理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰

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导读

2018年9月，整个数学界以至整个科学界最轰动的一件大事，就是有一件前辈数学家宣称自己证明了黎曼猜想，引起了全世界媒体的密集关注。大多数人看到这个新闻，首先想问的想必都是：

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

今天，我们就来讲黎曼猜想。

2018年9月，整个数学界以至整个科学界最轰动的一件大事，就是有一件德高望重的前辈数学家宣称自己证明了黎曼猜想（Riemann hypothesis），引起了全世界媒体的密集关注。这位前辈数学家叫做阿蒂亚（Michael Francis Atiyah），我们以后再来介绍他。大多数人看到这个新闻，首先想问的想必都是：

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

其实这个问题也是我想问的。以前我只听说过黎曼猜想是数学中最重要的未解之谜之一，但对于它具体是什么内容，以及它为什么很重要，我就一片茫然了。

于是借这个机会，我就好好学习了一下我能找到的关于黎曼猜想的资料。一学不得了，我发现这里面的水真的很深很深，关于黎曼猜想的有趣的事实在太多了。无论如何，看了一堆资料之后，在我理解的范围之内，我大致可以理出一个头绪了。今天，我们就来讲黎曼猜想。

在开始之前，有两个重要的心理建设，首先要做一下。

一提到数学，立刻就有许多读者表示恐惧。有一句名言说：每出现一个数学公式，都会吓跑一半的读者。但是我一直想强调的一点是，这种玩笑在很大程度上是自己吓唬自己。我们不应该渲染数学多么恐怖，而应该多讲讲数学多么有趣。

数学是所有科学的一个缩影。我的努力方向之一就是让普通人克服对科学的畏难情绪，懂得欣赏科学的美妙。

有一个词叫做“跳蚤效应”，说的是给跳蚤加个盖子，让它只能跳到某个高度，在拿掉盖子以后，跳蚤也不会跳得超过原来盖子的高度，因为它认为自己只能跳到这么高了。许多人也是如此，不敢去追求梦想，因为他们心里就默认了自己做不到。如果你认为自己肯定做不到，那么你当然就真的做不到了。但如果你勇敢地去做，你就会发现许多事都是可以做到的，你取得的进步会超出自己的预期。学习科学就是如此！

因此我们的第一个心理建设是：勇敢地去面对数学问题，打破跳蚤效应！

再来看第二个心理建设。我们在前面讲过三次“蓝眼睛岛问题”，许多同学们被理性的蓝眼睛岛民绕得晕头转向。即使在我已经条分缕析讲得清清楚楚之后，还有不少同学陷在各种错误里面。其实跟黎曼猜想这种真正的难题相比，你就会发现，蓝眼睛岛问题纯属小儿科的，好像新手村送经验的小怪跟终极大boss的对比。

蓝眼睛

所以，我们对黎曼猜想不讲则已，要讲就要好好讲，让同学们搞明白这个问题的来龙去脉。同学们也应该打点起十二分精神，认真地听讲，深入地思考，还应该自己拿起纸笔做演算，——如果你真的想了解这个重大问题的话。

2018年9月10日教师节的时候，我在风云之声发了一篇文章从蓝眼睛问题，看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰。里面说到：

“我在评论区看到了很多长篇大论的谬论，把各种有可能犯的错误都犯了个遍。我不禁想问了：你们与其费这么大劲写这么多漏洞百出的东西，为什么不先好好看看视频？难道你们没发现，你们的问题老师在课堂上早就回答过了吗？

由此可见，许多人的问题是：阅读理解能力太差！这是个非常基本的缺陷，是最基础的学习能力、沟通能力的问题。有这种缺陷的同学们请注意了，如果不先改进阅读理解能力，那么你很难跟别人进行有效的交流。你即使很努力地想学习什么、思考什么，也很容易变成事倍功半，把自己和别人都累得半死，结果还是错误百出。”

然后我指出了蓝眼睛岛问题的十个层次，告诉了大家每一个层次应该怎么思考，常见的那些错误为什么是错误。在这篇文章的评论区里，我看到有一位读者终于开悟了：

“恍然大悟……之前看袁老师都是边吃瓜边看。没有去认真思考。果然看书还是比看视频有效率……”

我也在评论区回复了他：

“蓝眼睛岛这种高强度的问题，不集中注意力是无法理解的。以后要吆喝一声：把瓜放下！”

同样的提醒，也要放到黎曼猜想这里来。如果你真的想了解黎曼猜想，就把瓜放下！这就是第二个心理建设。

各位同学们，打破跳蚤效应，把瓜放下，我们出发了！

黎曼猜想的内容很多，如果我们只讲一期，那么大致就只能像你看到的那些新闻报道一样，浮光掠影地讲几个结论，然后你还是不知所云。所以我们打算分几期来讲。今天这第一期，要讲的是黎曼猜想的背景。

黎曼猜想的背景是什么？一言以蔽之，是质数（prime number）的分布。你可能已经在许多媒体上看到这个说法了，但这句话实际是什么意思，大多数人很可能还是茫然不知所措。听完这一期，我想你就会对这句话获得一个相当深入的理解了。

首先，什么叫做质数？

学过小学数学的同学们都知道，质数就是那些只能被1和自己整除的自然数，也叫做素数。不但能被1和自己整除，还能被更多的自然数整除的自然数，叫做合数（composite number）。

根据定义，1既不是质数也不是合数。从1往后看，2是质数，3是质数，4是合数，因为4 = 2 ×2，5是质数，6是合数，因为6 = 2 × 3，7是质数，8是合数，因为8 = 2 × 2 × 2，9是合数，因为9 = 3 × 3，如此等等。

然后，我们对质数的认识有一个明显的缺陷，就是我们还不知道质数的分布规律。也就是说，我们没有一个有用的质数通项公式。

这话是什么意思呢？跟其他的数的种类对照一下就知道了。我们来问，第n个偶数是什么？回答很明显，就是2n。我们再来问，第n个奇数是什么？回答也很明显，就是2n - 1。我们还可以问，第n个平方数是什么？回答也很明显，就是n的平方。

那么，第n个质数是什么？回答就一点都不明显了，实际上到现在都没有快速的算法。这样一说，你立刻就可以明白，人类对质数的了解还非常有限，远远低于对偶数、奇数或者平方数的了解。

假如我们对质数有了一个通项公式，那么可想而知，立刻会造成许多惊人的后果，极大地推动数学和许多相关应用的进步。

例如许多人都知道哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture），它说的是：任何一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数之和。例如4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，56= 3 + 53，100 = 3 + 97等等。中国数学家陈景润对哥德巴赫猜想有巨大的贡献，但仍然没有彻底解决这个问题。假如我们有质数的通项公式，那么也许我们很快就能对任何一个偶数写出它如何分解为两个质数之和，只要做一些简单的代数计算就行了。

陈景润

又如另一个广为人知而迄今没有解决的数学难题，叫做孪生质数猜想（twin prime conjecture）。相差为2的一对质数叫做孪生质数，例如3和5、5和7、11和13、137和139等等。孪生质数猜想说的就是：存在无限多对孪生质数。中国数学家张益唐对孪生质数猜想有巨大的贡献，但仍然没有彻底解决这个问题。假如我们有质数的通项公式，那么也许我们很快就能确定哪些质数跟它的下一个质数只相差2，只要做一些简单的代数计算就行了。

张益唐

现在你看出来了吧，许多关于质数的经典难题都是由于我们对质数的分布了解得太少。假如我们对质数有了一个通项公式，世界将会变得多么美好！黎曼猜想，就是通向这个宏大目标的重要一步。

搞清楚了这个背景，我们就可以来考察下一个问题了：如何研究质数的分布？

嘿嘿，从这里开始，难度就陡然上升了。如果说前面的内容你轻轻松松就能听懂的话，那么这里你就必须写一些公式，做一些演算，才能理解妙处所在。所以让我们再次吆喝一声：把瓜放下！

研究质数分布的基本工具，是伟大的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）提出来的，叫做欧拉乘积公式：

欧拉

1+ 1/2^s + 1/3^s + … + 1/n^s+ … = [1/(1- 1/2^s)] × [1/(1- 1/3^s)]× [1/(1- 1/5^s)] × … × [1/(1- 1/p^s)]× …

这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式中的s是一个变量。我们可以证明，对于任何一个大于1的实数s，欧拉乘积公式都成立。这个证明，我们待会来讲。

为了节约篇幅，数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。此外，学过初中数学的同学们都知道指数为负的乘方是什么意思，a的-b次方就等于a的b次方的倒数，即1除以a的b次方。因此，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：

Σ_nn^-s = Π_p (1- p^-s)^-1。

如果你对这个简写的形式感到晕头转向，没关系，回到上面的扩展形式就能看明白了。

欧拉乘积公式为什么是正确的？为什么左边的一个对自然数的求和可以变成右边的一个对质数的乘积？现在我们就来证明它。

为了简化表达，让我们把n^-s记作f(n)。那么左边就是Σ_n f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + … +f(n) + …，让我们把它记作A。右边就是Π_p[1- f(p)]^-1，让我们把它记作B。我们要证明的，就是A = B。

我们可以注意到，对于任意两个自然数m和n，f(m)跟f(n)的乘积就等于f(mn)，因为两个数的同一指数的乘方之积等于这两个数先乘积再乘方，f(m) f(n) = m^-s n^-s = (mn)^-s =f(mn)。

利用这个性质，我们来问，把f(2)乘到左边这个无穷级数A = Σ_n f(n)上面，会得到什么？显然，f(2)乘以第一项f(1)得到f(2)，乘以第二项f(2)得到f(4)，乘以第三项f(3)得到f(6)，如此等等，最后得到的就是：

f(2)A = f(2) + f(4) + f(6) + f(8) … + f(2n) + … = Σ_n f(2n)。

在这个级数中，出现了所有的2n，也就是所有的以2作为质因数的合数。那么我们再来问，从A当中减去f(2) A，又会得到什么？答案明显是：

A[1 - f(2)] = f(1) + f(3) + f(5) + f(7) + … + f(2n -1) +…

就是在所有的f(n)之和中，去掉了那些包含质因数2的合数的项。

现在我们再来问，对A [1 - f(2)]乘以[1 - f(3)]，又会得到什么？根据同样的推理，你很快会发现，答案就是在上面的基础上，再去掉所有那些包含质因数3的合数的项。也就是说：

A[1 - f(2)] [1 - f(3)] = f(1) + f(5) + f(7) + f(11) + …

也许你会问，有一些合数的质因数中既包括2，也包括3，例如6 = 2 × 3，它们对应的项会怎么样？回答是：这些项在第一步操作，即乘以[1 - f(2)]时就已经消去了。在第二步操作，也就是乘以[1 - f(3)]的时候，是把第一步中剩下的那些质因数不包括2、但包括3的项消掉，例如f(3)和f(9)。总而言之，一个质因数包括3的合数必然会被消灭掉，可能在第一步，也可能在第二步。在哪一步消失不重要，真正重要的是没有漏网之鱼，因为最后一步是兜底的通杀。

再下一步，我们再来问，对A [1 - f(2)] [1 - f(3)]再乘以[1 - f(5)]，又会得到什么？根据同样的推理，答案就是在上面的基础上，再去掉所有那些包含质因数5的合数的项。也就是说：

A[1 - f(2)] [1 - f(3)] [1 - f(5)] = f(1) + f(7) + f(11) + f(13) + …

我们把这种操作继续下去，对于越来越大的质数p，一再地把[1 - f(p)]乘到左边。那么右边剩下的项就越来越少，会依次地消失掉质因数7的项、质因数11的项、质因数13的项等等。

最后，当我们把这个操作进行无限多次，把所有的质因数包含某个质数的项都消掉，右边会剩下什么？

回答是只能剩下一项，就是f(1)！

为什么呢？因为任何一个大于1的自然数，都或者是一个质数，或者可以表示成若干个质数的乘积，而且这种质因数分解是唯一的。这个命题有个超级高大上的名称，叫做算术基本定理（fundamental theorem of arithmetic）。当然，即使是对于小学高年级学生来说，算术基本定理的内容都是常识了。

因此，任何一个大于1的自然数对应的项f(n)，都会在我们不断地把[1 - f(p)]乘到左边的某一次操作中消失。最后屹立不倒的就只剩下一项，f(1)，因为任何一个质数都大于1，所以不能把f(1)消掉。让我们回顾一下，1既不是质数也不是合数！

现在请问，f(1)等于多少？看定义，f(n) = n^-s，而1的任意指数的乘方都等于1，所以无论s取什么值，f(1)就等于1。

于是我们得到了一个惊人的结果：

AΠ_p [1- f(p)] = f(1) = 1。

把左边的这个连乘移到右边去，就变成了A等于它的倒数Π_p [1- f(p)]^-1。这个表达式是什么？正是我们前面简写的B。

因此，我们确实证明了A = B，也就是欧拉乘积公式：

Σ_nn^-s = Π_p (1- p^-s)^-1。

同学们是不是很开心啊？

欢呼雀跃

欧拉乘积公式的重要性在于，对于全体质数的某种运算可以转移成对于全体自然数的某种运算。这样一来，通过研究左边那个对于自然数的求和Σ_n n^-s，我们就有可能对质数获得深刻的认识。由于这个求和非常重要，所以它获得了一个专门的名称：黎曼ζ函数（ζ是一个希腊字母，发音zeta）。

咦，这个函数明明是欧拉提出来的，怎么叫做黎曼ζ函数了？这就涉及到黎曼对这个函数所做的工作了，我们下回分解。

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作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。

责任编辑：孙远

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