北大学子备考锦囊 | 唐儒雅：日拱一卒，从66到146不是梦 ——数学学习经验和学习方法
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关键词：备考锦囊
编者按
书声琅琅中，你是否时常向往红楼飞雪的英杰辩谈？挑灯夜读时，你是否也会想象博雅塔顶的星空？前行路上难免有迷茫与孤独的片刻，就让燕园学子的备考锦囊陪伴你走过这段漫长辛苦的旅途。怎样才能高效学习？如何合理安排作息？考前心态怎么调整？希望这里能够解答你困惑已久的问题，点亮鼓舞前路的点点星火。未名湖畔，北大一直敞开怀抱，等待你来圆梦！
学生姓名：唐儒雅
毕业中学：华南师范大学附属中学
就读院系：北京大学外国语学院
先说一个励志的故事：在高二上学期的一次数学测验中，我考了66分，后来了解到是一份高三的周测题。心急如焚的我买了本参考书，坚持每天完成一个章节的复习，日复一日数学便从弱势变成了强项。在此过程中形成的理性思维也助我摸索到一套独特的学习方法，最终很幸运地在高考数学中取得146分。
从66到146，我认为最重要的是——通过高效利用课堂来夯实基础，构建知识体系；通过数不胜数的考试来加快解题速度，提升解题准确度；通过有选择性和针对性的自主刷题来建立错题笔记系统，逐渐爱上数学！
夯实基础
先来构建一个理想模型：假设高考考纲涉及的知识点有1000个，而一张全国卷涵盖21道题，题目之间的考点互不重合且为随机抽取的。
那么150分的试卷得66分意味着什么呢？是的，这意味着只得了44%的分数，相当于1000个知识点只掌握了440个，剩下的560个有一算一，都是知识盲点。
如果想要稳定地考到146分，就需要掌握大概973个知识点，二者相差的533个就是从66提升到146所需查缺补漏的巨大工作量。
但是反映在试卷上，这80分仅仅是11.2道题（80÷150×21）。如果我们补齐了背后11.2个知识点，当试卷继续随机抽题，其他保持不变，考到146的可能性仅为：
（近似为0）。如果运气比较差，更多题目从不会的521.8个里面抽，那考得更差也很正常。
所以，利用一轮地毯式复习巩固1000个知识点，打牢基础，非常必要，更是有助于后期进阶提分的不二法门！
我们知道，一轮复习的数学课一般不再会讲解新的知识点，更多的是针对练习的讲评，所以带着问题会让课堂更加高效。我的做法是充分利用一轮练习册，课前尽可能做完相应习题，至少保证覆盖所有考点，及时发现薄弱项并加练，比如相关系数、共轭复数、斜二测画法等“冷门知识点”。做完后马上仔细对答案订正，标出卡住的步骤，最好能用关键词加以概括，比如利用三角形面积构建等式实现边角互化、利用“1的妙用”配凑齐次式、利用直角转化共圆条件并表示为向量形式等等。
随后将各个章节标题抄写在一张大白纸上，合上练习册，对应写出考点以及做题感想，稍作休息后打开练习册，换另一种颜色的笔补充遗漏知识点，标出似懂非懂处提醒自己上课时着重听讲，而对于个性化的问题，就一定要请教老师，做到“问题不过夜”。当然，老师也会着重解析易错点、二级结论、一题多解等等，比如圆锥曲线的第二、第三定义与极坐标形式、定比分点、平口单峰、自对称与互对称性质等“高端小结论”，可以再换一种颜色的笔加以记录。走路、排队的空闲可以尝试回忆纸上的内容，复习时可以借助它快速找到典型例题、重做错题并温习常用方法。
构建知识体系
我觉得自己难得的一点是：不论数学是弱势还是强项，我都一如既往地热爱它！这很大程度得益于我对数学有着自己的认识，我一直坚信，数学是一门有用且有趣的学科。
这个小标题听起来很高级，实则容易上手操作：可以以知识点为框架，不难发现教材的编写极具逻辑性和系统性，比如必修一依照“集合与函数概念”“基本初等函数”“函数的应用”的脉络展开，遵循特征—性质—应用的条理，这与化学中揭示位—特—性奥秘的元素周期律有异曲同工之妙……可以根据试卷的命制进行归纳，比如前五题主要是集合、复数、数列等章节的基础题，而集合分为含有元素的与不含元素的空集，含有元素的需考虑元素的确定性、互异性、无序性，空集则是包含关系型题目中分类讨论的易漏情况……这样，遇到相关题目就可以给予自己积极的心理暗示：“这一块无非就是考什么什么，我不怕！”这也许会有经验主义之嫌，但从中高屋建瓴地领会教材编写者、命题者与学生各自的想法，自己思维的不严密性也就一目了然了。
接下来分享一下我的知识体系：我将数学归为一切自然科学的基石，于是它的产生与发展必然蕴含“上帝公平定则”“万物皆有联系”等哲学思想，由因溯果来看：通过观察、抽象、概括、猜想，命题得以产生，此后，一代代数学家开展证明、反驳、改进等工作。我将命题作为数学的核心，它是含有“是”或“不是”的判断句，用“=”表示“是”进而有了方程，用“≠≤≥＜＞”表示“不是”进而有了不等式，笛卡尔建立坐标系后我们将变量间的关系表示在二维平面上进而有了“函数图象”。数列是离散化的函数（所以不能对它求导），解析几何本质上是通过转化条件列方程求解，立体几何则是从二维到三维的扩展……其中渗透着方程与函数、数形结合等思想，严谨而美妙！
所以，利用二、三轮复习中的综合题训练做好知识点的相互关联，既能分文不差地保有对数学的热爱，还能加深对知识点的理解，提高解题能力！
当然，诸多其他方式也可以培养数学兴趣：比如我压力大时买了一套数独卡片做着玩，玩中不能仅仅满足于列出所有可能性一一排除的做法，而应借此熟练技巧性算法，这样也会更有成就感。比如从小学开始玩的24点，可以把红色牌当做负数，黑色牌当做正数升级运算难度。比如可以找数学老师谈天说地，既能发现热爱数学的人灵魂的有趣，还能在紧张的学习中舒缓心情。
高效利用课堂
强调了夯实基础的重要性，用自己的知识体系献丑后，必须要提到——这两点我都是通过高效听课完成的！
听课之高效，在于加强自己对知识点的掌握度，这不是拼命记笔记，恨不得把老师说过的每句话记下来，而是通过老师说的话推断接下来要说的，快速记下模糊不清甚至是完全没听懂的关键词，下课后马上找机会询问老师从而突破盲点；听课之高效，在于深入领悟不同的解题方法，这不是麻木地听即完事，而是通过老师耐心的讲解，权衡从已知出发的“正推法”和从结论出发的“逆推法”各自的利弊；听课之高效，在于细化对各种题型的总结，从课堂例题的一题多解到背后原理的拓展再到对应知识点的考法总结，这不是简单随意地抄一遍练习册目录，而是运用类比联想归纳核心突破口、易错易混点、关键步骤相似的题目，对命题者设计的“坑点”“重点”了然于胸……
当然，课堂的法典是课本，高效利用课堂的宗旨是细致回归课本——从定理的推导论证中清晰每个知识点从何而来，从例题的解释分析中明白相同题型的突破口与思考角度，通过保质保量地完成课后习题保证基础题全对。
高分＝超强的计算能力＋对知识点烂熟于心＋完善的细节＋平稳的心态
“超强的计算能力”是为了保证正确率的前提下加快解题速度：其中，小题推荐使用技巧，比如特殊值法、排除法等，“选择题不择手段，填空题直扑结果”；比如遇到纯数字的四则运算、含大量字母的运算，我习惯提醒自己打好草稿，分清分子分母，看清字母长相，别漏角标等。大题则推荐建立解答模板，比如立体几何求二面角问题，空间想象力奇差的我对于使用纯几何法寻找二面角可谓一头雾水，但分析完高考真题后，很自然地发现十道题中有九道都是采用法向量进行计算的，于是建立空间直角坐标系便成为我应对这种题型的首选方法。
“对知识点烂熟于心”是为了保证速度的前提下提高解题准确度：其中，知识点的体系化无疑是抢分的利器，比如2019年高考难倒一片的极坐标选做题，有位学姐说自己认为化简结果无非是圆锥曲线中的一种，几次尝试后便顺利得出答案。此外，通过一题多解进行检查，从书写便捷度和拿分简易度两方面总结解答方法也能帮助我们在紧张的考试中及时“安检”，见机行事以达到分数最大化。
“完善的细节”是为了保证会做的题一分不丢：可以通过研读甚至背诵答案，找改卷老师问清楚扣分点，时刻警醒自己不要跳步，联想同类题目的易错点来得到优化，力求解题严谨规范快准狠。
“平稳的心态”是为了合理分配考试时间、安排做题次序，将数学能力准确反映在分数上：我的心态并不算好，在大多数学考试前的中午都睡不着，但是我会尽力减少这对考试状态与发挥的影响。发卷前可以深呼吸，告诉自己“我就是个做题机器，我要跟即将遇到的21道题正面交锋，我可以！”发卷后不能动笔答题时快速浏览全卷，了解哪些题目相对常规而哪些较为创新，比如今年高考中我先看了选做题、导数与圆锥曲线，发现都是常规问法便心里有底，再到概率题，发现不能生搬硬套所学模板便打算采用耗时较长的列举法，所幸后面大题都不会很花时间，再到16题运用余弦定理、12题构造函数便可一步到位得出结果。考试时遇到不会的题目，超出计划时间依旧完全没有思路则可先跳过，以大局为重。考后告诉自己：“不管数学考好考差，它最多只有150分的贡献，我要好好准备明天价值450分的理综和英语！”在大大小小的考试中，不断有意识地训练，好好反思，加以调整，最后关头便足以处变不惊。
建立错题笔记系统：动脑记录＋重做复习
鉴于自己常把考试低分的原因归为“粗心”，我想出两种解决办法：其一是一开始便有所准备，其二是把错题做对，建立错题笔记系统恰好可以双管齐下。具体来说，就是整理错题、易错题，反思错因，归纳笔记，最终形成体系。这样做的目的在于当下明晰每个解题步骤，尤其是自己卡住的地方，并且利于日后高效复习，通过积累规避惯性思维所致的“粗心”。
大致可分为以下四种方法：
01
总结技巧
通过总结三角函数求值域的方法，分析各自的适用范围及标准步骤，兵来将挡水来土掩；通过背诵六经典函数图像、特殊三角函数值，快速检验答案的合理性；从一道与抛物线中阿基米德三角形相关的题目引申到更多特殊结论，便于复习时一网打尽。
02
深挖好题
从特殊性问题中提炼出一般性规律，用特殊性情况检验一般性结论，比如从18年广州市一模数学导数题推出：
等等。
03
归纳题型
纵向对比同一板块不同时期记录下的题目，可能会惊喜地发现就是一种模型的不同变种。在旁栏注明相同点并附上通法，比如三角函数求值域利用“sinx+cosx”“sinxcosx”与“sinx^2+cosx^2=1”间的等式关系换元等，从而融会贯通这类题目，考试时只需成功回忆便可不慌不乱拿到满分。
04
一题多解
拓展思维的同时可以发现知识间的互相推导，加固知识体系的同时可以追溯知识点的来源，比如余弦定理与向量点乘的等价性，积分法证明含对数的不等式等等。
通过深入挖掘，我发现数学考试中所犯的错误大致可分为计算失误、知识点遗忘、没有思路三类：对于计算失误，应该及时反思解题状态，反复计算直至答案正确，也可以归纳一般情况的求解技巧。比如我做圆锥曲线类题目应用韦达定理时经常写着写着就漏了分母，从而怎么也化简不出正解，而在总结了直线与圆锥曲线联立的各种公式，变量代换采用直线还是圆锥曲线形式的窍门后，也基本上能做到十拿九稳；比如使用错位相减法对数列求和得出含n表达式后取n=1代入检验；比如求弦长所乘的
可以与点到直线距离公式的分母约分便先保留……对于知识点遗忘，我会采用改题的方式从特殊规律延伸到普适结论，达到举一反三的效果。对于没有思路，我想一开始可以暂时放弃，将重点转移至必须尽可能拿满分的基础题和容易快速提升的易错易混题，同时每天坚持一难题，将自己面对压轴题的心态从害怕调整为兴奋，那么潇洒写出逻辑缜密的解答，可计日而待矣。
当然，“理解≠掌握”，定期将错题笔记本拿出来重做，有助于避开“一看就会，一做就错”的黑洞，而完会做对的题目也可以划掉不再做收效甚微的重复劳动。
写在最后
学数学要满怀信心，充满动力，日拱一卒，不断进步。
无论是出于对数学这门学科有用而有趣、自然而清楚的表达中承载的知识与思想的热爱，还是单纯视刷题为打怪过关，从一次又一次胜利中获得快感，只要能在成功时戒骄戒躁，从失败中学会永不放弃，不论最终结果如何，都可谓足矣。
九万里风鹏正举，风休住，蓬舟吹取三山去。
祝愿学弟学妹都能享受数学，热爱数学！
来源 | “高中生杂货铺”公众号
文字 | 唐儒雅，内容有修改
美编 | 童祎璐
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家长经验
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