”解（即解无法由方程的系数通过算术运算与求根运算表达），Galois完整地解决了多项式的根求解问题：他给出了多项式根式可解的充分必要条件。与多项式可解性密切相关的群是对称群。所谓群是一个集合和一个乘法算子,

所有的单位切向量构成一个圆圈，被称为是点的纤维。开集上所有的单位切向量构成了一个直积。但是整个曲面的单位切丛未见得是整体直积结构。我们分析一下球面的单位切丛。图

今天是2021年的除夕，又到了回顾身边一年来科技进展的时候。今年的主旋律依然是抗击疫情。病毒是最为原始的生命形态，只有一段信息，但却一次次颠覆了人类历史。人体细胞每7个月就会彻底更换，但是DNA信息不变，这足以表明人的本质是信息，因此信息科学具有根本的重要性。纵观过去一二十年间信息科学的发展，特别是三维技术的发展，笔者认为主要有三个根本的关键自然科学的因素：1.

最近惊闻施皖雄师兄突发心脏病而英年早逝，令人扼腕叹息、无限伤感：人世间又少了一位才华横溢的数学家。丘成桐先生撰写了悼词，感人肺腑，悲恸惋惜。丘先生给予皖雄师兄极高的学术评价，他称赞师兄的学问是一流的，为里奇流（Ricci

“识别图中二维码”，即可关注。【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

最近，笔者的很多老同学、老朋友向笔者咨询孩子求学选专业的问题。笔者一直在计算机系和数学系从事教学和科研工作，对此一直有自己的观点：本科期间尽量多地学习基础数学理论，研究生期间再根据志趣选择计算机或者数学。这两个方向具有迥然不同的价值观念、知识结构和技能体系，更有不同的社会需求和职业道路。数学以追求自然真理为目的，具有强烈的美学价值和超越世俗的出世倾向。任何青少年，如果能够领悟音乐的魅力，会自然而然地追求数学的境界。但是现实的障碍在于数学需要在求学关键时期遇到优秀的老师，融入到浓厚的数学文化氛围之中，迅速建立抽象思维能力，领悟现代数学的思想和方法。计算机以实现算法、改善物质世界为目的，具有强烈的的入世倾向。相对于数学，计算机的能力更加容易自学并且通过实践进行修炼提高。计算机能力归根到底是将思想转化成算法，到了高级阶段之后，计算机能力的瓶颈在于基础数学能力。与数学能力的培养相类似，计算机能力的培养也需要多年的实践磨练。这样就产生了一个矛盾，大学本科低年级应该偏重数学还是计算机？笔者倾向于数学，因为数学能力的智力开发更需要“童子功”，对于年龄要求更加严苛一些。计算机能力的培养可以推迟一些。下面是笔者亲身经历的一个例子，这个例子可以解释计算机和数学方向的异同，或许对于孩子的专业方向选择有些参考作用。近期元宇宙（metaverse）、数字孪生（digital

在科技历史上，数学为工程技术提供了理论基础、指引了未来发展方向；反过来，工程技术为数学提出了新的挑战，推动了数学理论的发展。深度学习和最优传输理论再度验证了这一历史发展模式。深度学习的社会学瓶颈深度学习在工程技术领域取得了巨大的成功，其内在原因在于自然数据集具有内在的规律：流形分布定律，即一类自然数据可以被视为嵌入在高维背景空间中的低维数据流形上的一个概率分布。深度学习算法可以被解耦为学习流形结构和学习概率分布。在深度学习算法中，流形结构被表示为编码映射和解码映射，即数据流形的局部参数化；概率分布可以被表示成吉布斯势能函数，或者最优传输映射。最优传输映射将白噪声（高斯或者均匀分布）映射成数据分布。所有的映射，编码、解码、传输映射等都被深度神经网络来逼近。由几何逼近理论，我们从离散采样点集合来重建数据流形，目的是保证重建流形与初始数据流形一致。这里，所谓一致具有不同层面的含义，通常由弱到强指拓扑结构，Hausdorff距离，黎曼度量和微分算子的一致性，需要不同的采样要求。例如曲率高的区域、内射半径小的区域、数据分布密度高的区域需要更加稠密的采样。由此可见，为了训练深度学习模型，我们需要数据流形上的稠密采样点，并且采样点的分布忠实地反映了真实数据分布规律。因此，我们需要大量训练数据。但是，很多大数据与个人隐私相关，具有强烈的敏感性，无法直接公开提供给社会各界使用，这成为未来深度学习的社会学方面的瓶颈。生成模型是突破瓶颈、实现数据脱敏的一种强有力的技术方法。例如，人脸图像数据集会泄露人脸信息，侵犯个人隐私；但是对于深度学习人脸识别算法，我们由需要大量人脸图像用于训练和提高模型性能。这时我们可以应用生成模型来生成大量的人脸图片，这些图片看上去与真人无异，但是现实生活中并不存在，因此不会侵犯任何人的隐私，同时也可以帮助人脸识别模型提高性能。图0.

最近在拜读《几何人生：丘成桐自传》这本书。作为一代宗师，丘先生的自传充满了精彩的人生智慧和深刻的学术思想。笔者觉得任何一个学者，都会从中得到启迪。特别是矢志投身科学事业的年轻人，如果能认真学习这本书的思想，肯定会受益终身。工科研究生的基础科学训练相对比较薄弱，往往花费多年心血精心打造一个非常狭小领域的某个算法，但是缺乏关于基础数学，特别是拓扑与几何的宏观看法。因此学习丘先生高屋建瓴的观点和方法，不但对于纯粹数学的研究必不可少，对于工程技术的发展也是至关重要的。例如，丘先生回顾在柏克莱读书的岁月，曾经写下这样的一段：“当我研究十九世纪中叶到二十世纪初期代数几何和算术几何的发展，觉得它们内容极为丰富，而它们重要的方法是用空间上函数的代数结构来决定代数空间的性质。我觉得这个想法很好，在一般的空间上，也可以用函数的结构来描述这些空间的几何性质。这些函数必须要和空间的几何有密切的关系才能派上用场，一般来说，他们都是线性或是非线性微分方程的解，但是函数的定义要推广，有时是纤维束上的截面。我花了很多工夫沿着这条路走，以后和大量的朋友和学生合作，解决了几何上很多重要问题，大家叫这个学科为几何分析。”这段话写得从容徐缓，平淡无奇，但是笔者基于过去多年的研究经验，却觉得这段话平地惊雷，振聋发聩！这段话所凝练的思想非常广袤深邃，意蕴深远，其背后的历史故事更是跌宕起伏，波澜壮阔。笔者在计算机科学领域和应用数学领域耕耘不辍，亲眼目睹了不同工程领域很多算法的诞生和成长，本质上就是依随丘先生所指出的这条路线，历史一次次验证了几何分析的深刻和力量。图1.

曲面的微分几何理论断言给定曲面的第一基本形式（黎曼度量）和第二基本形式，曲面在三维欧氏空间中的嵌入就被确定（相差一个刚体变换）。对于封闭的凸曲面而言，黎曼度量就可以确定曲面的形状。但是如何由黎曼度量来计算凸曲面形状，一直以来没有成熟的算法。为此，我们安排了一次作业，实现从高斯曲率来重构凸曲面的算法。图1.

依随深度学习方法的深入发展，人们逐渐意识到最优传输理论所起到的奠基作用。深度学习可以抽象概括为学习流形上的概率分布，因此概率分布之间的变换和衡量概率测度之间的距离是深度学习最为核心的主题。而最优传输理论为解决这些问题提供了理论基础和计算工具。更进一步，最优传输理论为所有概率测度构成的空间定义了黎曼度量和协变微分，从而使得在所有测度构成的空间中进行变分优化成为可能。因此，我们可以预见在深度学习热潮渐落之后，最优传输理论经过大浪淘沙，会凝练成思想精华，全面渗透入工程领域。但是，描述最优传输映射的偏微分方程具有强烈的非线性，因此精确计算最优传输一直具有挑战性。目前在工程领域，特别是在深度学习领域，人们都是将概率测度离散化，将Kantorovich能量加上熵正则项，得到光滑的近似，逼近误差用一个参数进行控制，例如常见的Sinkhorn算法，Nesterov近似等等。我们经过大量实验，发现这些算法有很多内在缺陷。如果我们希望精确计算连续分布之间的最优传输映射，这些算法需要对源区域和目标区域稠密采样，如此计算复杂度过高，无法用普通硬件实现。同时这些算法给出了近似解，如果我们希望通过减小控制参数来提高逼近精度，因为算法依赖超越运算（指数对数运算），算法稳定性迅速变差，无法收敛。如果我们细致地调节参数以保证算法的稳定性，这时得到的近似解与真解相距甚远。我们一直希望能够对最优传输映射进行深入细致地理论研究，因此要求能够得到高精度的数值解，同时可以控制误差范围。Sinkhorn算法虽然火热，但是理论上无法真正满足需求。我们发现，目前几乎不存在高精度最优传输算法的软件工具。在基础和应用数学领域，虽然大家数十年如一日地研究蒙日-安培方程，但是并没有比较普及的计算工具；在计算机科学领域，绝大多数的算法都是基于Kantorovich的线性规划及其光滑近似（Sinkhorn）。这些方法空间复杂度很高，逼近误差较大，更为严重的是，这些方法破坏了最优传输问题本身的理论结构，摒弃了内在的几何特性。目前工程领域对于这些算法的热衷，很大程度上是用方便来取代有效，并且将最优传输视为一个成型的工具，而没有深入理解其内在的理论结构。因此，在我们的课程上，我们着重讲解了最优传输问题的几何求解方法，这一方法与蒙日-安培方程的弱解理论相一致，与Minkowski和Alexandrov的凸几何理论相吻合，从几何角度来理解诠释最优传输理论，给人以强烈的几何直觉和深刻细致的洞察。关于最优传输映射，我们依然有太多的未知，我们希望几何方法提供的计算工具能够帮助大家更加深入地研究这一理论，对于蒙日-安培方程具有更加深刻的理解，从而进一步推动工程应用的发展。理论回顾给定欧氏空间的概率测度及其支集和，满足总测度相等，密度函数和，。一个映射是保持测度的，如果对一切，都有记为。给定传输代价函数，蒙日问题是求解所有保测度映射中传输代价最小者，如果传输代价是欧氏距离的平方，和紧致，为凸区域，那么Brenier定理断言存在一个凸函数，即所谓的Brenier势能函数，其梯度映射给出了最优传输映射，，并且这种最优传输映射是惟一的。Brenier势能函数满足蒙日-安培方程（Monge-Ampere）并且满足边界条件。由此，求解最优传输映射等价于求解蒙日-安培方程。我们在中离散采样，得到采样点集，用Dirac测度之和来逼近目标测度，由此来考虑半连续的最优传输问题。由Brenier定理，最优传输映射等于Brenier势能函数的梯度映射，这时Brenier势能函数为分片线性函数，这里，每个采样点对应一个支撑平面，高度为未知量，的图是这些支撑平面的上包络(upper

在深度学习中，自然的数据集被视为定义在流形上的一个概率分布，学习的主要目的就在于学习数据流形的结构，得到概率分布的表示。很多学习算法是根据已有的观察样本来学习概率分布。观察样本只提供关于未知分布的部分知识，因此解并不唯一，我们需要定义各种能量，在满足观察的限制下，来优化这些能量。最为常见的优化框架就是最大熵原理。熵衡量了一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，随机变量最为不确定。最大熵原理就是在只掌握未知分布的部分知识时，选择符合这些知识并且熵值最大的概率分布。最优传输给出了另外一个理论框架。给定空间，其上所有的概率分布构成一个无穷维空间。对于任意的概率分布，最优传输理论定义了它们之间的距离，例如Wasserstein距离，进而定义了黎曼度量，平行移动，协变微分，这为我们在中进行优化供了理论工具。作为定义在上的函数，熵是测地凸函数，因此熵的Hessian可以作为的另外一个黎曼度量。在很多应用场合，熵度量和Wasserstein度量彼此等价。目前的深度学习主要是基于熵度量的，理论上可以用最优传输的框架加以解释和提升。通常情形下，用熵优化的框架容易理解和计算，用熵作为正则化能量也可以提高最优传输运算的速度。但是对于精密的应用场合，最优传输理论给出了严格的精度和稳定性保证。例如在生成模型中，模式崩溃的理论解释来自于蒙日-安培方程的正则性理论，避免模式崩溃的算法设计也来自于最优传输的几何理论。再如，给定两个支集彼此相离的概率测度，相比于相对熵的KL散度，Wasserstein距离更加精确。这里，我们首先用最大熵原理推导给定期望和方差的分布中熵最大者必是高斯分布；然后用最优传输理论证明在黎曼流形上，熵的梯度流就是通常意义下的热流，无约束熵最大的分布是均匀分布，这显示了这两种理论的等价性；然后我们考察高斯分布之间的Wasserstein距离，最后推广到高斯过程之间的Wasserstein距离。最大熵原理这里我们用最大熵原理来推导一些统计和信息论中的经典结果。1.

作者简介：丘成桐为美国哈佛大学数学与物理学教授，美国科学院院士，中国科学院外籍院士，菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖得主。发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的变革，解决了卡拉比（Calabi）猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。译者简介：夏木青，香港专业数学科普译者。本文翻译自丘成桐教授

《三体》智子干扰高能加速器，封锁地球基础科学的发展。（来自网络）《三体》，中国科幻史上里程碑式的作品，刘慈欣用恢弘瑰丽的想象，为世人揭示了文明存亡的“黑暗森林”法则，鞭挞了人性的短视和丑陋，彰显了只有基础科学才能拯救人类的主题。生活在三体世界中不断进化和毁灭的三体人，掌握了超越地球文明的科学水准。他们的星系漂浮着三个恒星，其轨迹混沌而不可预测，时刻有可能将三体人的行星吞噬。三体人无时无刻不希望逃离灭顶之灾，殖民其他星系。他们截获了人类对太空发射的信号，从而开始了对地球文明的进击，旨在一举消灭地球人类，通过移民取而代之。在严酷冷峻的博弈中，人类只能仰仗严格冷静的逻辑，领悟到黑暗深林法则，建立了同归于尽的威慑系统，与三体人维系了脆弱而短暂的和平。在主流文艺作品中，人性的博爱往往是对抗科技暴力的终极手段。但是在大刘的笔下，人性的温情与博爱却成为葬送人类文明的罪魁祸首。最终脆弱的平衡被颠覆，借助黑暗森林中藏匿的高等文明，人类和三体人相互毁灭了对方的文明。刘慈欣，科幻作家。《三体》、《黑暗森林》、《死神永生》作者。《三体》文风冷峻严酷，通篇都是三体人运用人性的弱点，对人类的压制和屠戮。当人类寄希望于宇宙中高级文明来主持正义之时，黑暗森林法则将最后的希望无情扼杀，人类只能依靠自身的科学发展而自救。整个故事压抑阴郁，结局黑暗，名为科幻小说，实为批判现实主义的力作。大刘用《三体》的故事，警醒世人，由于黑暗森林，文明间的博弈较量无可避免，终极对抗的是科学水准。中华民族自古强调实用主义，能工巧匠无数，创造了璀璨的技术文明。但是，古人一直关注具有直接应用价值的技术发展，对技术背后深刻的机理缺乏探究，因此文化中缺乏科学探索的精神，近代饱受列强的欺辱。对此，大刘进行了深刻的反思。在《三体》中，三体世界为了保证顺利向地球移民，消灭地球社会和人类，开发了“智子”技术，将单个质子从九维展开成二维，并雕刻成超级计算机。“智子”被发送到地球，干扰人类高能物理实验，将人类的科学研究锁定，使之停滞不前。与之相反，“智子”并没有锁定技术，使人类沾沾自喜于技术的提高，麻醉于物质享受之中。这里，大刘犀利地指出，阻碍一个文明发展的关键在于阻碍其基础科学的发展，而非其技术的发展。在老顾的科研教学生涯中，见过太多的关于追求基础科学还是实用技术的争论。拖拉机驾驶

概率变换。这时，我需要进行概率变换，如图3所示，我们求取圆盘到自身的一个映射，使得概率密度高的区域扩张，概率密度低的区域收缩，最后密度分布均匀。这一步可以用最优传输理论来解决。图4.

证明比较直观，任何的支撑平面向下平移，成为的支撑平面。这一性质具有鲜明的几何意义，如图6所示，如果图像的凸包包含图像的凸包，则诱导的蒙日-安培测度大于诱导的蒙日-安培测度。

不同的距离函数诱导不同的最优传输映射。Brenier和Villani建立的理论表明，如果距离函数是欧氏距离的平方，，那么存在一个凸函数，Brenier势能函数，满足蒙日-安培偏微分方程：

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二十世纪八十年代，法国数学家Brenier进一步发展了Kantarovich的理论。如果采用距离函数，，那么存在一个凸函数，其梯度映射给出了最优传输映射，。我们称这个凸函数为Brenier势能函数。

Thistlethwaite的思想就是逐步降解魔方所处的群到更小的子群，最后到单位子群，也即还原状态。Thistlethwaite的思想已经被消化成人类可用的算法，52步之内可以解出所有状态。

我们称为生成分布。判别器的核心任务是计算训练数据分布和生成分布之间的距离；生成器的目的在于调节使得生成分布尽量接近数据分布。换言之，判别器计算Wasserstein距离；生成器计算最优传输映射。

其次，参数化映射为分片线性映射，限制在流形上为同胚映射，这个条件决定了学习难度。假设m维流形嵌入在n维欧氏空间中，如果存在整体线性映射，限制在流形上为拓扑同胚，那么我们说嵌入流形是线性可编码的。

我们认为，和历史上的历次技术革命不同，深度学习的成功是基于两条：数据本身的内在规律，深度学习技术能够揭示并利用这些规律。数据科学（或者信息科学）中的基本定律（或者更为保守的，基本假设）可以归结为：

瑟斯顿的理论抽象而深刻，但是观察咖啡拉花，我们可以体会其内在精髓。平易近人的布劳威尔定理给出了严格的证明，但是这里紧化Teichmuller空间的理解需要较深的数学涵养和天马行空的想像力。

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我们称为生成分布。判别器的核心任务是计算训练数据分布和生成分布之间的距离；生成器的目的在于调节使得生成分布尽量接近数据分布。那么，如何计算分布间的距离呢？如何最优化映射呢？这需要用到最优传输理论。

这些共形等价标准型存在性证明都遵循一致的数学手法：首先构造一族共形变换，满足一定条件；然后，将这些共形变换用单叶全纯函数来表示，并进一步转换成幂级数形式；证明这一函数族是正规函数族（normal

differentials）。全纯二次微分可以用于计算曲面的叶状结构（foliation），非共形等价的曲面间最接近共形映射的极值映射；（-1,1）型的微分被称为是Beltrami

这次课程，我们介绍霍奇分解定理，这一定理在图形学、视觉和网络中，应用非常广泛。直观而言，我们考察曲面上的切向量场，如果这个向量场光滑得无以复加，那么这个向量场被称为是调和场（harmonic

另外一种迭代算法想法比较类似。给定两个上定义的概率测度和，对于任意一个单位向量，我们考虑投影映射。投影映射诱导两个直线上的概率分布和，它们之间的最优传输映射记为。由此，每个点都沿着平移一个向量：

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（在2016年，老顾撰写了多篇有关最优传输映射的博文，非常欣慰地看到这些文章启发了一些有心的学者，发表了SIGGRAPH论文，申请了NSF基金。感谢大家关注老顾谈几何，希望继续给大家灵感。）

相似变换，如果，则矩阵为旋转阵乘以一个标量，。相似变换保持形状不变，因而可以被视为是共形变换的特例；相似变换保持角度不变，又被称为是保角变换的特例。相似变换并不保持面积，其面积元变化率为，

但是，这一方法无法直接向三维推广。其主要的困难在于三流形间的保角变换基本上都是等距变换，因此我们无法用保角变换化弯为直。这一现象实质是由三维流形的Mostow刚性所决定。

类似的，我们需要定义离散曲面的离散法丛。构造方法也是非常直观。假设是一个四面体，其上任意一点，过p的平面被称为支撑平面，如果整个四面体在的一侧。点p处所有支撑平面的法向量集合被称为点的法锥，记为

在精准医疗的其他领域，例如牙齿整形、人造心脏瓣膜、人造骨骼、放射治疗实时监控、肝脏手术计划等等，都需要对各种人体器官进行影像获取、几何重建、特征分析等，里奇流方法都会起到重要的作用。

是否存在一个凸多面体，每个面的投影面积等于相应的？这正是凸几何中经典的Alexandrov问题。我们将会在下一章节给出具体的理论和算法来解决这一问题，并由此建立凸几何与最优传输理论的内在联系。