北师大版八上数学2.1 认识无理数 知识精讲
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知识点总结
一、 认识无理数
无理数的定义：无限不循环小数称为无理数.
2.无理数类型：
（1）化简后含有π的
（2）特殊结构的，如：0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）
（3）开方开不尽的
3、实数的概念及分类
①实数的分类
②无理数
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
开方开不尽的数，如 √7 ,3 √2等；
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /?+8等；
有特定结构的数，如0.1010010001…等;
某些三角函数值，如sin60°等
4、实数的倒数、相反数和绝对值
①相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。|a|≥0。0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
③倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。
④数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
⑤估算
微课精讲
易错辨析：
一.明确无理数的存在
无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：
（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为 ；
（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数 等等；
像 这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
二.弄清无理数的定义
教材中指出：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。
三.掌握无理数的表现形式
在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：
1.无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）
2.含 的数，如：， ， 等。
3.开方开不尽而得到的数，如 ， 等。
4.某些三角函数值：如 ， 等。
四.辨别一些模糊认识
1.无限小数都是无理数
无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。
2.无理数包括正无理数、负无理数和零。
受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。
3.带根号的数是无理数。
是有理数2， 是有理数－2，可见带根号的数不一定是无理数。
4.无理数是用根号形式表示的数。
是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001……（两个1之间依次多一个），亦为不带根号的无理数。
5.无理数是开方开不尽的数。
无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如 ，0.232232223……，等无理数，都不是由开方得到的。
6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。
两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：
等都是有理数。
7.无理数与有理数的乘积是无理数。
这种说法是错误的！
由 等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了！
如 等足以推翻以上结论。
8.有些无理数是分数。
因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。
如 ，但一定要注意它并不是分数。
9.无理数比有理数少。
这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。
10.一个无理数的平方一定是有理数。
这种说法错误，不要误认为只有 等无理数，如 等也是无理数，显然 等不是有理数。
讲析
图文导学
教学设计：
一、教学目标
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，在探究过程中培养动手实践的能力和独立思考、合作交流的习惯.
2.会判断一个数是否为有理数，并能说明理由.
二、学情分析
学生在七年级通过生活中的事例已经经历了数系的第一次扩充，从非负有理数到负有理数的扩充，从而扩充到整个有理数范围，本节从有理数扩充无理数，学生理解起来有一定的难度，可以从实例出发，引入无理数。而且通过第一章《勾股定理》的学习，学生已经掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决简单的问题，为引入“新数”奠定了基础．同时学生对于剪切这样的活动已经具备基本的能力，并且比较感兴趣，也开阔了学生的发散思维能力。
三、教学重点
1.通过拼图活动，经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数，并能说明理由.
三、教学难点
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数.
四、教学方法
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
认识无理数教学设计五、教学过程
（一）激情导课
工人师傅要加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条钢板，设钢板长为a米，则a2的值是多少？
（二）民主导学
1.拼一拼
如图是两个边长为1的小正方形，请你通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形．
认识无理数教学设计
问题1：设大正方形的边长为a,a满足什么条件？
问题2：a可能是整数吗？说说你的理由．
问题3：a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．
问题4：a可能是有理数吗？尝试说明理由．
认识无理数教学设计2.做一做
（1）如图，以直角三角形的斜边为正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
3.读一读：无理数的发现
4.巩固应用
（1）长、宽分别为3，2的长方形，它的对角线的长（ ）
A．是分数 B．是小数 C．是整数 D．不是有理数
（2）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．圆周率π
（3）如图,在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中三边边长不是有
理数的有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5.拓展提高
（1）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段．
（2）如图是小明以他画的线段为边长设计出的一个正方形，请解决下列问题：
①阴影正方形的面积是多少？
认识无理数教学设计②阴影正方形的边长介于哪两个整数之间?
认识无理数教学设计认识无理数教学设计认识无理数教学设计
（3）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按要求设计如下图形：
①三边边长均是有理数的三角形；
②三边边长均不是有理数的三角形；
③两边边长是有理数，另一边长不是有理数的直角三角形；
④一边边长是有理数，另两边长不是有理数的钝角三角形.
（4）如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
认识无理数教学设计
三、检测导结
1.当堂检测
在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段.
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2.一养鱼专业户欲将面积为288m2的长方形鱼塘改为等面积的边长为l m的正方形鱼塘，则l满足什么条件？l是有理数吗？请说明理由．
2.课堂小结
请你谈谈学习本节课的收获
（1）通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.
（2）能判断一个数是否为有理数.
四、布置作业
1.必做题：课本习题2.1(2)
2.选做题：课堂精炼P13(11、12)
3.思考题:
无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称之为一种特殊的数．设面积为10π的圆的半径为x，回答下列问题：
(1)x是有理数吗？请说明理由；
(2)试着估计x的整数部分是多少；
(3)将x精确到十分位是多少？
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