檩子：最近，大家看出来了吗？我们对数学教育很感兴趣。
我们推荐了“带来数学新思路”的四款国际领先数学教育App给大家；还请了数学大牛吴军博士解答家庭数学教育“困惑”；
前段时间，我们还特别邀请一位在X思教了五年数学的老师“现身说法”，从自身感受谈谈双减后孩子数学该怎么换思路去学。
这位老师叫@晓晨，她说自己和很多老师一样感到：
我们已经把“做题”这件事做到了极致，不能再卷、也卷不动了。数学，除了做题以外，还有没有好方法？
最近，@晓晨与我们的编辑合作，给大家带来一份更加重磅的 “数学学习方法反思贴”。
这篇文章很有意思，针对小学数学起步阶段孩子们经常出错的三大学习点：进位、乘法、面积，她把中美两国数学教科书放在了一起，做了学习方法比较。
今天，咱们就来一起看看。感谢@晓晨老师。在此也欢迎有兴趣的老师和我们联系，在小花生这个平台，咱们一起寻找双减后的教育新思路。
本问由@晓晨发表于小花生写作计划
大家好，还是我，刚从某思“退役”的数学老师晓晨。上一次在小花生分享了我五年来教数学的小小反思，没想到得到了那么多人的喜欢，让我备受鼓舞，在花生编辑的鼓励下，我又来啦。“双减”后，好多机构把课程改成了线上和周中，因为时间不合适、或担心孩子视力，我的好多家长朋友都在选择在家“带娃自学”。
一旦自己带娃学，很难气定神闲。晚上十点，收到一位妈妈的微信：我家娃是不是退化了，三年级了，学完乘除法了，怎么加减法错的还这么多！
各种1-3年级测验后，经常会收到爸爸妈妈的微信：“老师，你看，他前面错的题目都是计算错误！”
按照过往的机构套路，解决方法，就是：做题、讲解、反复练习。
这次，我决心要换种思路去解决这个问题。这让我想起了在我书柜里“尘封已久”的那套书：美国数学教科书 Go Math
我手头只有GK-G3（美国幼儿园到3年级的），包括幼儿园，每个年级上下两册。
这套书是一位学生家长移民离开中国前送给我的。当时，我是收的快递，打开之后震惊，这是什么，确定这是教科书吗，这么厚重！
和国内数学书的厚薄既视感，差异好大！
说实话，以前我对国外数学有些不屑，总感觉国外小朋友学的慢、学的容易，没我们的孩子基本功扎实。但最近真正看过之后，我的感受可以用“如获至宝”来形容，它完全给我打开了新思路。
为什么？以下我用在课堂上遇到的三大孩子理解难点（进位、乘法、面积），和大家分享我观察到的中美数学学习方法的不同。做了这次研究与比较，我有两大感受：
1、终于知道为什么自己教过的那么多孩子遇到数学学习困难了
2、终于知道以后该怎么带孩子解决一些比较根本的学习问题了
好，下面就来仔细说。想讲得清楚，所以用的例子比较多，篇幅也比较长。如果大家能耐心读完，给我反馈，我会十分感谢。
说到小学数学，肯定离不开计算，在计算中，就有第一个大难关：有进退位的加减法。
肯定有很多爸爸妈妈在拿到小朋友的作业时，发现他们又莫名其妙的错了好多计算题。询问原因，娃是一笔糊涂账，我们也感到困惑：粗心？没有数学细胞 ？...下面先给大家看两道我经常遇到的小朋友“错题经典”，大家可以先猜猜他们是怎么错的。小朋友是怎么出错的呢？他们把个位数“4”直接和“23”中十位上的“2”加了起来，得到6，最后得出了63。而这道，错成了一个“谜” ... 这娃是怎么想的呢？想不明白吧😊，我一开始也是，后来我在小朋友的草稿纸上发现了答案。当时令我印象太深刻了，草稿纸上是这样写的：发现了吧，在用竖式做加法时，小朋友按照步骤先把个位数相加：7+5=12，算出来之后，就犯迷糊了，搞不清楚该向十位进1还是进2了……孩子犯了上面这类错误，我们经常用“粗心”来解释，其实原因并非如此，现象背后，根本问题是孩子没搞清楚一些基本的数学概念：1、“数位”概念不清晰，不理解“十位”和“个位”上数字所代表的含义。4+23=63，为啥孩子会用4去加十位上的2呢，因为孩子不清楚，十位上的2代表的不是2，而是20，不清楚数位上数的意义，所以才不知道到底要和谁加。27+35=71，个位相加得到的12，12的1其实代表的是1个10，所以才会放到十位去，2代表的是2个1，所以才会留在个位。如果只像念口诀一样说出“写2进1”，而不理解为什么进位，那当然会掉进“不知道谁留下谁进位”的坑里。很多时候情况下，我们会把孩子犯的这类计算问题误判为“粗心”，然后就选择一个简单粗暴的方法让孩子刻意练习——刷题！但通过刷题让孩子记住的是做题的套路和方法，他们很可能还是搞不清楚为什么要这么做。当然不是。回答这个问题之前，我们先来看看中美教材在讲解“进位加法”上，方式方法有啥不同？二、中国课本如何讲解“进位加法”
给大家先看看我们中国的“人教版小学1年级数学教科书”是怎么来展现“进位加法”这个知识点的：
说到进位加法，一定要先有一个基础知识：就是数位的概念；一年级课本就用这样的方式带小朋友认识“数位”概念。我们大人看这样的图解，也得静下心来，理解一下。对孩子们来说，就是“挑战重重”了。1、从视觉上来说，并非“一个图形精确对应一个概念”。这张图包含的知识点和信息过多：计数棒、计数器、写法、读法，还有好几种颜色与图案。要在这样的一张图中去理解数位的概念，对一年级孩子来说，真是有点难。2、文字解释并非足够“准确、简洁”，让孩子容易理解。比如这句话 “从右边第一个是个位，第二个是十位……”，就不足够准确。首先，这个图上有三个例子，这个“左右”指的是什么，小朋友一时就反应不过来，其次，通过数的位置来判断“十位”和“个位”，其实还是没有解释清楚数位的概念。再接着看，“有1个十在是十位上写1，有两个在十位上写2，有几个一在个位上写几”，这句话是不是有点绕口令？尤其第一个半句来说（“有1个十在是十位上写1），这里出现了两次“1”和“十”，但意义却不太一样。对孩子来说，理解起来真的挺有挑战性的。3、数学课本“语文化”，强调 “怎么认、怎么写”，而不是“为什么” 小学低年级数学，对孩子语文程度（认字、对字词句的理解）要求不低，但对数学本身的概念演绎，却比较不够。讲完数位，接着就是“进位加法”了，咱们的教科书的讲解非常直接：直接开算！从小朋友的角度，这个插图，看起来可能比较费劲：图上并没有把两个班级的人数“画”出来：左边也是5个人，右边也是5个人啊！大概是考虑到课本页面空间有限，画不下那么多人，于是用计数棒来体现算式。可是这些计数棒又堆在了一起，位置并没有分别跟前面插图中左位、右位两个班对应起来：人物、算式是左右结构，而计数棒是上下结构。其实按照书的逻辑，也是能理解：引入计数棒，主要是为了解释竖式中的“进位”概念，因此直接用来跟竖式结构对应。孩子学数学，是逐步从“具象”走向“抽象”的，第一理解的是图与实物，如果图义分离，孩子就会“犯晕”。再看课本是怎么解释“进位”的，比如算35+37，先加个位，“5”和“7”加起来是12，满了1个“十”，因此向前进1位。不知道大家注意到没有，这里还是在讲“怎么进位”，而不是“为什么进位”。
其实要理解为什么要进位，本质上还是要理解数位，其实就是要理解十进制——“满十进一”。再看看美国课本 Go Math 怎么带孩子理解“满十进一”这个概念的。做法很巧妙、也很简单。美国从幼儿园孩子认识数开始，就是把代表“个数”的图形放在下图这种10个框组成的表格中，让孩子认识到“10”很重要，潜移默化地铺垫“10”的概念。哪怕是学10以内的加法，也是放在10的框架里来学。比如，上图中学的是6+1=7，孩子可以清晰的发现，还差3就可以凑成一个“10”了。在“认识11-20”的部分，也是用到了10个一组的表格，非常直观。这类表格的反复应用，其实就是带孩子潜移默化地接受十进制的概念。2、重视模型使用，模型简单易懂，表达精确、连贯统一。美国数学课本做的特别好的一点就是，视觉统一，模型和数的对应非常清楚。而且一个模型，可以贯穿始终。比如，用孩子常玩的“乐高”小积木，来强化10个为一组的概念。之后，这个积木块会抽象成绿色小方块，但同样是10个一组。在上图中，我们可以看到绿色的小方块有两种排列方式，一种是垒成一串的（10个），一种是单个小方块。注意看图中单个方块的排列方式，其实还是在一个无形的十进制的表格里的。这依旧是在强化“10”的概念；而且跟小朋友表明，这些散落的方块，每凑成一个“10”，就可以摞成一串，跟其他的方块串放在一起（这其实就是在引入进位的概念）。这时候用第一道题问孩子：图中有几个10，几个1，合起来是多少？这样一来，79，“7”和“9”所代表的意义，不需要太多的文字解释，一下子就出来了是不是很直观。
接着再问第二个问题，单个方块和方块串的位置换了！会不会有小朋友把十位和个位写反呢？其实这道练习，就是在跟小朋友强调：一个数的十位和个位到底是什么，并不是根据“左右”位置，而是根据这个数有几个“10”和几个“1”组成来决定的。这就超越了“是什么”，而是在从根本上解释“为什么”。3、从“具象”走向“抽象”的步骤很细致，为计算做了充分铺垫数位的基础打牢了，开始进入让全世界无数小朋友抓耳挠腮的“进位加法”。通过前面的学习理解了“数位”，这时候孩子就可以得心应手地使用 “凑十大法”了。从25借个“2”，给48凑个整，25+48=23+50，这样不就好算了吗？
我们可以看到，教材在直接写竖式之前，先把方块模型摆成了竖式的样子。第一步，将散落的单个方块进行“凑十”（个位数相加）第二步，把凑成一串的方块，和其他方块串放在一起（进位）这样就通过模型进行了一次非常具象的竖式加法的演算。接着，进一步从具象走向抽象，把方块串（10），抽象成一个“竖线”，把方块抽象成圆圈…这样做的目的是为了让孩子一步步过渡到直接用抽象的数字符号进行计算。比如，为了让孩子理解十位上的“1”，是指1个“10”，我们可以看到教材循序渐进地从 “方块串” 到 “竖线” 再到 “1” ，完成了整个从具象到抽象的过程。比如，47+85，先个位相加：7+5=12，凑出1个10；再算有多少个10位数，4+8+1=13；13个10，又可以凑成1个百，这样就是100+30+2=132这个过程，让孩子学会了加法，知其然，而且知其所以然。概念清晰、理解深刻，“貌似粗心、实则不懂”的错题便可以减少很多。让孩子理解“乘”的概念，其实完全不是我们大人想象的那么简单。这个绝对是一个充满智慧的创造，相信绝大部分小朋友学习乘法，都是从这张口诀表开始的。这张神奇的口诀表，大大提升了我们中国小朋友计算乘法的速度。
很多小朋友在不知道乘法是什么的时候，嘴里已经会背好多的乘法口诀了。乘法口诀还和口语、故事连在了一起，也许又是“数学语文化“的一个体现。比如”不管三七二十一“，比如孙悟空去西天取经要历经”九九八十一难“。可怜可爱又心疼，大家肯定在想，为啥这么简单的一句“3×5=15”，小姑娘就是背不下来呢？
其实，对这个小朋友来说，这根本不是一个乘法计算题，也不是一个数学问题，而是一个记忆与背诵问题。此时她完全不理解“乘”，因此在她脑海里乘法口诀表里的数字就是一串没有规律的乱码，和下面这张图没有区别。
我相信大家一定有自己的答案。数学不是算数，计算也不可能只靠记忆。背乘法口诀，可以让计算乘法的速度变快。中国小朋友的乘法计算速度一定是最快的，但是这里有一个大问题 -- 对乘法的意义不见得真正理解。下图是一个孩子的错题，显然没搞清楚“乘、除”概念。看来他并没有理解“乘”，而不理解“乘”，就不会理解“除”；就像不理解“加”，就不会理解“减”一样。数学真是一门环环相扣、漏一步错百步的学科。相比之下，美国的小朋友不可能背出“one one equal one”这样的口诀，所以他们只能慢悠悠地去了解乘法。中国二年级上学期就开始表内乘法了，美国三年级才开始。2、对“乘”的概念引入，比较简单
可以看到，上面三个对加法总结的例子里，都用了“几个几”的说法。但画风很快一转，马上写出结论：2x7读作2乘7（而不是2个7，或7个2）。“乘”虽然出现了，但它只作为一种“读法”，其意义没有进一步解释。不仅如此，这个地方还立刻引入了交换的概念，2x7=14，7x2=14。你是小朋友的话，你会不会晕？3、美国孩子是怎么学“乘”的？
乘这个字对于全世界的小朋友来说，其实都是不容易理解的。（1）用“组 groups of” 的概念，说明“乘” 4组“2”，意思是，“2个”为一组，一共4组，表达的是乘法的含义。别看在语言用词上只是小小的一个改变，但它却可以立刻让孩子感受到乘法的内涵。就是这么神奇!中国的“4个2”也有“4组2”的意思，但远远不够具象，没有大量借助模型加深孩子理解。相比之下，当数字变大、计算变复杂时，美国教材的这种简捷模型，表现力就比较强。孩子看到4*3，眼前出现这样“4组3”的场景 ...孩子学乘法之前，已经对加法很熟悉了。所以，教乘法，还是从加法做起。这个过程，中国也走，但走得很快，而且视觉化、模型化做得不够细致。这是美国做法。通过图像模型的方式，先引导孩子们算3+3+3+3（3为一组，一共4组）然后再引导小朋友去探索“Another Way”，另一种算法也就是乘法：3+3+3+3=4x3这样做，在小朋友的脑子里，乘法就不再是一个抽象的概念，而是从一组组相同数量的图形，到一串相等数字的加法，最后变成一个乘法算式。 在乘法中，有一个非常重要的知识点，交换两个因数（factors）的位置，最终的乘积是不变的。但如果只用这样的一句话，或者简单的图示解释，这个肯定很难让小朋友清楚。
中国数学书，画了三组小熊气球，然后就写了3×5=15和5×3=15。然而，小朋友在这幅图中完全不能感受出“5组3个”这样的概念，这种讲解不太到位。下面这张图，2行5列，可以横着数，那就是2组5，也可以竖着数，就是5组2；但不管是横着还是竖着，都是这10个，非常清晰地表示出了2×5=5×2这个概念。举一反三，脑子里有这样的图，就非常容易理解乘法交换律了。如果这个小姑娘的父母当时知道可以这么带娃理解乘法，孩子会少掉多少痛苦。在小学阶段，有一个非常抽象的概念--平面图形的面积；这也是老把孩子们绊倒的一个“坎儿”。小朋友最容易出现的一个问题是，周长和面积傻傻分不清楚，求周长求成面积…… 其实刚刚学习周长的时候，小朋友对周长是特别清楚的，因为周长可以测量出来，有一个具体的数帮助理解。但是面积的概念就抽象多了，什么是面积，怎么计算面积都是很难解释的。“黑板表面的大小就是黑板面的面积，课桌表面的大小就是课桌面的面积，数学书封面的大小就是数学书封面的面积”我们先不提这几句话有多么拗口，但从逻辑方面来说，首先，面积的定义是不是就是“大小”，这两个概念等同么？其次，用生活中具体事物（都是立体的）来讲面积，也不够严谨。比如，书桌表面包括很多部分啊，不止有桌面，桌腿也有表面，从立体图形抽象出一个平面的概念，孩子理解是有困难的。这种语言形式，作为数学概念定义，也是不太符合要求的。而美国课本，从下面的这几个步骤带孩子理解探究什么是面积。首先，引入面积中非常重要的一个概念图形—单位正方形（边长为1的正方形）。再用 Grid Paper（格子纸）来度量各种平面图形的面积，把“面积”这个抽象概念变成看得见摸得着的"单位正方形格子的集合"。
面积一旦这样在脑海里呈现，对于熟悉乘法的孩子来说，下面的”面积计算“就很容易了。
计算长方形的面积，可以简单一个个数格子加：1+1+1 ... = 15通过这个过程，把抽象的“面积”概念变为可以数出来的图形，面积再也不是看不见摸不着的东西啦！小朋友不光理解，而且能通过各种方式算出来呢！
回到最初的问题，在家如何带娃学数学。其实，家长不是老师，也没时间、没必要做老师。当前情况下，能让孩子跟着一些资源循序渐进自我加强，也许更加可行。我的个人感受是：在家带孩子做数学启蒙，与其自己甩开袖子去教、或者让孩子做题，不如挑一些美国数学教材、练习册（国内有不少中文引进版），让孩子自己动手，跟着书一点点走，一步步建立数学概念认知，为以后的数学学习打下坚实基础。
希望我的分析，能给大家带来帮助，更欢迎大家多提意见，我们一起进步。谢谢。往期相关文章：