比翱工程实验室丨使用传递矩阵法表征和开发周期性声学超材料

原文：Characterization and development of periodic acoustic metamaterials using a transfer matrix approach

作者：Zacharie Laly，Raymond Panneton，Noureddine Atalla，CRASH，Centre de Recherche Acoustique-Signal-Humain，Universitéde Sherbrooke

来源：Applied Acoustics 185 (2022) 108381，https://doi.org/10.1016/j.apacoust.2021.108381 

本文提出了一种结合有限元计算的传递矩阵方法来表征具有面内周期性的均质和非均质吸声材料。表征的声学材料主要是由多层制成的超材料，其中至少一层由非均质材料（NHM：Non-Homogeneous Material）组成。NHM是一种多孔或固体基质，内含周期性简单或复杂夹杂物和亥姆霍兹谐振器。该方法与三传声器双负载法相似，可以确定NHM的等效传输矩阵。通过使用NHM的等效传输矩阵与其他传输矩阵串联解析耦合，可以在仅使用有限元计算将更昂贵和耗时的配置中轻松快速地建模复杂的多层系统。用本方法预测的垂直入射声传输损失的结果与不同超材料结构的有限元结果进行了比较，得到了较好的一致性。本项研究为在垂直入射下表征和设计具有周期性夹杂的复杂多层声学超材料提供了一种很有效的方法。它可以用来优化含有非均质材料的多层构型与系统。

非均匀介质（如固体或多孔层，包括周期性夹杂物 - 共振或非共振）的建模是更好地理解和设计声学超材料的一个重要挑战。有限元法（FEM）或边界元法[1]可用于获得非均质材（NHM）的精确建模，但它们需要大量计算资源，不适用于大型或复杂材料结构的高频模拟。Fokin等人[2]提出了一种从反射系数和透射系数评估声学超材料质量密度和体积模量的反演方法。他们使用该方法研究了各种声学超材料，该方法依赖于Nicolson和Ross[3]提出的方法，通过单个时域测量来计算频域中线性材料的复介电常数和磁导率。Weir[4]使用模拟方法，通过直接在频域进行的测量来确定复介电常数和复磁导率。使用双负载的实验方法[5,6]也可用于确定超材料的有效声学特性。

非均质材料（如由多孔层和周期性嵌入亥姆霍兹谐振器构成的超材料）的声学建模具有挑战性。Liu等人[7]从理论和实验上研究了一种声学超材料，该材料由周期性排列的球形铅包裹体制成的声学超材料，并涂有弹性软橡胶材料。他们用四个传声器在实验上测量了圆板的透射和反射系数，圆板中含有48%的随机分散的铅球，每个铅球涂有一层硅橡胶。他们观察到两个以400和1100 Hz为中心的显著的声传输下降，这归因于负有效弹性常数。Mei等人[8]和Liu等人[9]使用分析模型来表示由嵌入主体基体中的涂层球体制成的局部共振声波材料的低频有效质量密度。Lewinska等人[10]采用广义麦克斯韦模型研究了由周期性嵌入环氧树脂中的橡胶和钨的多层同轴夹杂制成的NHM的声学响应，结果表明，橡胶涂层参数随频率的变化不仅影响带隙的位置，而且还影响声衰减在带隙周围的频率范围内的性能。

Groby等人[11]采用有限元（FE）方法研究了由不同的非共振三维刚性夹杂物（立方体、圆柱体、球体、圆锥体和圆环体）构成的介孔材料的吸声性能，这些夹杂物周期性地插入具有刚性背壁的刚架多孔材料中。他们将数值结果与立方和圆柱形夹杂物的实验结果进行了比较，并指出，对于低于四分之一波长共振频率的频率，几乎可以实现完全吸收。Schwan等人[12]使用双尺度渐近均质化方法确定由周期性布置在不透水基底上的声谐振器构成的超表面的有效边界条件。

Pham等人[13]提出了一种用于单列局部共振夹杂物的均质化方法，其剪切模量与基体相比具有高对比度。该模型依赖于匹配渐近展开技术，并通过与全波计算结果的比较进行验证。Doutres等人[14]研究了多孔材料的声学特性，该多孔材料具有周期性插入材料内部的二维亥姆霍兹谐振器，他们使用并行传输矩阵方法提出了共振周期单元的低频模型。该模型的结果与实验测量、有限元结果和基于均质化的模型结果进行了比较。他们观察到亥姆霍兹谐振器共振处的传输损耗增强。Lagarrigue等人[15]证明，通过将周期性排列的共振夹杂物（开槽圆柱）嵌入多孔基质中，可以实现多孔材料的良好低频吸收。Groby等人[16]分析了周期性嵌入充气亥姆霍兹谐振器的多孔层，并举例说明了在粘性和惯性条件下吸声系数的改善。

一些作者[17,18]使用多次散射法研究光子晶体、声子晶体和声波晶体，这些晶体通常由周期性排列的散射体构成，例如嵌入在介电、弹性或流体介质中的圆形横截面圆柱体或球体。Allard等人[19]提出了耦合模式和有限元方法来预测具有二维半圆形周期波纹的半无限多孔介质斜入射时的反射系数。这两种方法的结果非常一致。Gaborit等人[20]研究了由夹在极薄弹性涂层之间的介孔弹性层制成的介孔弹性层压板。他们提出了一个模型来预测反射和透射系数，该模型将介孔弹性层的有限元模型与周围介质中场的布洛赫展开耦合起来。通过与多次散射理论结果的比较，验证了该模型的正确性。

Li等人[21]根据散射参数，即反射系数和透射系数，确定了双各向同性超材料板的介电常数、磁导率和磁电耦合系数的有效参数。在这种反演方法中，它们只考虑了一个传播方向上的散射参数，结果表明与其他参数的相关性。大多数各向异性超材料的研究局限于超材料的主轴与板界面对齐的情况，因此各向异性超材料的有效性质可能是对角的。CasaseE.et等人〔22〕提出了考虑各向异性和斜入射主轴任意取向的反演方法的扩展。Park等人[23]研究了各向异性声学超材料的行为，并提出了一种使用非对角有效质量密度张量的方法。根据反射系数和透射系数，他们获得了各向异性声学超材料内部的波矢量和有效材料特性。

Terroir等人[24]使用通用方法提取三维空间中主要方向未知的完全各向异性流体材料的体积模量和密度矩阵的所有六个分量。它基于在少量入射角下该层的反射系数和透射系数的表达式。根据密度矩阵，它们确定材料的主要方向。一些作者[25,26]也使用理论模型来描述基于亥姆霍兹谐振器的声学超材料隔声材料，该谐振器周期性地插入整个板的亚波长内，以改善传输损耗。传输损耗的理论结果通过商用仿真软件获得的数值结果进行了验证。Sharma等人[27]通过分析和数值方法研究了由周期性嵌入粘弹性橡胶介质（带水背衬或钢空气背衬）中的钢瓶制成的声子晶体的声学性能。他们给出了阻尼和偶极子共振频率的解析表达式，并利用有效介质近似，得到了复合层的有效几何和材料特性。Parrinello等人[28,29]提出了一种利用与单元相关的有限元模型的动态刚度矩阵确定平面周期性介质的声传递矩阵（TM）的通用方法。

正如文献综述中所指出的，现有方法（例如有限元方法）可用于预测包含NHM的多层材料的声学响应，如图1所示。但是，如果该材料的一个尺寸或层发生改变，或添加或删除一层，必须重新启动有限元分析。这在计算时间上会变得很昂贵，尤其是在优化或参数研究的情况下。

创新研究

在本文中，提出了一种将有限元方法（FEM）与传递矩阵法（TMM）相结合的混合方法来确定复杂非均质多层的声学特性，其中至少一层是嵌入多孔或固体基质中包含周期性夹杂物（共振和非共振）的非均质材料（NHM）。这种类型的多层构型被视为一种声学超材料。超材料的反射系数和传输损耗等声学指标是从多层的全局传递矩阵（TM）中获得的。该全局传递矩阵是通过将每一层的TM串联分析得到的。另一方面，由于其几何复杂性，NHM的TM通过有限元在周期单元（PUC）上进行数值计算，使用所提出的方法，类似于三麦克风双负载（3M2L）方法[5]。使用该方法对包含NHM的多层系统进行建模将可以更容易、更快速[31]。

图文快览

图1：包含夹在两个均质材料之间的非均质材料（NHM）的多层材料示例。该图显示了完整材料(a)、其PUC (b)和单独的非均质层的PUC (c)。在PUC模型中，在沿z和y的一对平行平面上假设周期性条件。

图2：具有上游入射流体层和下游接收流体层的非均匀材料中的PUC平面波传播问题示意图。假设所有平行侧面对均具有周期性，p1和p2为施加声压的平面。

图3：两个同质多层的法向入射声音传输损失：（a）多层1，（b）多层2。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图4：两个夹层系统的垂直入射声传输损失：(a)硬橡胶和 (b)软橡胶。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图5：两种超材料的周期性晶胞的有限元网格：(a) 超材料1，和 (b, c) 超材料2。第一层和最后一层是入射和传输介质。第三层代表支撑弹性板。第二层是包含夹杂物的非均质材料。两种类型的夹杂物：(a) 球形空隙，和 (b) 带涂层的球形刚性夹杂物和 (c) 其剖视图。

图6：两个非均质多层的法向入射声音传输损耗：（a）超材料1，（b）超材料2。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图7：双墙配置的超材料3的法向入射声传输损失。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图8：带有亥姆霍兹谐振器的超材料

图9：超材料4的法向入射声音传输损耗。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图10：超材料5的法向入射声音传输损耗。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图11：采用固体材料的亥姆霍兹谐振器

图12：超材料6的法向入射声音传输损耗。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图13：带亥姆霍兹谐振器的双墙配置

图14：超材料7的法向入射声音传输损耗。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图15：：超材料8的声传输损耗。所提出的混合方法与完整有限元计算之间的比较。

图16：腔深度选择对传输损耗的影响

总结

本文提出了一种利用有限元计算与表征均质和非均质声学超材料的传递矩阵方法。与三传声器双负载法相似，该方法用于在实验上获得吸收材料的声学特性，通过与多孔或固体层（含周期性单个或多个夹杂物）和周期性嵌入多孔基体中的亥姆霍兹谐振器组成的超材料的有限元结果进行比较，验证了所提出的方法。计算结果与有限元计算结果吻合较好。这种方法的优点是易于对多层系统进行建模，特别是有限元计算和其他方法可能更昂贵和耗时的情况下。该方法可作为一种实用的工程工具，用于设计和优化含有周期性夹杂物的多层复杂声学超材料。

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