北师大版九上数学1.3 正方形的性质与判定 知识点精讲
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知识点总结
正方形
正方形是本章最后一个特殊的四边形，它既是特殊平行四边形，又是特殊的菱形，也是特殊的矩形，下面，让我们一起来学习正方形
正方形的概念
正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
从定义可以看出，正方形也是从平行四边形进化来的，一组邻边相等，说明它也是菱形，有一个角是直角，说明它也是矩形，所以，同时满足菱形和矩形要求的四边形，就是正方形
正方形的性质
如上述对正方形定义的解读，正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边相等
性质2：正方形的对角线相等且相互垂直平分
性质3：既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有4条
几种四边形之间的性质关系
正方形的判定
同矩形和菱形的判定一样，正方形的判定需要先证明四边形是矩形或菱形，再进一步证明正方形
几种四边形之间的判定关系
知识链接
1.有一个角是直角的菱形是正方形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是矩形。
3.四边相等的四边形是菱形。
典例分析
例：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形?你是如何判断的?
【分析】是正方形．可通过证明△AEH，△DHG，△CGF，△BFE全等，先得出四边形EFGH是菱形，再证明四边形EFGH中一个内角为90°，从而得出四边形EFGH是正方形的结论．
【解答】
四边形EFGH是正方形。
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=DG=CF=BE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
在△AEH，△DHG，△CGF和△BFE中，
AE=BF=CG=DH，
∠A=∠B=∠C=∠D，
AH=BE=CF=DG（全等三角形的对应边相等），
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)，
∴EH=EF=GF=HG，
∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
∵△AEH≌△DHG(已证)
∴∠EHA=∠HGD（全等三角形的对应角相等）.
∵∠HGD+∠GHD=90°，
∴∠EHA+∠GHD=90°，
即∠EHG=90°.
∴四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
拓展提升
在四边形ABCD中，E， G分别是AD、BC的中点，F， H分别是BD、AC的中点。
(1)当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形?
(2)当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形?
(3)当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形?
【分析】
（1）根据中位线的判定GH=EF=1/2AB，EH=FG=1/2CD，所以四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线垂直判定矩形即可；
（2）根据菱形的判定，四边都相等的四边形是菱形，只要证明EF=FG=GH=HE就可以了，这就需要AB=CD这个条件；
（3）首先利用菱形的性质得出平行四边形ABCD是菱形，再利用正方形的性质与判定得出即可．
【解答】
(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形。
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB,EF=1/2AB;GH∥AB,GH=1/2AB.
∴EF∥GH，EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∵AB⊥CD，
∴四边形EFGH是矩形（对角线互相垂直的平行四边形是矩形）。
(2)当AB=CD时，四边形EFGH是菱形。
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，
∴EF=1/2AB,HG=1/2AB,FG=1/2CD,EH=1/2CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH(等量代换)，
∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
(3)当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，
证明：∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴EF=1/2AB，
同理,EH=1/2CD,GF=1/2CD,GH=1/2AB，
∴EF=GH,EH=GF(等量代换).
∵AC=BD
∴EF=EH=GH=GF(等量代换)，
∴四边形ABCD是菱形四边相等的四边形是菱形）。
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。
习题训练
如图，在平行四边形ABCD中，E,M分别为AD,AB的中点，DE⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN.
（1）证明：四边形AMDN是菱形；
（2）若∠DAB=45°，试判断四边形AMDN的形状。
知识链接
1.有一组邻边相等的矩形是正方形。
2.有三个角是直角的四边形是矩形。
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
02
典例分析
如图，等边△AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．
【分析】
已知四边形ABCD是矩形只需证明矩形ABCD的一组邻边相等即可。分析已知后，先判断出AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，进而求出∠AFD=∠AEB=75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出AB=AD即可。
【解答】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°−45°−60°=75°，
在△AEB和△AFD中，
∠B=∠D
∠AEB=∠AFD
AE=AF
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
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03
拓展提升
已知：如图Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形。
【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．
【解答】
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
04
专题训练
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
1
知识链接
正方形四条边都相等。
正方形的四个角都是直角。
2
典例分析
如图，四边形ABCD是正方形，E. F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G。
求证：AF=BE.
【分析】
直接利用已知得出∠BCE=∠ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE．
【解答】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠A=∠CBE=90∘，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90∘，
∵∠ABF+∠CBG=90∘，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中
∠BCE=∠ABF
BC=AB
∠CBE=∠A，
∴△BCE≌△ABF(ASA)，
∴BE=AF.
3
拓展提升
如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库E和F分别位于AB和AD上，且AE=DF.思考两条直路CE与BF的关系。
【分析】
线段的关系可从位置关系和数量关系两个方面考虑。CE与BF相交，考虑能否证明CE与BF互相垂直；数量关系考虑CE与BF相等，结合题目需证明CE与BF所在的三角形全等，也就是证明△BAF≌△CBE。
【解答】
解：CE=BF，CE⊥BF。
理由：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠BAF=∠CBE=90°
∵AB=AD(已证)，AE=DF(已知)，
∴BE=AF.
在△BAF和△CBE中，
BA=CB
∠BAF=∠CBE
AF=BE
∴△BAF≌△CBE（SAS）
∴BF=CE.
(2)∵∠BAF=90°
∴∠ABF+∠BFA=90°
∵△BAF≌△CBE（已证）
∴∠BFA=∠BEC
∴∠ABF+∠BEC=90°
∴∠BGE=180°-90°=90°
∴CE⊥BF。
4
习题训练
如图所示，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 .
如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH=（ ）
解析：
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