江苏高考数学应用题的分析与展望

Original 张俊随风而去随风数学园 2022-07-17

2016年春，承蒙石、唐二位主任抬爱，让我在二模复习研讨会上为全市高三教师做一次关于应用题复习的讲座。受命以后，夙夜难宁，恐负领导之托。自己天生驽钝，能低识寡，加之小城鄙民，罕登高台，为防见众心怯，临场忘言（自己丢人事小，有负领导厚爱，浪费同行宝贵时间就罪过大了），为此准备了纸质稿件。正因为是发言稿，所以下文中口头语居多，不通顺，言不达意处时有所见，请阅者见谅，包涵则个。

讲座中，我从谨慎角度出发，提醒大家要关注立体几何应用题，还举了2006年蒙古包的例子，巧合的是当年高考应用题恰恰就是以立体几何为载体的，与蒙古包问题如出一辙。不过，这说明不了什么，仅仅是必然的巧合（方方面面考虑到自然会在这一范围内），更何况大家听听而已，又有几人会当真呢？没有谁先知先明，正如我下面的文中所言，即便偶有相似，也是比中大奖更小的小概率事件，不值得吹嘘。但这不代表我们就不去猜想高考，合情推理还是很有必要的。

岁月忽忽，已是2020年。回首再看当年的讲座内容，只能感叹自己无知无畏。4年间，高考命题变化不可谓不大矣，然今年仍是江苏模式，总会有共通借鉴之处，现呈于诸位，希冀能为大家备战高考奉献微力。

遍览历年应用题

一根红线题中系

求新求变年年事

稳字始终不动移

莫问今年何题是

课本寻源最当宜

凡事皆预无具细

任题千变也无疑

高考数学应用题的分析与展望

兴化市第一中学张俊

在江苏高考试卷中，应用题居于学生必须拿分的显赫位置，想在高考中有所作为的学生，应用题能否顺利拿下至关重要。

应用题不同于一般的试题，它是从实际生活背景中抽取信息转化为数学问题的一种题型。对学生的阅读理解能力、抽象思维能力、建模解模能力都提出了较高的要求。因此，对于很多学生而言，应用题是一道难跨的坎，但对于志在高考的学生而言，又是不得不跨的一道坎。对于我们广大数学教师而言，更是不希望自己的学生在这儿就轻易倒下。

孙子说：多算胜，少算不胜；又说：知彼知己，百战不殆。既然如此，我们就有必要从多方面了解一下我们的对手。

一、课标与试说明

再看看近五年各省高考应用题考查情况（江苏不算）

2015年高考试卷大题中，上海考查了函数应用题，浙江没有应用题，其他省份试卷清一色的概率或统计应用题。

2014年，上海考查了解三角形应用题；其他试卷则是概率统计应用题一统天下，唯我独尊。

2013年，除上海考了一道函数应用题，其他省份试卷都是概率或统计应用题。

2012年，上海依然是函数应用题，另外湖南理科函数应用题，文科数列应用题，其他省份概率或统计应用题包打天下。

2011年，只有山东、湖北、湖南理考查了函数应用题，湖南文考查了数列应用题，上海浙江没有应用题（含概率），其余省市都是考查了概率与统计。

通过统计，我们看到，应用题的考查是大势所趋，不可阻挡，各省试卷无不将应用题作为重要考查对象。但考查什么样类型的应用题却有差异。大部分省市将概率或统计作为应用题考查的主要内容，这一趋势在近两年的试卷中尤为突出。在这一潮流中，江苏的应用题显得鹤立鸡群，与众不同。2008年以来，江苏应用题中，概率统计杳无音信，没有容身之所。应用题已成为江苏高考的特色题型，拳头项目。因为特色，所以坚持。这样，我们几乎可以肯定非概率统计应用题仍是今年高考命题的首选。

平心而论，出题难，出应用题更难，出一道背景公平、难度恰当、立意高远的应用题更是难上加难。或许正应为此，概率统计应用题才获得各省市命题专家的青睐，成为命题的头牌。若非江苏和上海的坚持，它早就一统江湖。江苏高考的应用题会考什么？怎么考？这是大家最感兴趣的话题。听张三，信李四都不靠谱。我觉得以往的高考应用题最有发言权。那么以往的高考中应用题考的哪些内容？又是如何考的？空说无益，我们将它们一一请出来现身说法，为我们指点迷津。

2008年位于第17题，考了排污管道的长度问题(是一道课本题改编而来，几何背景

则是赫赫有名的费马点问题，主要用到三角、函数、导数求最值等)；

2009年位于第19题，考了“商品的满意度”问题(据说，这是史上最长的应用题，涉及函数、方程不等式等知识点，抛开长度，这是受到不少专家点赞的题，比如某教授在多篇文章中肯定过这道题，但由于其阅读量巨大，出场的字母过多，备受争议，因此题虽好，却不代表高考应用题的发展方向)；

2010年又位于第17题，考了测量电视塔高度的问题(主要知识点是三角函数、基本不等式，来源于课本题，数学背景则是历史上著名的米勒问题，是一道备受好评的改编题)。

2011年依然位于第17题。考了包装盒问题（主要涉及立体几何、三次函数求最值，将空间想象与最优化巧妙嫁接，立意新颖，贴近生活。其实课本中就有立体图形最优化的问题，可看做是脱胎于课本的绝妙好题）

2012年还是位于第17题，考了炮弹发射问题（主要涉及函数方程等知识，这道题颇有争议，有人认为文理不公平，是非公道，皆已云烟，非我所能评论）

2013年下移一位，位于第18题，是以三角形为背景的行程问题，阅读量不大，但涉及三角恒等变换、解三角形、函数最值、不等式等多个数学模型，综合性强；不过美中不足的是，第（3）问初中生都可完成，作为高考题，值得商榷，这也从一个侧面说明应用题命制的困难。

2014年应用题还位于第18题，是由课本必修2中的“路灯问题”改编而来，背景涉及文物和环境保护，有鲜明的时代特征．主要运用解析几何的思维方式，综合运用直线和圆、不等式或三角函数等知识解决问题，题目创新程度较高，但也体现了数学建模的思维方式，是一道思维程度较高的试题，有很大的难度。

2015年应用题回归到第17题的位置，背景涉及公路交通布局，贴近生活，建模简单，与我市二模应用题如出一辙。

回首是为了更好地前行。通过回顾2008年以来的高考应用题，我们强烈的感觉到，题目虽年年求新求变，但一个稳字始终岿然不变。静下心来，细细梳理：

二、江苏省高考应用题特点总结

1.每年必考，从未缺席。应用题已成为江苏高考区别于其他省市试卷的特色题型。也许很难出，但再难出也肯定出，至于最终的题目像西施还是东施那另当别论。越难越坚持，命题人也骑虎难下，不得不为。

2.位置居中，偶有偏后。除了2009年那道史上最长应用题位于第19题外，其他年份稳居17、18，从未动摇。位置决定难度，一定要向学生传达应用题不会很难的信念。可以肯定，今年的应用题仍是17或18题，当然也不排除第19题的可能，这要看命题专家最终拿出什么样的作品。

3.知识分布，有迹可循。纵览这几年的应用题，不难发现涉及的主要知识点有函数导数、方程不等式、三角和解析几何。因此这几块内容的应用题要重点训练，强化突破。尤其是三角类的应用题，据某介绍，某地专家认为很有可能今年会走进高考。除了与导数结合的外，这一部分还有两个方向，一个是解三角形类的，与正弦、余弦定理、面积公式形影不离；另一个是三角函数模型，这一块要格外留意。课本上经典的摩天轮模型，水轮模型一定要拿出来重温，讲透练透，不留遗憾，张乃贵老师发表在《中数参》的文章《水轮问题的思考》有深入的研究，值得大家参考。

另外，未曾涉及过的知识点今年能否大胆求新求变，值得期待。比如数列应用题，江苏高考从未考过，今年会不会在此处做文章？也不要轻易地宣判死刑。诚然，数列一般会有一道大题，出应用题的可能性不大，但“小心驶得万年船”，平时偶尔练这么一两道，就算一点小菜，换换花样调剂一下也是好的。如果命题人以课本中出现的数列问题进行改编，我们更是无言可对。比如课本上的复利问题，扪心自问，我们的学生真能一马平川的搞定吗？

再如以立体几何为背景的应用题，2006年考过蒙古包问题，再如2011年的包装盒问题。今年会否也以此为背景呢？其实，以立体几何为背景用导数方法处理的最优化问题非常容易命制，课本中也有经典的例题，这个值得期待。

再如线性规划、概率统计，08年以前都是主力军，今年会否刻意求新求变，在这个方向上命题，与全国大多省份试卷接轨呢？而且，这种类型的应用题相对要容易命制。算无遗策才能机不虚发，想在前总比懊恼在后要好吧！平时间歇性的练几次这方面的题也算开放在单调解题生活中的一些小花，不为过啊。万一遇到了，学生的心里也会踏实，否则越生越慌，越慌越乱、越乱越错，甚至会影响下面题目的解决，后患无穷。

4.几何背景，一统江湖。这几年的题要么直接的几何背景，要么图形直接给出。这样处理使题意变得更加明确、直观，也降低了思维的强度。某专家也曾在不同场合表达过这样的观点：图形为背景的可能性大，相对容易出，而有现实背景的应用题模型不好找，弄不好会出科学性错误。

5.建模轻松，难度中等。通过研究前几年的试题不难发觉，数学建模过程越来越容易。这两年的高考中几乎所有应用题都直接给出变量，不需要学生自己引入变量；一方面有利于解答的一致性，另一方面明确了解题的方向，也减少了学生的思考时间。

通过题目回顾可以看到，试题并不是那种直接来自生活、远离数学、需要很多社会知识的应用题。题目的数据经过精心设计，不再需要繁琐的计算，有些试题仅仅是数学知识内部的应用。

说实话，江苏应用题都是披着应用题外衣的假应用题。关键还是用相应的数学方法解决纯粹的数学题，尤其是最值问题。比如，去年的应用题不仅提供了函数模型，还提供了坐标系，对于这点，专家们还可以美其名曰人文关怀，贴近生活，不刁难学生。总之，这些转变一定要渗透给学生一定要让学生坚定应用题必定可拿下的信心，变“可怕题”为“可亲题”。

6. 脱胎课本，源于经典。不少题就像西游记中的魔头，都大有来历，并非闭门造车。如2008年改编自选修1-1：

如图（见PPT），已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km．从A到C，先乘船，船速为50km/h，再乘汽车，车速为25km/h．问：登陆点应选在何处，使所用时间最少？

现在将上图作一个对称变化，变成右图（见PPT），这就是2008江苏卷第17题研究的问题．另外，这道题也是几何中著名的费马点问题的一种特殊情形。

2010年应用题改编自必修五的一道习题与必修4的一道例题的巧妙联姻，强强合作，呈现经典：1.如图（见PPT）设有一壁画......视角最大？2.如图（见PPT），两座建筑物AB，CD......，求建筑物AB，CD的底部之间的距离BD。

这道题目非等闲之辈，后台很硬，实际上是历史上著名的米勒问题， 1986年的高考就曾亲自上阵考过：（见PPT）略。我们江苏的命题专家将他套了件美丽的衣服，乔装改扮，又拉出来见客了。

又如2011年的包装盒问题是选修1-1中导数应用一节无盖铁皮箱问题（见PPT）的升级版；2012年的炮弹原型则在选修4-4参数方程一节； 2013年的游客下山问题是以课本必修5的图（见PPT）为背景，赋予了生动的生活情境。2014年的古桥问题由课本必修2两平面平行与垂直一节中的 “路灯问题”（见PPT）改编而来。

通过研究往年高考题，目标不再依稀，我们的心由浮躁变得平静，由茫然转为坚定，展望2016年高考，我们几乎可以肯定：求新、求变、求稳一定还是今年高考的主旋律。新和变是相对的，高考命题关乎千家万户，既是教育问题，也是政治问题，因此那种暴风骤雨式的革命性的突变是不可能的，应该是一种自然的渐变发展，关于这一点，无论是我们教师，还是学生，都应该吃一颗定心丸。

老师们都喜欢去预测今年的高考题会考什么。说实话，谁也不敢拍这样的胸脯说今年会考哪道题。即便偶有相似，也是比中大奖更小的小概率事件，不值得吹嘘。但这不代表我们就不去猜想高考，合情推理还是很有必要的。任何科学的预测都应该建立在全面收集信息的基础上，对于我们而言，最可靠的资料当然就是刚才研究过的高考题，因此，如果有老师对此感兴趣，我觉得可以从以下几方面做一道合情推理题。

三、教学预测

从频繁出现的内容、方法、载体、数学结构预测

从未曾考的内容预测：解析几何类、数列、概率统计、线性规划、立体几何，如此等等，不一而足

从未曾考过的形式方法预测：分段函数、分类讨论、三角测量、航海方位确定，以下省略号

对于高考，任何人都可说上几句，没有谁敢称权威。因此，我不去做没把握的事，我更关心的是，在余下的日子里，我们还能做些什么？该做些什么？除了我们前面提到的各种题型的训练，我觉得以下方面也是值得我们注意的：

四、教学启示

1.关心各种类型函数最值、取值范围的收集整理：比如二次的、三次的、指数的、对数的、分式的，它们之间的和差积商的，分段的。从历年高考可见，最优化问题是出镜率最高的，应用题往往是将一些可求最值的数学问题精心包装，赋予合理的情境，改头换貌，乔装打扮而来。比如（见PPT）等、（见PPT）都是应用题中的老面孔，必须让学生练得纯熟，谨防建模有法，解模无策。比如（见PPT）型的，存在于各种情境中。

再如：（见PPT）。这样的例子俯拾皆是，不同的背景，相同的结构，也许会从另一个角度帮助学生理解应用题。

2.关心典型的含最值的几何问题。几何背景非常容易赋予情境，因此也容易编拟应用题，比如：若等腰三角形的内切圆半径为定值，则腰长存在最小值。

这本是我很久前编的一道几何最值题，但始终未能派上用场，去年，二模命题时，缺少一道应用题，我将它重新梳洗打扮，改成了一道应用题（见PPT），终于让它发挥了一点光和热。

又如，对于等腰梯形ABCD，若底角为定角，面积为定值，则其周长存在最小值。我们点化点化它，给他灌一点人气，简单点可以有：

如图（见PPT），某科技兴趣小组需要制作一个面积为两倍的根号二的等腰梯形构件，（1）略；（2）求周长的最小值．

如果嫌太过朴素，我们再给他换一件华丽些的衣服，可以是：（见PPT）

　　再如：在等腰梯形ABCD中，若已知腰和一底，则面积存在最大值。

据此，简单加工就可以编拟：略（见PPT）。很显然，这次的二模应用题也脱胎于此。

我提供两个几何最值题大家，请大家也试试做题目美容师，将它旧貌换新颜。（略）

3. 题在书外 根在课本。

前段时间，有幸聆听了数学帝葛军大爷的精彩讲座，其间，葛大爷反复向我们传达了两个观点：1.高考题要反复做； 2.高考题的根在课本中。可见，课本是我们复习的另一个重要抓手。我捕捉了他关于应用题仅有的几句话的核心内容，大意是：将课本中的式子、图形应用化。总之：信课本，得永生

我狗尾续貂，详细补充一下：

1）赋予课本式子以生命本题（见PPT）是选修2-2上一道其貌不扬的例题，其中涉及到一个重要式子（见PPT），为它更换一个时髦的环保背景：

如果再换一件衣服穿穿，可以是（见PPT）

2）激活课本图形书上的几何图形，特别是有特点的图形一定要重视。点、船、飞机、人、小鸟这些对象在命题人眼中都是一样一样的，无他，道具尔。众生皆一，万物一同的哲学观念在这里得到了最佳的诠释。

这（见PPT）是隐藏在课本必修5中的一幅图，默默无闻，毫不起眼，我们激发它蕴藏的能量，可以编为（见PPT）

这是必修2中一幅很有意思的图，2014年的古桥问题即从此图发展变化而来，再如（见PPT）。

它们分别是必修2，必修4中的两个图，从中获得灵感，可以形成不少试题，比如：（见PPT）

我进一步将此题整整容，化化妆，变为：（见PPT）

这是我们一模应用题的原始面貌，虽是素颜，但感觉小家子气。后来经朱占奎校长妙手剪裁，将它美容成下面的模样，颜值大增，行家一出手，便知有没有，经朱校长的打磨，看上去自然清新，有趣多了。

3）赋予课本题以新的容颜

题目比较平淡，不太适合做考试题，动点手术，引入参数，添补图形，更换数据，可以改编为（泰州模拟题）：

这是必修5中的一道例题，我们可以给出各种变式：（见PPT）

每一个变式都为我们应用题的设计提供了素材。比如（泰州模拟题）：（见PPT）。这道课本题的一个直接模型其实就是必修4中著名的直角走廊问题：（见PPT）石主任曾赋予这个题目（见PPT）更活泼有趣的情境：......石主任通过他的巧思生动的诠释了葛大爷点就是船、飞机、小鸟的经典论述。如果将铁棒换做矩形，可以有：......如果将直角走廊换做圆弧走廊，可以有：...... 再如将直角走廊换做非直角走廊，可以有：（见PPT）（思维一旦打开，千树万树梨花开）

这（见PPT）是定居在必修5中的一道例题，非常引人注目，更换情境，可以有：（见PPT），情境、图形全部更换，可以有：（见PPT）

动个大手术，将矩形改为三角形，（见PPT）。将这个问题添加生活情境，有可以编拟一系列的应用题。

这（见PPT）是散落在课本中的两颗宝石，彼此关联，能量巨大。

半圆内接矩形（必修4），圆内接矩形（选修）

圆换半圆，扇形，弓形，抛物线，三角形，组合图形

矩形换三角形，梯形，平行四边形，组合图形

内接换外切

面积换周长，线段和、线段积

平面换立体，球，圆柱，长方体

无边想象缓缓下，不尽题目滚滚来。课本是一脉挖掘不尽的富矿，抓住课本，也就抓住了高考试题的根。

4.重视经典名题：如前面提过的米勒问题、、费马点、再如光线最短原理、最速降线问题、将军饮马问题

再举几个米勒问题为背景的例子（见PPT）