【数学窍门课】轻松快速判断一个数是谁的倍数？

好久没开启这个专题了，我们今天来聊聊数学吧。

最开始聊和数学计算相关的话题，是为了解除一些电视娱乐节目上的“数学魔术”光环。之前在某些娱乐节目上，经常会出现一些看上去很厉害，很神奇的计算、记忆能力，并且被包装成“高智商”的代表。因为这些概念的火爆，后续就是一些敛财的课程、书籍或者产品，甚至纯属诈骗性质的某些“训练班”。

但实际上，大部分所谓的神奇的计算能力，并不是“最强大脑”的展现，往往是一些简单的窍门加上一定的训练就可以完成的。而且这里面大部分对于孩子未来数学水平的提升，意义并不大。

所以之前我们曾经破解过一些看上去很厉害的“数学魔术”，也教了一些可能会在日常运算中有用的技巧。其中的很多技巧，其实在平时的数学考试，包括奥数型考试时，也都用得上。

而今天我们则来学一个在数学运算中还蛮有用的技巧，或者说是技巧的合集，那就是如何快速判断一个数是谁的倍数？或者用比较数学卷子的问法：这个数的因数都有谁？

在数学考试中，经常会遇到有关倍数、因数的内容，因此，如果能很快的判断出一个数是几的倍数，就能更快的找到解题的思路，也可以更快速准确的找到答案。

如果是按照课堂的标准做法，要判断是几的倍数，可能需要列除法竖式，一个个来判断一下，但这样就累死了。

随便举个例子：

 1274是谁的倍数？从1-20，哪个是它的因数？

其中当然有比较简单的，比如1,必然是所有正整数因数，不用纠结。

剩下的19个数呢？有些可能大家会有自己的快速解决方法，有些则会比较头疼。

所以让我们分成几组，一点点来讲方法吧。最后我们再做个表格来总结。

第一组：2-4-8-16。

这些都是2的次方数。

2比较简单，看看是奇数还是偶数就知道了，末尾是2-4-6-8-0的，自然是2的倍数。

4则要看后2位，因为100是4的倍数，所以，所有超过2位的正整数都可以分为****00+ab。前者是4的倍数，所以只要看后2位是不是4的倍数就好了。

同理，1000是8的倍数，所以任何正整数，看后3位，如果后3位是8的倍数，那整个数就也是8的倍数。

不过可能有的人会觉得，三位数，尤其比如274，判断是不是8的倍数也很辛苦，那还有一个简化的方式。

我们知道“a00”这样整百的数字，如果a是偶数，它就是200的倍数，是8的倍数，如果a是奇数，那它就不是8的倍数，但同时是4的倍数（上面刚讲完），所以就是除8余4。

我们看一个3位数，想判断它是不是8的倍数的时候，可以拆成百位和后两位对比来看 —— 如果百位是偶数，那后两位要是8的倍数，整体就是8的倍数；如果百位是奇数，那后两位满足除8余4，则整体就是8的倍数。否则就不是。

我们举个两个例子：

765471626：后三位是626 → 百位6是偶数，26不是8的倍数 → 626不是8的倍数 → 765471626不是8的倍数。

453226776：后三位是776 → 百位7是奇数，76除8余4 → 776是8的倍数 → 453226776是8的倍数 =8*56653347

16的倍数和8的倍数方法类似，只是多一步，就不赘述了。

第二组：3和9

判断是不是3和9的倍数，很简单，就是把各位数加起来，看看是不是3或者9的倍数就好了。

比如628 → +2+8=16，不是3和9的倍数 → 628也不是3和9的倍数。

759 → 7+5+9=21，是3的倍数不是9的倍数 → 759是3的倍数不是9的倍数。

1278 → 1+2+7+8=18，是3的倍数也是9的倍数 → 1278是3的倍数也是9的倍数。

原理也不难理解，比如一个三位数abc=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）因为99a和9b都是9和3的倍数，因此“abc”是不是9和3的倍数，就去看（a+b+c），也就是各位数相加的情况了。

第三组：5-10-20

这个应该是最简单的，因为我们用的就是10进制，所以 只需要看个位数，如果是0就是10的倍数，0和5就都是5的倍数。而个位是0，十位是偶数，那肯定就是20的倍数。

第四组：6-12-15-18

这一组其实就是前面介绍过的数字的组合，比如12=3*4，所以只需要判断出是不是3的倍数，同时是不是4的倍数，就可以了。其他的也是。

第五组：11。

判断一个数是不是11的倍数的方法也不复杂 ，只需要将它的奇数位的和与偶数位的和对比一下，如果相等，或者相差11的倍数，那这个数就是11的倍数。

比如567127 → 偶数位 5+7+2=14，奇数位 6+1+7也等于14，所以它就是11的倍数 → 567127=11*51557

352675652 → 偶数位 5+6+5+5=21，奇数位 3+2+7+6+2=20，两者不相等，也不是相差11的倍数，所以352675652不是11的倍数。

一个数如果是11的倍数，那就可以看做某个正整数*11的结果，而*11=*（10+1），相当于在这个数的末尾加个0，然后再加上自己，这种错位相加的结果，自然会是奇数位和偶数位之和相同或者因为进位而差11的倍数。

证明也不难，比如一个五位数abcde=10000a+1000b+100c+10d+e=(9999+1)a+(1001-1)b+(99+1)c+(11-1)d+e 因为9999 1001 99 11 都是11的倍数，所以它是不是11的倍数，就可以简化成(a+c+e)-(b+d)是不是11的倍数了。也就是奇数位之和与偶数位之和的差。

到这里，我们已经总结了20以内大部分数字的倍数如何判断，剩下的似乎就是难点了，尤其7-13-17-19这几个大的质数。

其实也有窍门。

比如523是不是7的倍数？判断的方法就是，将个位数乘5，和前面的数字相加，看和是不是7的倍数。

523 → 52+3*5=67，不是7的倍数，所以523不是7的倍数

665 → 66+5*5=91，是7的倍数，所以665是7的倍数=95*7。

更多的位数也可以，比如1214 → 121+4*5=141，所以不是7的倍数，如果算出来的结果还是很大，不好判断，那就可以再进一步用结果的个位数*5加前面来判断。

那这是什么道理呢？我们来推导一下：

一个数X，如果b是它的个位数，a是它前面所有位，那X=10a+b，如果是7的倍数，那5X，也就是50a+5b也肯定是7的倍数，a是一个正整数，所以49a也是7的倍数 所以(50a-49a)+5b=a+5b，也就是X的个位数乘5+前面的数字，也就是7的倍数了。

而知道了如何判断是不是7的倍数，自然就知道如何判断14的倍数了。只要是7的倍数，又是偶数就可以。

而剩下三个大的质数，13,17,19，其实也可以用同样的方法来解决：

13：如果十位以上的部分，加上个位数乘4是13的倍数，那这个数就是13的倍数；

17：如果十位以上的部分，减去上个位数乘5是17的倍数，那这个数就是17的倍数；

19，如果十位以上的部分，加上上个位数乘2是19的倍数，那这个数就是19的倍数；

一不小心又写了几千字，可能有些同学也有点晕，所以最后，我们来汇总一下吧。下面这个表格，就是能更快速判断某个正整数是谁的倍数，或者说因数有几的快速方法。

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