奇妙的数学：蓝眼睛岛和强弱共识 | 袁岚峰
在游客发言之前，“岛上有蓝眼人”是一个弱共识，或者说沉默共识，但不是一个强共识，或者说公开共识。在游客发言之后，“岛上有蓝眼人”被提升成了一个强共识，或者说公开共识。强共识包含了比弱共识更多的信息，因此可以导致更多的后果。
通过一个概念框架，我们能够把从文学到人工智能到摩尔定律的包罗万象的事物联系起来，这就是数学的威力。“数学是有趣的”，这一点应该成为强共识！
大家好，又到了讲数学的时间了~同学们是不是很开心呀？
欢呼雀跃
最近，我有一位朋友给大家出了一道题目：
“在一个岛上，住着一个部落。这个部落由1000个人组成，这些人有多种眼睛颜色。他们有一种宗教信仰，禁止他们了解自己眼睛的颜色，甚至禁止他们讨论眼睛颜色这个话题。因此，每个居民都能看到所有其他居民的眼睛颜色，但却不能发现自己的眼睛颜色（这里没有镜子或者诸如此类的东西）。如果一个岛民知道了自己的眼睛颜色，那么他们的宗教就会强制他们第二天中午在村庄广场上自杀，让所有人都看到。所有的岛民都非常逻辑和非常虔诚，他们也都知道其他人也非常逻辑和非常虔诚。在这里，‘非常逻辑’的意思是，如果从岛民已知的信息和观察中可以推理出任何结论，那么岛民必定会知道这个结论。
实际上，在这1000个岛民中，100个人的眼睛是蓝色，900个人的眼睛是棕色。不过，岛民最初并不知道这些数据。因为，每个人只能看到除自己之外的999个人的眼睛颜色，看不到自己的眼睛颜色。
有一天，一个蓝眼睛的游客来到了岛上，并且获得了部落的完全信任。一天晚上，他向整个部落的人致辞，感谢他们的款待。
然而，由于不了解当地的风俗习惯，这位游客犯了一个错误，在他的讲话中提到了眼睛的颜色。他说了一句：‘真是有趣呀，在这里能看到像我这样的蓝眼睛的人！’
请问，游客的失言对部落会不会产生影响？如果有，是什么影响？”
好，问题讲完了。如果你以前没有做过这个问题，那么建议你先深入思考一下，得出你的结论，然后再往下看。
蓝眼人
我在听到这个问题后，稍加思考，就对出题人说：
这里用到的是递归推理，跟另一个著名的问题“海盗分金”类似。如果只有一个蓝眼人，那么他原本看不到蓝眼人，听到游客的话，就知道了游客说的蓝眼人就是自己，因此他在一天后会自杀。
由此可以推出，如果有两个蓝眼人，那么他们原本都只看到一个蓝眼人，听到游客的话，都会想：对方是不是岛上唯一的蓝眼人？如果是的话，那么一天后他应该自杀。但过了一天没人自杀，因此两人都明白了，对方没自杀是因为岛上还有一个蓝眼人，就是自己。因此，在游客讲话的两天后，这两人会一起自杀。
继续推理，如果有n个蓝眼人，结果就是在游客讲话的n天后，这些人一起自杀。
出题人的反应是：如果从只有一个蓝眼人的情况开始推理，感觉是明白的。但初始状况是蓝眼人有100个，这就有点迷惑了。为什么迷惑呢？这些蓝眼岛民一开始就看到了99个蓝眼人，所以他们面对的两种选项是99人和100人，一上来就知道不可能只有一个蓝眼人，那么他们还能从一个的情况开始递推吗？
我思考了一段时间，然后发现，可以把我刚才的答案换一种更容易理解的表述：岛民们并不需要在一开始就做出所有的推理，他们完全可以跟着时间走，过一天推理一次。
过了一天，没人自杀，说明蓝眼人数不是1。请注意，这是个严格的推理，虽然你一开始通过观察就知道蓝眼人数不是1，但也不妨碍你从“过了一天没人自杀”这一点推出蓝眼人数不是1。
过了两天，没人自杀，说明蓝眼人数不是2。
如此等等，过了n - 1天，没人自杀，说明蓝眼人数不是n - 1。这个结论就不是在游客来之前通过观察能得到的了，因为在游客来之前他们面对的是两种可能：n - 1和n。
既然现在知道了不是n - 1，那么只能是n了。因此，每一个蓝眼人都明白了，除了自己看到的n - 1个蓝眼人之外，第n个蓝眼人就是自己。于是在第n天，所有这n个蓝眼人都自杀了。
这种表述的优点是，不需要显得岛民们无比的深谋远虑，他们只需要跟着时间走就是了。好比打开了一个计数器，每天如果看到没人自杀，就把蓝眼人数的下限加1。这样一来，就解开了那个“已知蓝眼人数多于1，为什么要从1开始推理”的疑问。
然而，许多人在听到我的答案后，还是觉得将信将疑。令他们疑惑的是：游客说的是“岛上有蓝眼人”，但是这一点对于岛民来说并不是个新信息。每个岛民都能看到至少99个蓝眼人，所以他们当然早就知道岛上有蓝眼人了。既然没有新的信息输入，结果不就应该是没有任何事情发生吗？从这个角度看来，游客这话应该说了跟没说一样，大家照常过日子，没有任何人自杀。
还有另一个很容易产生的疑惑是：既然岛民本来就知道岛上有蓝眼人，那么他们是不是应该根据同样的推理，在游客到来之前就得知哪些人是蓝眼，然后这些人自杀？得，从这个角度看来，事情刚好相反，没有游客时蓝眼人也该自杀。
你能解释清楚这两个疑惑吗？如果你以前没有考虑过这些问题，请先认真思考一番，然后再继续往下看。
我的朋友、风云学会会员陈经告诉我，著名的数学家、加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学教授陶哲轩对这个问题有很深入的研究。陶哲轩1975年生于澳大利亚，他的父母是从香港移民过去的。陶哲轩2006年31岁时获得了数学界的最高奖菲尔兹奖，是丘成桐之后第二位获得菲尔兹奖的华人。
1985年，10岁的陶哲轩和伟大的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）在一起
作为当代著名的天才数学家，陶哲轩是一个非常有趣的人。有趣在哪里呢？有趣在他是一个“超级正常”的人，他不是个媒体喜欢塑造的“疯子天才”！有人开玩笑说，好莱坞永远也不可能给陶哲轩拍电影，因为他的生活安定，家庭幸福，他总是在微笑（http://article.yeeyan.org/view/531444/466314）。
陶哲轩
关于陶哲轩和他的研究成果，有许多可以说的，以后我们再来详细介绍。在这里，让我们集中在蓝眼睛岛这个问题上。
陶哲轩把蓝眼睛岛问题称为他最感兴趣的逻辑问题，三次在自己的博客上贴出这个问题（http://www.math.ucla.edu/~tao/blue.html，https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/，https://terrytao.wordpress.com/2011/04/07/the-blue-eyed-islanders-puzzle-repost/），并且跟许多留言者进行了深入的交流。在这个意义上，我们非常感谢陶哲轩对数学普及的热情和贡献。他乐于花费时间跟许多业余的读者交流，而且非常温文有礼，而留言中也有不少有趣的讨论，这样的交流氛围十分值得赞赏。
陶哲轩对于蓝眼睛岛问题，用专业的数理逻辑语言给出了一个严格的解答（https://terrytao.wordpress.com/2011/05/19/epistemic-logic-temporal-epistemic-logic-and-the-blue-eyed-islander-puzzle-lower-bound/），定义了一种“包含时间的认识论逻辑”（temporal epistemic logic），并用它阐述了其他的一些逻辑难题，例如“出乎意料的绞刑”悖论（the unexpected hanging paradox，关于这个问题，我们以后再讨论）。不过，这个专业的解答充满了逻辑学符号，超出了大多数读者的理解范围。下面，我们仍然用日常语言来介绍蓝眼睛岛问题，而这样做也足以达到大部分的效果了。
陶哲轩对蓝眼睛岛问题的表述，是在描述了题目后，立刻给出了两种可能的答案（https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/）。第一种答案是，没有任何事发生。因为游客说的是岛民本来就知道的，没有带来新信息。第二种答案是，过了100天之后，所有的蓝眼人自杀了。陶哲轩推理的过程跟我上面说的一样，只是他用了数学归纳法的语言。
现在的有趣之处是，这两个答案看起来都很有道理，但它们是直接矛盾的，不可能同时正确。于是陶哲轩问：如果这两个答案中有一个是正确的，那么是哪一个？另一个答案又为什么不正确？
在正面回答陶哲轩的问题之前，让我们首先来做出一点提醒。许多评论者说了一大堆，但没有把注意力集中在这个问题的本质上，而是提出了种种看似机智实则无聊的评论。
例如，有人说，你这里隐含了一个前提，就是岛民中没有人是聋子，他们都听到了游客的话，而且都知道其他人不是聋子。或者，即使有人是聋子，他也会读唇语……又如，有人说，岛民如果严格推理，就会有人自杀，但他们可以不求甚解，这样就大家都稀里糊涂地活着……
对于这些不得要领的评论，陶哲轩给出了一个明确的答复：
“毫无疑问，这个逻辑难题的假设是非常不现实的，而且违反常识。然而，这并不会导致上述问题失效，这个问题就是：存在两个独立的、看似合理的论点，它们从相同的假设开始，但得出了相互矛盾的结论。这个状况需要解决，即使问题的假设在任何合理的情况下都极其不可能完全满足。只有当这些假设在逻辑上不可能完全满足时，这个状况才没有必要进一步分析。”
如果你还没有看懂陶哲轩的话，那么我再解释得明确一点。“不可能”分为两种，一种是逻辑上的不可能，一种是实证上的不可能。逻辑上的不可能，例如1 ≠ 1，或者2 + 2 = 5。你无法想象一个1不等于1或者2 + 2等于5的世界，这样的世界必定自相矛盾。实证上的不可能，例如你的百米速度超过了博尔特，或者你的财富超过了巴菲特，或者中国男足拿了世界杯（如果是中国女足拿了世界杯，当然大家就不会感到意外了）……虽然这些事情怎么看都不像是能发生的样子，但你完全可以想象一个这样的世界，没有内在矛盾。
为庆祝中国男足晋级世界杯预选赛亚洲区十二强，长安福特与广大球迷共享胜利喜悦……
陶哲轩强调的是，蓝眼睛岛问题中的那些前提，属于实证上的不可能，而不是逻辑上的不可能。因此，对这些前提吹毛求疵是没有意义的，属于逃避问题。存在两个貌似合理但截然相反的答案这一点，是一个真正深刻的问题，这个问题强烈地需要一个解答。这是一种智力上的挑战，这个挑战真实存在。任何对自己的智力有信心、对这个世界有好奇心的人，都应该正面应对这个挑战，而不是希望通过扯一通俏皮话来消解这个挑战，那是脑子不够用、不敢面对真实问题的表现。
事实上，蓝眼睛岛问题有许多种其他的表述形式。只要你愿意，你很容易就能找到某种表述形式，避开那些关于实证性质的评论。例如，一位漫画家“xkcd”的表述形式是这样的（https://xkcd.com/blue_eyes.html）：
xkcd的蓝眼睛岛漫画
“一群眼睛颜色各异的人，住在一个岛上。他们都是完美的逻辑学家，也就是说，如果能从逻辑上推导出一个结论，他们就会立刻推导出来。没有人知道自己眼睛的颜色。每天午夜，会有一艘渡轮停靠在岛上。任何一个岛民如果知道了自己眼睛的颜色，就坐船离开这个岛，而剩下的人留在岛上。每个人都可以在任何时候看到其他人，并且记得他看到的每一种眼睛颜色的数量（当然不包括他自己），但是除此之外，他们就不能以其他方式交流了。岛上的每个人，都知道所有这些规则。
事实上，在这个岛上有100个蓝眼睛的人，100个棕眼睛的人，还有一个宗教领袖，她的眼睛是绿色的。所以，任何一个蓝眼人都能看到100个棕眼人、99个蓝眼人和一个绿眼人，但不知道自己眼睛的颜色。在他看来，除了那位宗教领袖之外，总的状况可能是101个棕眼人和99个蓝眼人（如果他自己是棕眼），或者100个棕眼人和100个蓝眼人（如果他自己是蓝眼），或者100个棕眼人和99个蓝眼人加上他自己有其他颜色的眼睛（比如说红色）。
有一天中午，宗教领袖站在所有的岛民面前，说：‘我看到岛上有蓝眼睛的人。’
请问，会不会有人离开岛？如果有的话，是哪些人在什么时候离开岛？”
又如有人在陶哲轩博客的评论区里指出，有这样一个类似的问题：
“在一个村子里，住着100对夫妻。如果有一个丈夫出轨，那么所有的女人都会知道这一点，除了他的妻子以外。而如果一个妻子知道她的丈夫出轨，那么她就会杀了后者。实际上，这个村子里所有的丈夫都出轨。有一天，从外面来了一个老太太，告诉大家：在村子里至少有一个出轨者。请问，会发生什么？”
你看，同样实质的问题可以千变万化。因此，前面说的那位漫画家xkcd特意强调了一番，让大家把注意力集中到问题的本质上来，他说：
“这里没有镜子或反射面，没有隐情。这不是一个脑筋急转弯的问题，答案是合乎逻辑的。它既不依赖于微妙的措辞，也不依赖于任何人撒谎或猜测，也不涉及人们做一些愚蠢的事情，比如创造一种手语或做遗传学研究。那位宗教领袖并没有与任何人进行特别的眼神交流。她只是简单地说:‘我看到，在这个岛上至少有一个蓝眼睛的人。’”
可想而知，xkcd先生已经见到了很多种离题万里的评论，以至于在这里忍不住强烈吐槽一番！
好，下面我们就来正面回答那个真正的难题：游客究竟有没有带来新信息？
回答是：游客确实带来了新信息！
这才是蓝眼睛岛问题中，真正出人意料的地方。
你也许会很惊讶：游客带来什么新信息了？在游客光临之前，岛民不是早就知道岛上有蓝眼人吗？他们不但知道岛上有蓝眼人，甚至还知道岛上至少有99个蓝眼人。那么游客说的这句“岛上有蓝眼人”，能有什么新信息可言？
要说清楚这个问题，先让我们给这100位蓝眼人起个代号。对于任何一位蓝眼人而言，他不妨把自己称为A1，把其他99位蓝眼人称为A2、A3……一直到A100。当然，最初他只知道A2到A100是蓝眼，不知道自己这个A1是不是蓝眼。现在我们可以说，游客给A1带来了一个新信息，如下所述：
A1知道，A2知道，A3知道，……，A99知道，A100知道，“岛上有蓝眼人”。
这句话可能一时难以理解，因为它里面出现了100次“知道”，可以称为一个100阶的知识。而我们平时面对的，大多是一阶的知识，即某人知道某事，完了。从一阶到100阶，这个跨度太大，无怪乎你会晕头。
没关系，我们换一种方式来表述这个100阶的知识：A100知道“岛上有蓝眼人”；而且A99知道这一点（现在“这一点”指的是前面这一句，即A100知道“岛上有蓝眼人”）；而且A98知道这一点（现在“这一点”指的又是前面的一句，即A99知道A100知道“岛上有蓝眼人”）；而且A97知道这一点……最后，A1知道这一点。也就是说，A1知道A2知道……A100知道“岛上有蓝眼人”。
如果你现在还没有彻底搞明白，没关系，这是正常的。只要你有个感觉，游客带来的新信息并不是“岛上有蓝眼人”这件事本身，而是一连串嵌套的“我知道你知道他知道某某某”，就足够了。要明确地理解这句话为什么是新信息，最好还是从最简单的情况开始。
最简单的情况是什么？就是岛上只有一个蓝眼人A1的情况。这时，游客的话本身就是新信息了，因为A1本来看不到蓝眼人，现在他知道，游客看到的蓝眼人只可能是他自己。因此，他会在一天后自杀。
其次，如果岛上只有两个蓝眼人A1和A2。这时，游客的话本身不是新信息，因为两人本来就各自能看到一个蓝眼人。但是对于A1来说，A2是否知道岛上有蓝眼人呢？A1原本无法确定，因为如果A1不是蓝眼，那么A2就不会看到蓝眼，A2就不知道岛上有没有蓝眼人。游客发言以后，A1就知道了，A2也知道岛上有蓝眼人。这对A1是一个新的知识。这个新知识会产生什么后果呢？后果就是，A1等待一天，看A2是否自杀。如果过了一天，A2没有自杀，那就说明A2看到了某些蓝眼人。但A1知道A1和A2之外没有蓝眼人，所以A2看到的蓝眼人只能是A1自己。因此，两天之后，A1和A2都自杀。
然后，如果岛上有三个蓝眼人A1、A2和A3。这时，游客的话本身不是新信息，而且像“A1知道A2知道岛上有蓝眼人”这样的二阶知识，也不是新信息。因为A1一眼看去，A2和A3互相能看见，所以他当然知道A2知道岛上有蓝眼人，——至少有A3嘛。但是那个三阶的知识，“A1知道A2知道A3知道岛上有蓝眼人”，原来A1是否知道呢？他不知道，因为如果A1不是蓝眼，只有A2和A3两个蓝眼人，A2就不知道A3是否知道岛上有蓝眼人了。用《三体》的语言说，大家的思维方式构成了一条“猜疑链”。游客的话，给A1带来了这个三阶的知识。这个三阶知识会产生什么后果呢？后果就是A1等待两天，看A2和A3会不会自杀。如果两天之后，没有人自杀，那么A1就能推导出，A2和A3是在等他，猜疑链得到了结论。《阿Q正传》里说得好：同去同去，于是一同去！于是在第三天，三人一起自杀。
按照这样的逻辑线路，一路推理下来，你就可以明白，在有n个蓝眼人的情况下，游客带来的新信息就是那个n阶的知识：A1知道A2知道A3知道……An知道“岛上有蓝眼人”。
理解这种表述，当然比理解我最初说的“每过一天计数器加1”的推理要难不少，而且这种n阶知识的表述冗长得要命。但最重要的是，我们确实可以给出一个明确的新信息，因此确认了第二个答案（即n天之后n个蓝眼人都自杀）的正确，也解释了第一个答案（即没有任何事发生）为什么不正确！
更进一步来思考，游客的话为什么能带来新信息呢？因为他做的是一个公布，是一个广播。即使他公布的内容是大家早已知道的，但公布这个动作本身就会造成一个重要的区别，就是现在所有人不但知道了公布的内容，而且知道所有人都知道，还知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至于无穷。而在公布之前，大家只知道那个内容本身，不知道别人的知道。
由此可以引出一个重要的哲学辨析。陶哲轩对蓝眼睛岛问题的标准回答是，参见维基百科的“共识”词条（Commonknowledge (logic)，https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge_%28logic%29）。这个词条告诉我们，如果一件事是所有人都知道的，那么这件事称为mutualknowledge。而如果一件事不但是所有人都知道，而且所有人都知道所有人都知道，所有人都知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至于无穷，那么这件事称为common knowledge。
这两个术语怎么翻译呢？有人把mutual knowledge称为一般性共识，把common knowledge称为更深入的共识。也人把mutual knowledge称为共识，把common knowledge称为常识。我的感觉是，mutual knowledge和common knowledge这两个名字从一开始就起得不是很好，因为英文里mutual和common都是“共同”的意思，读者很难看出区别，甚至都很难看出这两者哪个强哪个弱。为了表达这两个术语的内涵，我建议把mutual knowledge称为弱共识或者沉默共识，把common knowledge称为强共识或者公开共识。用这样的名称，应该就一目了然了，有助于读者理解。
在游客发言之前，“岛上有蓝眼人”是一个弱共识，或者说沉默共识，但不是一个强共识，或者说公开共识。在游客发言之后，“岛上有蓝眼人”被提升成了一个强共识，或者说公开共识。强共识包含了比弱共识更多的信息，所以当然可以导致更多的后果。
理解清楚这个理论框架，我们就可以轻松解决一些常见的疑难了。
提问：岛上的眼睛颜色是两种还是更多种，重要吗？
回答是：不重要，因为在这里重要的只是两个选项：蓝色，或者不是蓝色。实际上，xkcd的表述就特意强调了这一点，他说岛上有蓝色的、棕色的，宗教领袖是绿色的，而每个人还可以怀疑自己是红色的。因此，在陶哲轩给出的问题版本中，有人说在第101天，剩下的900名棕眼人也自杀了，因为他们知道了自己是棕眼，这一点其实是无关紧要的。如果题目里明确了，岛民知道岛上只有两种眼睛颜色，那么这种情况会发生。而如果岛民不知道岛上有多少种眼睛颜色，那么就不会发生。
提问：为什么在游客来之前，岛上没有人自杀？
回答是：因为那时大家只有弱共识，没有强共识。在这个问题的条件下，弱共识是不会产生后果的。因为在只有一个蓝眼人的最简单情况下，他没有任何线索判断自己的眼睛颜色。因此在蓝眼人多于一个的情况下，人们也无法开始递归的推理。换句话说就是，没有计时开始的日期。
提问：游客能不能通过改变说话的内容，消除伤亡？比如说，游客说的不是“岛上有蓝眼人”，而是“你们每个人都能看到蓝眼人，所以你们每个人都知道岛上有蓝眼人”，或者“你们每个人都能看到至少三个蓝眼人，所以你们每个人都知道岛上有蓝眼人”，或者诸如此类看起来滴水不漏的话，那么会不会使得这句话的信息量降为0，从而无人自杀呢？
回答是：不能，因为真正重要的不是游客说的内容，而是公布这个动作。事实上，你可以推理出来，如果游客说“你们每个人都能看到至少三个蓝眼人”，就会使所有蓝眼人自杀的时间提前三天。我们把这个推理留给读者，作为练习（慈祥的微笑.jpg）。重要的结论是，游客一旦开口谈论了岛上的某种眼睛颜色，就必然会造成伤亡，他不可能通过改变谈论的方式来消除伤亡。
提问：如果没有游客光临，而岛民之间交流过，比如A1跟大家说“你们每个人都能看到蓝眼人，所以你们每个人都知道岛上有蓝眼人”，那么会怎么样呢？
回答是：这跟游客发言的效果是一样的，一旦公布就把弱共识变成了强共识，因此还是会死一片。由此我们可以理解，题目里面为什么强调，岛民平时不许谈论眼睛颜色的话题。
提问：如果没有游客光临，而一些岛民之间做过私下交流，比如A1跟A2互相说“你能看到蓝眼人，所以你知道岛上有蓝眼人”，那么会怎么样呢？
回答是：如果是私下交流，那么就没有把弱共识变成强共识，递归推理仍然没有起点，所以不会有后果。最有趣的是，即使有很多组人进行了私下交流，比如说A1和A2、A1和A3、A1和A4……一直到A1和A100都聊过了，A1跟所有其他人都单独聊了一圈，他掌握了其他所有人的情报，这个私下交流的网络已经覆盖了整个集体，但是由于这样的交流没有把弱共识变成强共识，所以仍然不会造成后果。我们把这个推理留给读者，作为练习（慈祥的微笑.jpg）。
慈祥的微笑
提问：如果题目中没有自杀只能在每天中午或者渡轮只在每天晚上来这样的设定，变成自杀或离开这样的事件可以在任何时间发生，那么会怎么样？
回答是：这样就会导致所有人都互相看着，谁也无法得到任何结论。因为这里没有一个时间的步长了，把离散的测量变成了连续的测量。在量子力学中有一个有趣的效应，叫做“量子芝诺效应”，说的就是这种现象：如果对处于某个状态的体系不断地进行测量，就会导致这个体系停在最初的状态上。量子芝诺效应经常被比喻为“盯着的水壶总是烧不开”，大家可以去了解一下。
以上，我们考虑了蓝眼睛岛问题的几种变体。实际上，我们可以说，这个问题还有两个官方变体。这话的意思是，陶哲轩在他的博客上提出了两个附加问题（http://www.math.ucla.edu/~tao/blue_variant.html）：
一，如果游客在发言后的第二天意识到了自己的错误，他有没有办法减少伤亡？
二，如果游客意识到错误不是在发言后的第二天，而是又过了几天以后，他有没有办法减少伤亡？
这两个附加问题，又非常有意思了。如果你以前没有见过这两个问题，请先仔细思考一番，然后再往下看。
我和陈经讨论以后，给出的答案是：
游客可以在第二天指着某个蓝眼人说：“他就是蓝眼！”这样一来，此人就会死掉，而其他人的推理链条会中断，因此其他人就不会死了。我们把这个推理留给读者，作为练习（慈祥的微笑.jpg）。
慈祥的微笑
这个补救的办法可以看作是牺牲了一个人，拯救了一群人。当然，选择牺牲谁是一个道德困境，不过这也是没有办法的事。
而如果游客是在m天以后（m > 1）才意识到错误，这时只指出一个蓝眼人就不够用了。即使死掉一个，其他人最终还是会推理出自己是蓝眼人。所以这时的补救办法是，指出m个蓝眼人，这样他人的推理链条才会中断。我们把这个推理留给读者，作为练习（慈祥的微笑.jpg）。
慈祥的微笑
除此之外，陈经又考虑了一种有趣的可能性：游客可以把一个或一些蓝眼人带走，其他人不知道这些人后来怎么样了，推理链条就会中断。我们把这个推理留给读者，作为练习（慈祥的微笑.jpg）。
慈祥的微笑
这里要注意，游客带走的必须是蓝眼人，如果是其他颜色的就没用。由此得到一个有趣的要点：被带走的人千万不能知道自己为什么会被游客挑出来带走，如果知道的话，他们就明白自己是蓝眼了，还是要死。所以，游客必须要假装仍然不知道岛上的规矩，忽悠一个或一些蓝眼岛民跟他走。怎么忽悠呢？比如说，请岛民跟他去游览外面的世界，完全不提眼睛颜色。总之，游客不能说出他的计划，必须默默地做事。这真令人想起了——《三体》中的面壁者！
继续思考下去，如果游客的计划成功了，第二天就带着一个蓝眼人A1走了，那么事情会变得很有趣。你可以论证出来，所有人都不会死，因为隔断了A1和其他岛民的联系。但是，既然是旅游，不就总该有回来的一天吗？假如过了三年，这位老兄A1回到了岛上，会怎么样呢？
留在岛上的人，当然知道去旅游的人是不会自杀的，所以他们看到A1回来了，丝毫不会意外。但A1看到岛上没人自杀，却会感到意外。他立刻就推理出，正是自己的离开使得这些人没死，所以自己必然是蓝眼。因此，A1仍然会自杀。其他人一看，A1死了，没法继续推理了，于是都继续活着。这一串故事令人想到量子力学中的一个实验，叫做“延迟选择”，大家可以去了解一下。
因此，游客这一圈操作的结果就是，被带走的这位A1多活了三年，但最终还是挂了，拯救了其他人。实际上，游客在挑选出某个蓝眼人A1的时候，无论是直接指认他，还是忽悠带走，最终结果都是一样的，就是A1跟其他人一交流就死定了。
以上，我们讨论完了蓝眼睛岛这个问题本身。下面，我们来考虑一下，其中的道理在生活中有什么应用。
强弱共识之间的区别，有一个笑话反映得很生动。有一个人得了妄想症，总是幻想自己是一条虫子，生怕鸡来把自己吃掉。医生费了九牛二虎之力，终于说服他相信自己不是虫子了。医生问他：现在你知道自己不是虫子了吧？此人回答：我知道我不是虫子了，但我不知道鸡知不知道！
在文学作品中，强弱共识最经典的例子，就是安徒生的童话《皇帝的新装》。皇帝没穿衣服这一点，本来是个沉默共识或者说弱共识。当那个勇敢的小孩说出来之后，就变成了公开共识或者说强共识。
皇帝的新装
事实上，陶哲轩曾经引用《皇帝的新装》和蓝眼睛岛问题，在2016年6月，美国大选期间，写过一篇博文（https://terrytao.wordpress.com/2016/06/04/it-ought-to-be-common-knowledge-that-donald-trump-is-not-fit-for-the-presidency-of-the-united-states-of-america/）。他说，特朗普不适合当总统是一个弱共识，应该有人把它说出来，变成一个强共识。这真是一篇很有趣的文章，不过令人遗憾的是，特朗普还是当上了美国总统，给世界制造了很多混乱和笑料。
川普式英语
我的科大师兄朱松纯是著名的人工智能专家、UCLA的统计学和计算机科学教授，他跟陶哲轩是同一个学校的同事。朱松纯写过一篇很长的演讲稿，叫做《浅谈人工智能：现状、任务、构架与统一》。标题叫“浅谈”，内容却是我见过的对人工智能最深刻的分析。
朱松纯
其中有一部分，是他对语言通讯提出的一个认知模型。朱松纯说：“两个人之间至少要表达五个脑袋minds：我知道的东西、你知道的东西、我知道你知道的东西、你知道我知道的东西、我们共同知道的东西。”你看，强弱共识就是这里的一个基础。
语言通讯认知模型
朱松纯的这篇演讲，大家可以在2018年8月7日的风云之声看到（浅谈人工智能：现状、任务、构架与统一 | 朱松纯），强烈推荐大家去阅读。虽然此文很长很硬，但你如果啃下来了，一定会大有收获的。
还有一个称得上强弱共识例子的，是芯片业中的摩尔定律。大多数人都知道，这条定律是英特尔的创始人之一戈登·摩尔（Gordon Moore）提出来的，说的是芯片的性能大约每过一到两年翻一番。但这是一条什么性质的定律呢？许多人就不太清楚了。
实际上，摩尔定律可以理解为英特尔公司技术发展意志的体现（参见余鹏鲲《英特尔走过的50年，中国高科技企业能借鉴什么》，https://www.guancha.cn/yupengkun/2018_08_09_467457_s.shtml）。总结出摩尔定律这个规律可能并不复杂，而把这个规律说出来作为路线图却尤为不易。
摩尔定律和戈登·摩尔
高科技创新作为一种市场行为，具有高风险、高投入、长周期的特点，因此很多企业对待行业科技变化的态度都是咬牙勉强跟随甚至能省就省。比如世界上大多数运动鞋品牌的生产线都是4-5年更换一次，却很少有运动鞋品牌宣传说自己的生产线保证4年就更新一次，搞出个“耐克定律”之类。又如世界上的药企平均大约每12-15年研发一种比较成功的新药，却没有哪一家药企提出个12年研发一款特效药的所谓“拜尔定律”。
企业这种对研发风险的抗拒和厌恶是天然的，不分国内国外的。当然借口可能是多种多样的，浅显的有“我们售后好”或者说“我们的优势是服务”，深奥的可以说“消费者买的是我们的文化”、“走贸工技路线”或者号称“引进吸收再创新”。相比之下，英特尔敢于直面技术竞争的勇气就显得非常可贵！
摩尔定律从弱共识变成了强共识之后，整个芯片业的产业链就以此作为明确的目标，相关行业的主流企业群体，都按照这个路线图来规划，互相配合。这种事如果在中国，就应该是发改委安排的。业界的紧密合作，创造了芯片业几十年的辉煌。在这个意义上，摩尔定律就好比五年计划，是一个强共识的典型代表。
最后，还有什么事情是强共识呢？
通过一个概念框架，我们能够把这么多包罗万象的事物联系起来，这就是数学的威力。“数学是有趣的”，这一点应该成为强共识！让我们一起说出来：
数学，是有趣的！
欢呼雀跃
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作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
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