史上最难逻辑题（不服来试）

2016-12-06 科研圈

撰文 BRIAN GALLAGHER

翻译徐付琪

审校杨晨张士超

1957年，普林斯顿大学博士生 Raymond Smullyan 在一位理论计算机科学创始人的指导下学习。他偶尔会去纽约玩。一次，他在那里遇到了一位“非常迷人的女音乐家”，情场圣手 Smullyan 在他们第一次约会的步调上，可谓非常“逻辑”，撩人于无形。

他说道：“我们来做个游戏吧。我先说一句话，如果那句话是真的，可以把你的签名给我吗？”

女音乐家饶有兴致地回答：“当然。”

“不过如果我说的不是真的，那就不要给我签名了。”

“好的…”

紧接着，他说：“你既不会给我签名也不会给我一个吻。”

稍微想一下儿吧，不过你最后肯定能明白 Smullyan 的机智之处。

按照协议，如果这句话的是对的，女音乐家就要给 Smullyan 签名；但这句话成立本身意味着“她不会给他签名”。而如果这句话若是错的，那么她就要给他签名或是吻。这就是她面临的困境：如果这句话不成立，她就不能给签名。这样，Smullyan 巧妙地运用逻辑学，以一句错误的话赢得了一个吻。（更赢得了美好的爱情：二人后来步入了婚姻殿堂。）

Raymond Smullyan 图片来源：mesosyn.com

Smullyan 喜欢这类逻辑游戏，人们也因为这类逻辑游戏而喜欢他。在休闲数学和逻辑方面，他的书《这本书的书名是什么》（What Is the Name of This Book?)和《嘲弄一只嘲鸫》（To Mock a Mockingbird）不仅激励了人们投身逻辑学研究，同时也改变了数学和逻辑学的教学方式。在他近百年的人生中，96岁高龄的 Smullyan 不仅为现代逻辑学奠定了基础，还是一名出色的钢琴家和魔术师，甚至还写了一些关于道教和象棋的文章。“毋庸置疑，他是逻辑谜题的大师。”他的博士生 Bruce Horowitz 这样评论道。

史上最难逻辑题

至今，哲学家和逻辑学家们仍着迷于 Smullyan 留下的一项宝贵财富——“世界上最难的逻辑谜题”。这一谜题由麻省理工学院的逻辑哲学家 George Boolos 命名。Smullyan的这位同事也是个中好手，热爱一切逻辑学难题。他曾经自我设限，只用单音节词做了一场哥德尔第二不完备定理的讲座，而这条定理，是“现代逻辑学最重要的成果之一”。

史上最难逻辑谜题是这么说的：

有真、伪、任性三位神，真之神只讲真话，伪之神只讲假话，任性之神的话或真或假，完全随机。你要做的是，只通过三个是非问题来确定三者身份，每个问题只能问其中一位神。他们能听懂你讲话，但只会用自己的语言回答，“是”和“否”分别是“哒”和“呀”中的一个，但你不知道对应关系。

看到这道题时，乐于接受挑战的我拿起纸笔，扎进沙发，心想这要不了两个小时就能解这道题。似乎只要一次性提出三个问题，寻找问题对应的答案就好。例如，我向甲询问乙是不是真，向乙询问甲是不是真，然后再问丙自己是不是真。但是几个小时过去了，我几乎试遍了自己能想到的所有问题，都没能成功，我开始理解为什么这道题会被称作“世上最难”了。很显然，我的问题不足以让这三位神告诉我他们的身份。

十分沮丧的我开始上网寻求指导，我发现攀上这一逻辑谜题高峰的大师是 Boolos，他在1996年解决了这一问题。这一问题求解的过程是我看过的最好的逻辑学课程之一。如果你想自己尝试解决这个问题，不妨先不要下拉屏幕。如果你成功的话，我将表示祝贺，如果很不幸没有成功，你可以接着这篇文章，看 Boolos 是怎样解决这一问题的。（译者注：如果只想降低难度，可以一点一点往下看。）

额滴神呐：在最难逻辑谜题中，你得判断真、伪、任性三位大神的真实身份。

Boolos 的解法中首先声明的一点是：不要像我上面那样，先脑子里想好，然后一次性抛出所有问题。你的第一个任务是想出一个问题，确定谁一定不是任性之神，或者谁只能是真之神或伪之神。这样你就可以通过排除法确定谁是任性之神，一旦确定了任性之神的身份，剩下的问题就迎刃而解了。

为了更好地理解这种方法，Boolos 给了我们三个简化版例子。

简化版 I

这个例子其实就是 Smullyan《这本书的书名是什么？》中经典的“骑士和流氓问题”：骑士只说真话，流氓只说假话，如何只提一个是非问题，根据他们的回答确定两人身份？

在解决这个问题之前，不妨设想这样的场景：假设你不清楚冥王星是不是矮行星，决定向周围的人咨询，但又不知道对方到底是骑士还是流氓，要怎样问才能确定冥王星是否为矮行星呢？

Boolo 解释说，你得下个套向他们套出你想要的答案。这个套路就是用“当且仅当”的双重条件提问。当你用当且仅当“把两个同真或同假的句子联系在一起，这句话一定是真的；但是如果这两个句子一真一假，这就是句假话。”“当且仅当”就像乘号一样，同正或同负的两数相乘总得到正的结果，而在两句同真或同假的情况下你得到的答案永远是真的。

现在这个情景下就是：“当且仅当冥王星是矮行星时，你是骑士吗？”

（译者注：不习惯使用“当且仅当”的同学，可以这样理解：冥王星是矮行星，你是骑士，这两个命题的真假相同吗？）

听你提问的人要么是骑士、要么是流氓，得到的回答共有四种可能：

如果这个人是骑士，冥王星是矮行星，那么答复是“是”；因为“当且仅当”联系的两句话都是真的，而骑士总是说真话。

如果这个人是骑士，冥王星不是矮行星，那么答复是“否”；因为问题中包含一句错话。

如果这个人是流氓，冥王星是矮行星，那么答复是“是”；因为流氓总说谎，正确的答案应该是“否”。

如果这个人是流氓，冥王星不是矮行星，那么答复是“否”，因为正确的答案是“是”。

冥王星

身份

是矮行星

不是矮行星

骑士

是

否

是

否

看看我们得到了什么结果：使用双重条件句提问，就一定能得到我们想要的信息。如果冥王星是矮行星，得到的回答就是“是”，否则就是“否”。

但是要注意，“史上最难逻辑谜题”与“骑士和流氓”有所不同——你听不懂他们的答复。

简化版 II

在这个例子里，你知道自己在询问只说真话的骑士，但是他只能用“哒”或“呀”回复你。这种情况下，你要通过怎样一个是非问题判断出冥王星是否为矮行星呢？

参照上一题的思路，问骑士“当且仅当冥王星是矮行星时，‘哒’是‘是’的意思吗？” 正是这样！即便我们不知道这两个词的含义，但如果冥王星是矮行星的话，你一定会得到“哒”的答复；如果不是则回复为“呀”。上一个例子中，我们不必弄清这个人到底是骑士还是流氓；而在这个例子中，我们也不需要弄清“哒”和“呀”的含义。

按照 Boolos 的说法，“史上最难逻辑题”就是前两个简化版问题和第三个问题的组合。在解决它之前，我们先整合一下前两个问题：

为了判断冥王星是否为矮行星，面对一个不知是骑士还是流氓的人，而且他只会回答“哒”或“呀”，你会怎样提问呢？如果你想的是，既然这是个复合问题，我们不妨用复合的提问方式，那你就想对了。“当且仅当冥王星是矮行星时你是骑士，当且仅当前一句为真时，‘哒’的含义是‘是’吗？”这样，不论你问的是骑士还是流氓，如果冥王星是矮行星，你得到的答复就是“哒”；如果不是，则为“呀”。这种构思巧妙的问题是解开谜题的钥匙。

每个问题的真假都是确定的，不存在模棱两可的情况。

简化版 III

我把三张牌倒扣放在你面前，三张牌背面一样但正面分别是两红一黑，你不清楚它们的顺序，但是我知道。你要指着其中一张牌，问我一个是非问题以确定其中的一张红色牌。如果你指到红牌的话，我就会像骑士一样说真话；如果指到黑牌，我就会效仿任性之神，可能说真话也可能说假话。那么你会指哪里，问什么问题呢？

这个问题看起来似乎更复杂，但事实上完全不是。你只需要随意指一张牌问剩下的两张牌中的一张是否为红色。例如你指向中间的牌，然后问它左侧那张是否为红色。不论中间的牌是不是红色，如果我告诉你“是”的话你选左边，“否”的话选右边，你选的牌都一定是红色的。为什么呢？如果中间是张红牌，那么我回答“是”就说明它左边也是红牌；如果回答“否”，则说明右边是红牌。如果中间是张黑牌，那么“是”或“否”都没有关系，因为此时它的左右都是红牌。所以，不论你指的是不是红牌，只要你要猜的牌不是你所指的牌，你所得到的“是”或“否”，都能帮你确定另一张红牌。

左	中	右	回答
红	红	黑	是
红	黑	红	是/否
黑	红	红	否

这种指着一张牌问另一张牌的策略也可以用在“史上最难逻辑谜题”中，找出那个回答或真或假的神。指向一张牌本身也是你提问的一部分，换成文字来说，相当于用指出某位是任性之神的断言，代替了上个复合问题中“冥王星是不是矮行星”的事实提问。这和决定指向哪张牌其实是一样的。谁是任性之神的答案取决于向谁提问，但是这并不重要，向三位神中的任何一位提问都能得到答案。

破解最难题

我们可以向甲神询问乙神是不是任性之神：“当且仅当乙是任性之神时你是真之神，当且仅当前一句为真时‘哒’才可以理解成‘是’吗？”你同样也可以指着乙神而问甲神的身份。在第三个例子里，不管回答如实还是随机，你都可以根据“是”或者“非”来确定一张红色的牌。在这里也一样，不论甲的身份如何，如果你得到的答案是“哒”，那么丙就是真之神或伪之神中的一个；如果答案是“呀”，那么乙就是真之神和伪之神中的一个。

假设答案是“呀”（回答必居其一），那么乙就排除了是任性之神的可能，这正是我们想要的结果，因为我们知道怎么确定这种情况下对方的身份，于是我们问他第二个问题：“当且仅当冥王星是矮行星时，‘哒’才意味着‘是’吗？”，因为我们知道冥王星是矮行星，那么乙的两种回答就有：

1、如果乙是真之神，那么答案就是“哒”。

2、如果乙是伪之神，那么答案就是“呀”，因为正确的答案是“哒”，而他总是讲假话。

假设答案是“哒”，那么乙就是真之神。此时我们向他询问最后一个问题，“当且仅当甲是任性之神时，‘哒’的意思才是‘是’吗？”考虑到任性之神只可能是甲或丙中的一个，那么：

1、如果回答是“哒”，即可说明甲是任性之神，于是丙就是伪之神。

2、如果回答是“呀”，即可说明丙是任性之神，于是甲就是伪之神。

让我们回过头来总结下 Boolos 的逻辑，我们判断真、伪、任性之神的三个问题是这样的：

1、向甲神提问：“当且仅当乙是任性之神时你是真之神，当且仅当上一句为真时‘da’的意思才是‘是’吗？”（假设甲回答“呀”，那么乙就是真之神或伪之神。）

2、向乙提问：“当且仅当冥王星是矮行星时，“哒”才意味着‘是’吗？”（假设乙回答“哒”，那么乙就是真之神。）

3、继续追问乙（真之神）：“当且仅当甲是任性之神时，‘哒’才意味着‘是’吗？”由于乙是真之神，他如果回答“哒”就意味着甲是任性之神，丙是伪之神。

问题解决！

所以“史上最难逻辑谜题”教会了我们什么呢？按照Boolos的说法，它告诉我们逻辑学基本方法里“排中律”的重要性。排中律的基本思想非常简单：每句话或者是真的、或者是假的，但不可能处于中间情况。Boolos说：“如果否认排中律的作用，那么在日常生活中，我们恐怕会完全丧失在多种可能中做判断的能力。”这是条让人清醒的思想。我们必须感谢Smullyan的谜题，让我们在愉悦的思考中学到了这一课。

原文链接：http://nautil.us/issue/30/identity/how-to-solve-the-hardest-logic-puzzle-ever

译者注：

1、简化版问题1的提问相当于：冥王星是矮行星，你是骑士，这两个命题的真假相同吗？

2、终极问题的第一问也可以这么问：

以下三个命题是否有奇数个是对的：你是伪之神，“哒”代表是，乙是任性。

3、强迫症患者望着三位大神远去的背影问了第四个问题：所以“哒”到底是什么意思？

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