如何确定平行四边形的内切椭圆

Original TF 上海初高中数学

2025-01-05

这个问题来源于田老师等读者的提问，由于前面几期分析了椭圆的一些性质：圆与椭圆不得不说的事儿、圆的直观图的离心率问题，所以不少读者对于如何确定平行四边形的内切椭圆很感兴趣，于是今天推送与此相关的一些内容

首先，我们假设有一个椭圆内切于一个平行四边形，来分析图形方面，它们会有什么性质或特征，然后从这些性质或特征入手，分析如何确定已知平行四边形内的内切椭圆

由对称性可知，椭圆的中心即平行四边形对角线的交点，假设椭圆的长轴长为2a，如上图所示，M、N分别为椭圆的焦点，N关于AB的对称点为N'，MN'与AB的交点为P'，P为线段AB上任意一点，可以得到以下结论：

1. PM + PN ≥ P'M + P'N = MN'

2. P'点为椭圆与AB的唯一交点，即切点

3. P'M + P'N = MN' = 2a

4. OE为中位线，OE = a

根据上述分析，点E为焦点N在边AB上的投影，得到OE = a，于是如下图，作N在其余三边的投影E'、E''、E'''，同理可得，OE'=OE''=OE'''=a，作焦点M在四条边的投影F、F'、F''、F'''，同理可得，OF=OF'=OF''=OF'''=a

即结论：平行四边形的内切椭圆的两个焦点在平行四边形各边的投影点共圆，圆的圆心为椭圆的中心，圆的半径为半长轴a

以上是平行四边形的内切椭圆的一些性质，根据以上结论，要反过来，给定平行四边形，求其内切椭圆，我们可以将过程反过来，有以下步骤：

1. 连结平行四边形对角线，确定交点为椭圆中心，以该中心为圆点，a为半径画圆，与平行四边形四边均有交点

2. 过这些交点，作所在边的垂线，根据上面分析的内切椭圆性质可知，垂线的交点即内切椭圆的焦点

3. 根据“直线（平行四边形四边所在直线）同侧的两个点（焦点）与直线上的点的距离之和取最小值时”确定内切椭圆与平行四边形的切点，例如，图中所示，作焦点N作边AB的对称点N'，连结MN'，与AB交于P'点，此时MP'+NP'为“AB上的点到M、N的距离之和的最小值”，所以确定P'点为切点，同理可以确定其余各边的切点

4. 根据两焦点位置，长轴长为2a（图中圆的直径），可以确定该内切椭圆的位置，结合内切椭圆的切点，可以画出内切椭圆的图形，并且，因为a并不是唯一确定，所以给定平行四边形的内切椭圆也不是唯一确定的，有无数个

结语：根据平行四边形内切椭圆的性质，因为相切，所以只有一个交点，所以距离之和最小的时候，是切点的情况，然后根据距离之和为2a，以及中位线的性质，得到“内切椭圆的焦点在平行四边形各条边的投影点共圆（圆的半径为a）”的结论，由这个重要结论，我们可以先作圆，以圆与平行四边形各边的交点为投影点，反推出内切椭圆的焦点，根据圆的半径，可以确定长轴长为圆的直径，从而确定内切椭圆。切点的确定是为了更好地在实际画图过程中，使得椭圆位置更为精确。

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