理解黎曼猜想（三）你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗？ | 袁岚峰
全体自然数的和等于-1/12，你八成听说过这个说法，对不对？！实际上，这句话是解析延拓的意思，而绝不是字面的意思。只有一些一瓶子不满半瓶子晃荡的伪科普，喜欢在这里咋咋呼呼，制造大新闻，吓唬那些听风就是雨的naïve的听众。报道出了偏差，你们也有责任的好吧！
在前两期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰和理解黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？ | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488和https://www.bilibili.com/video/av35082418）中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。到目前为止，我们讲的都是欧拉的工作，正主黎曼还没出来呢！
那么黎曼究竟做了些什么呢？黎曼做了很多事情，他的基本目标就是对质数的分布获得一个明确的表达式。在这个过程中他做出了一个著名的猜想，就是黎曼猜想。与此同时，他的推导过程有一个副产品也变得非常著名，在普通公众中的名气甚至比黎曼猜想还要大得多。这个副产品是什么呢？就是下面这个式子：
全体自然数的和等于-1/12，你八成听说过这个说法，对不对？！
实际上，我的不少朋友不但是听说过这个说法，而且是真的相信了，真的是按照字面上理解这个说法。这样一来，就造成了严重的矛盾：自然数依次相加，不是应该越来越大，超过任何限制吗？怎么可能得到一个有限的值？更不可思议的是，怎么还能得到一个负值？正数加正数只可能得到正数，怎么会变成负数？
按照这样想下去，就越想越可怕了。难道常识都是靠不住的？难道数学是一门违反常识的学科？难道数学家是一群阴谋家，他们向大众隐瞒了许多可怕的秘密？……
更加令公众恐慌的的是，还有不少所谓的科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法就像这样：
“这个计算是数学中隐藏得最好的秘密之一，数学家之外没人知道这件事。”
“这是一个惊悚的结果。”
“这确实有悖常识，因为你内心总想让这个序列停下来，而一旦序列停止，你就再也没法理解这个结果。”
“在数轴的无穷远处，蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。”……
于是乎，我的不少朋友就来忧心忡忡地问我。用他们的话说，简直是世界观都要崩溃了！
好吧，我们就借这个机会，向大家讲清楚这个所谓“全体自然数的和等于-1/12”是怎么回事。还有许多跟它类似的说法，例如所谓“无穷多个1加起来等于-1/2”，“全体自然数的平方和等于0”，都是同样的道理，我们顺便可以一网打尽。
首先，来告诉大家基本的答案：你的常识是正确的，这些说法都是错误的，数学并没有推翻常识。数学家也不是阴谋家，数学家没有向你隐瞒任何东西。你完全不需要害怕，完全可以保全你的世界观和安全感。
然后，这些说法虽然是错误的，但也并不是毫无意义的胡说八道。只要改造一下，它们都可以变成有意义的。正如那句俗话所说：我觉得我还可以再抢救一下！
我觉得我可以再抢救一下
抢救什么呢？就是抢救这些说法中的“和”的定义。也就是说，如果按照最基本的加和方法，1加2等于3，3加4等于7等等，那么这些说法都是胡扯。但如果定义一些其他的加和方法，那么这些说法可以变成正确的。
下面，我们就来讲黎曼是在什么意义上，算出了全体自然数的和等于-1/12。
在前两期中，我们已经讲过，研究质数分布的基本出发点是欧拉乘积公式：
这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量，当且仅当s > 1的时候，欧拉乘积公式成立。
数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：
让我们把欧拉乘积公式左边的这个无穷级数记为ζ(s)（ζ是一个希腊字母，发音zeta）。我们再次强调一下，欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立，在s ≤ 1的时候是不成立的。为什么呢？原因我们在上一期节目中解释了，ζ(1)，也就是全体自然数的倒数和，等于无穷大。全体自然数的倒数和又被称作调和级数（harmonic series），它等于无穷大，换句话说就是，调和级数是发散的。而当s < 1的时候，n的-s次方会变得更大，ζ(s)会变得更大，当然就更是发散的了。因此，欧拉乘积公式只能在s > 1的范围内使用。
按照欧拉的路线走下去，到这里基本就结束了，翻不出什么大浪了。让我们欢送大神欧拉~
欧拉
山重水复疑无路，柳暗花明又一村，我们新一代的大神黎曼出场了！
黎曼
黎曼一出来，就指出了几个要点：
一，我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数（complex number），而不只是实数；
二，我们可以通过解析延拓（analytic continuation），让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义；
三，通过对ζ(s)的研究，我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置；
四，黎曼猜测，ζ(s)的零点都位于某些地方，这个猜测就是黎曼猜想。
也许你对这四条不能完全听懂，甚至是完全听不懂。没关系，如果你一上来就完全听懂了，那只有一种可能，就是你本来就知道黎曼猜想是什么，那么你也就没有必要听我在这里讲了。如果你对黎曼猜想不甚了然，那么我可以告诉你，以上就是黎曼提出这个猜想的基本脉络。至于这四条具体的意思，我们可以循序渐进地讲述。
更有意思的是，考虑到读者之间数学水平的巨大差异，我会提供若干种不同分辨率层次的描述，先讲简略的，再讲精细的。就像对前面讲过的蓝眼睛岛问题从蓝眼睛问题，看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰，我分成了十个层次来解读。如果你缺乏基础，那么你只看那些简略的描述就够了。这至少足以让你获得一个正确的大图景，不会再被那些危言耸听的伪科普咋呼得世界观崩溃。而如果你的数学基础不错，而且你很有好奇心，那么欢迎继续去看精细的描述，这会让你获得更多数学的快乐。
当前我们的目的，是理解所谓“全体自然数的和等于-1/12”。这里的关键在于黎曼的第二条，也就是通过解析延拓，可以让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义。也就是说，
这就是我们在上一期中说过的，欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数。
假如仍然用s > 1时的定义，那么ζ(-1)就是全体自然数的和，因为这时n的-s次方就是n的1次方，也就是n。但实际上，ζ(-1)已经不是这么定义的了，它换了一个定义，在新的定义下，它等于-1/12。所谓“全体自然数的和等于-1/12”，如果要有意义的话，就是这个意思，它说的其实是黎曼的ζ(-1) = -1/12。
如果你问：就其本身而言，全体自然数的和等于多少？答案当然是无穷大了！所以这里没有任何矛盾或者阴谋，数学家从来没有欺骗过你。
有人说，物理学家经常会用到“全体自然数的和等于-1/12”。没错，物理学家确实会在量子场论、超弦理论等地方用到这个命题，但在用的时候他们当然知道这话是什么意思，是解析延拓的意思，而绝不是字面的意思。只有一些一瓶子不满半瓶子晃荡的伪科普，喜欢在这里咋咋呼呼，制造大新闻，吓唬那些听风就是雨的naïve的听众。报道出了偏差，你们也有责任的好吧！
如果你不打算探究更多有趣的细节，那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点，你就会问了：解析延拓是什么意思？
作为一个最简略、最直观的理解，解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得它在一些原本没有定义的地方也有了定义，而在原本有定义的地方跟原来一样。
具体怎么做呢？举一个最平凡、最没有技术含量的例子，你在-1 < x < 1的区间里定义了一个函数y = x。它的函数图像是一条线段，从(-1, -1)连到(1, 1)。任何人一看这个图像，都会感到它意犹未尽。显然，你可以把这条线段向两边延伸，而且可以延伸得任意远。这样一来，你就把这个函数的定义域从(-1, 1)这个区间扩展到了整个数轴。这就是一个最简单的解析延拓。
如果你不打算探究更多有趣的细节，那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点，你可能就会问了：一条线段向外延伸，并不见得一定要按照直线来延伸，也可以延伸成折线、或者圆、或者椭圆、或者抛物线、或者双曲线、或者任何其他的曲线，这些也都是解析延拓吗？
回答是：不是！请注意在“延拓”前面的那两个字，“解析”。什么叫做解析呢？在直觉层面，可以认为就是延续原始函数的自然趋势，自然地过渡到新的区域。从直觉就能理解，如果你不是把一条线段扩展到它的延长线，而是扩展到其他的任何曲线，这样的扩展方法都很生硬，没有延续那条线段的自然趋势，因此这些都不是解析延拓。
实际上，解析延拓的一个惊人的要点就是：一个函数的解析延拓是唯一的！也就是说，在一个比较小的定义域内给定一个函数，那么在它解析延拓之后，在更大的定义域里的任何一点都只可能有一个取值，这个取值完全由这个函数在原始定义域里的表现决定。比如说我们上面那个例子，这条线段解析延拓之后，在x = 3的地方必然得到y = 3，而不可能得到2或者4或者任何其他的值。
如果你不打算探究更多有趣的细节，那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点，你可能又会问了：对于不像y = x这么简单的函数，如何进行解析延拓？
回答是：解析延拓的一般方法，是通过幂级数（power series）来进行的。
什么叫做幂级数？就是幂次越来越高的多项式相加形式的级数，即
假如一个函数y = f(x)在某个点x0附近等于一个幂级数，那么我们就说这个函数在这一点是解析（analytic）的。这其实就是“解析”这个词的严格定义。
对于前面那个最简单的例子，y = x这个表达式本身就是一个幂级数，其中的x0 = 0，也就是说它在原点附近等于一个幂级数，其中只有一次项的系数等于1，其他项的系数都等于0。而在原点之外的某个x0附近，你可以把它写成y = x0 +(x-x0)，这仍然是一个幂级数，一次项的系数仍然是1，二次及更高次项的系数仍然是0，只是零次项也就是常数项从0变成了x0。所以在x0附近，这个函数也是解析的。
对于一个幂级数，一个很重要的性质是它的收敛半径（radius of convergence）。也就是说，一个幂级数并不见得总是收敛的，或者说总是能算出一个有限值。如果离中心点x0太远，幂级数就可能变成无穷大，也就是说发散了。对于y = x，它的收敛半径是无穷大，也就是说在任何地方都收敛，这当然是最简单的情况。让我们来看一个稍微复杂一点的情况，一个由等比数列组成的幂级数：
请问，这个等比级数等于什么？
学过等比数列求和的同学，立刻就知道它的前k项加起来等于
现在我们要求的不是前k项的和，而是无穷多项的和。如果x的绝对值小于1，也就是说-1 < x < 1，那么你立刻可以看出当k趋于无穷的时候，x的k次方趋于0，所以这整个求和Sk会趋于1/(1-x)。而如果x的绝对值大于1，也就是说x > 1或者x < -1，那么当k趋于无穷的时候，x的k次方趋于无穷大，所以求和Sk也趋于无穷大。很好，这样我们就知道了原来那个等比级数的收敛半径等于1，在这个收敛半径之内它等于1/(1-x)，而在收敛半径之外它发散，所以这个等比级数的定义域最大只能到(-1, 1)这个区间。
有了这些基础知识的准备之后，这个等比级数的解析延拓就呼之欲出了。在收敛半径之外，我们就定义它等于1/(1-x)。这样一来，我们获得了一个定义域更大的函数，定义域扩大到了除x = 1之外的所有的点，而在原来的定义域(-1, 1)之内跟原来的函数相等。
为什么要除掉x = 1这一点呢？因为x如果等于1，分母1 - x就等于0，整个式子就会变成1/0，没有意义。如果把解析延拓比喻成抢救一个函数，那么“我觉得我还可以再抢救一下”，——确实在其他各处都抢救回来了，只有x = 1这一个点不行！
我觉得我可以再抢救一下
不过对于收敛半径上另外一端的点，即x = -1，我们的抢救确实成功了，在这一点可以算出1/(1-x) = 1/2。在这里我们可以做一件有趣的事，就是把x = -1代回到等比级数里，假装不知道这时函数的定义已经改变了，那么就会在形式上得到：
在这里出现的1之后交错减1和加1的级数，叫做格兰迪级数（Grandi’s series），格兰迪（GuidoGrandi，1671 - 1742）是一位十七世纪和十八世纪的意大利数学家。格兰迪级数在历史上曾经引起热烈的讨论。你觉得，这个级数应该等于什么呀？等于0？还是1？还是1/2？还是别的什么？
格兰迪
实际上，就最基本的意义而言，应该说格兰迪级数不等于任何一个数，因为它的前k项的和交替地取值1和0，并不趋于一个极限。但在若干种推广的意义上，可以说它等于1/2。这里给出的就是一种推广的意义，即等比级数的解析延拓。所谓全体自然数的和等于-1/12，也只是在像这样的推广的意义上才能成立。
如果你不打算探究更多有趣的细节，那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点，你可能又会问了：黎曼是如何对ζ函数进行解析延拓的？他为什么对ζ(-1)得出了-1/12这个结果？
很好的问题！鉴于许多同学们需要时间来消化这堂课的内容，黎曼的具体做法，我们放到下次来讲。
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致谢：感谢著名科普作家、《黎曼猜想漫谈》的作者卢昌海博士、美国新墨西哥大学数学与统计系助理教授黄宏年博士、哆嗒数学网网主以及浙江大学数学博士“贼叉”在科学方面的指教。
作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
责任编辑：孙远
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