人教版六年级数学上册第五单元《圆》教学视频、知识点

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教学视频

第一节 圆

第二节 割补法求面积

第三节 扇形

知识点

一、圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心O：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。

圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。

半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。

直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或   r=d÷2

4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二条对称轴的图形：长方形

有三条对称轴的图形：等边三角形

有四条对称轴的图形：正方形

有无条对称轴的图形：圆，圆环

6、画圆

（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。

二、圆的周长：

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。

即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14。

所以，圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)—周长公式：c=πd, c=2πr。

圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。

3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d

三、圆的面积s

1、圆面积公式的推导

沿着半径分成若干（偶数）等份，剪开后，可以拼成一个近似的长方形，平均分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于一个长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，面积等于圆的面积。

圆的半径=长方形的宽

圆的周长的一半=长方形的长

长方形面积=长×宽

所以圆的面积=πr×r=πr²。S圆=πr²

2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。

周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。

甲乙两圆的半径比是a:b，直径比也是a:b,周长比还是a:b，面积比是a²:b²。

一个圆的半径扩大a倍，直径和周长比也扩大a倍，面积扩大a²倍。

4、环形面积 =大圆–小圆=外圆面积-内圆面积S环=S外-S内=πR²-πr²

扇形面积=πr2×n÷360（n表示扇形圆心角的度数）

5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。

一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米。

一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。

6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π。

7、常用数据

π=3.14   2π=6.28 3π=9.42   4π=12.56  5π=15.7

8、已知r求S圆  S圆=πr²

已知d求S圆  r=d÷2   S圆=πr²

已知C圆求S圆  r=C÷π÷2    S圆=πr²

9、圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

10.顶点在圆心的脚叫做圆心角。在同一圆内，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，在不同圆中扇形的大小与圆心角和半径有关。

1. 圆的认识

（1）圆的各部分名称：

①圆心——圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。

②半径——连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

③直径——通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

④一个圆只有一个圆心，有无数条半径和无数条直径。

（2）圆的特征：

注：（1）圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。

（2）直径是圆内最长的线段。

（3）直径所在的直线就是圆的对称轴。

（3）用圆规画圆：

①把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离作为半径。

②把带有针尖的脚固定在一点上作为圆心。

③把装有铅笔芯的脚旋转一周，即可画出一个圆。

（4）用圆可以设计出很多漂亮的图案。

例：小朋友可以练习一下，用圆规画出一个半径为3厘米的圆。

2. 圆的周长

（1）圆的周长的定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，一般用字母C表示。

（2）圆周率：圆的周长与它的直径的比值为一定值，这个定值就是圆周率，用字母π表示，一般在计算时π取3.14。

（3）圆的周长计算公式：C=2πr或C=πd

（4）半圆的周长：半圆的周长为圆周长的一半加上2条半径或1条直径的长度。

例：求下面这个半圆的周长。

3. 圆的面积

（1）圆的面积的定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。

（4）两个典型问题：

①在正方形内画一个最大的圆——正方形的边长即为这个最大的圆的直径。

②在圆内画一个最大的正方形——这个正方形的对角线的长度即为圆的直径。

4. 扇形

（1）弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。弧是圆的一部分。

（2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

（3）圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。

（4）在同圆或等圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。

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