一道三角形面积最值题的编拟思路及多解分析

文中的题目是我参加2014年高三期末联考时提供的。其实早在2008年左右，我就在自己的笔记本上编出了此题，类似的题还有一大串。那时是我工作后最低潮的一段时间，做题改题成了我麻木自己的最大乐趣。有些题目可以给杂志投稿，但还有很多难度一般的就只能静静地待在我的笔记本中，生即是灭。

2014年我第一次参加高三联考命题时这道题才有机会面世。可惜它命运多舛，审题专家觉得它偏难为其增加了等腰三角形的条件。不过审题前的试卷版本在考后流传网络，这道题得到了老师们的广泛关注。在随后的年份里，我看到简单改变系数或条件结论互置后的题目又出现在异地的考卷中。

下文中已经说明这道题最初来源于中线长公式，若从三等分线长公式出发可以得到系数分别为1、2、3的条件，由此也可以求三角形面积最大值，这道题后来发表在《数学通讯（学生刊）》问题征解栏目中。事实上这道题的系数可以推广到一般情形，我也看到有老师做了这样的工作。下文中我给出了题目的几种解法，那是我当时的认识，随着认识的深入，一方面我又获得了几种新的解法（文中未述），另一方面我发现这道题与很多三角形恒等式、不等式之间有着关联（有兴趣者可作探索），有机会以后会专门撰文说明。

最后值得说明的是，这道题是我原创，但后来我发现它并不新鲜。在匡继昌老师的大作《常用不等式》中我找到了原型。《常用不等式》是匡教授九十年代编撰的一部关于不等式的皇皇巨著，搜集之广，罗列之全，令人叹为观止。

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