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解读中美数学奥赛并列第一,敬请期待对话美国队总教练 | 袁岚峰

袁岚峰 风云之声 2021-01-27

      

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导读

美国队总教练罗博深跟我说的非常有趣的一点,就是个人夺金与国家夺冠之间的关系。如果你只想拿块金牌的话,那么你做五道题就够了。为了集体夺冠,就需要在做完五道题后还去竭尽全力做最难的。今年的中美并列第一,是双方的能力、技巧、斗志旗鼓相当的结果。


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2019年7月20日,第60届国际数学奥林匹克竞赛(International Mathematical Olympiad,简称IMO)的成绩公布了。出现了最富有戏剧性的结果:中国队和美国队并列第一!

                           

2019年国际数学奥林匹克竞赛中国队合影

 

2019年国际数学奥林匹克竞赛美国队合影


上一次出现并列第一,还是在整整20年前的1999年,当时是中国队和俄罗斯队并列第一。再往前,并列第一就只有一次了,是1986年的美国队和苏联队。


这次的冠军对许多中国人堪称一场及时雨,因为中国队上一次得到第一还是在2014年(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=CHN),已经连续四年没拿到第一了。


在2015年至2018年,中国队拿了两次第二、两次第三。其实也都是很好的成绩,但总是差这么一点,难免有些遗憾。当你再注意到,中国队在以前创造过四连冠甚至五连冠的惊人佳绩,你就更会感到连续四年没得第一是个显著的下降了。再加上教育部对所谓“素质教育”的推崇、对奥数培训的打压,近年来,奥数成了中国舆论场上的一个热门话题。因此,这次重返冠军,令大家格外欣慰。


中国队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史(横轴是竞赛的届数。第一届在1959年,此后除1980年外,每年都举办一届,2019年是第60届。黄色:参赛国的数量;黑色:反转的排名,位置越高表示排名越高)


再来看美国队,它也是IMO的一支传统强队,不过拿第一的次数比中国队少得多(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USA)。美国队从1974年参赛以来,包括这次在内总共得过8次冠军。而中国队参赛比美国队晚了11年,从1985年才开始参赛,却得到了20次冠军!因此可以说,中国队在开始参赛之后,就成了IMO的头号主角。


美国队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史


在中国队参赛之前,成绩最好的是苏联队(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USS),他们从1959年开始参赛到1991年国家解体,一共拿了13次第一,其中从1963年到1967年更是创造了五连冠的伟业。甚至在1991年,苏联解体的那一年,他们还拿到了最后一次冠军,令人唏嘘不已。


苏联队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史


在苏联解体后,俄罗斯队也称得上一支强队(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=RUS),不过只拿到了两次冠军,跟中美相比就有显著的差距了。


俄罗斯队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史


有一点值得注意的是,美国队虽然总共只拿过8次冠军,但其中4次就是在最近的5年中拿的。具体而言,从2015年到2019年的5年中,美国队惊人地拿了4次第一,只有2017年是第四。由于这个第四卡在中间,使得美国队的连续夺冠纪录只有两次,连三连冠都还没到。不过无论如何,这五年的美国队就像开挂一样,创造了历史最佳成绩,这是非常了不起的。


更加有趣的是,在这五年的开挂期间,美国队的总教练都是同一个人,就是我的朋友、卡内基梅隆大学数学系的罗博深教授。你猜,我们是因为什么认识的?当然是因为拍科技袁人节目了!


罗博深


我和罗博深的对话是在5月30日做的,视频预计将在7月31日上线,敬请期待。下面,我们先来看看这届竞赛以及IMO整体的一些基本情况。


一个基本的问题是,国家的数学竞赛成绩和数学研究水平之间是什么样的关系呢?


整体而言,两者之间显然存在正相关。例如中国、美国、俄罗斯、德国、韩国、匈牙利在IMO中都拿过冠军,称得上竞赛强国,而这些国家的数学研究水平也都不错。


不过,这个相关程度并不是很强。例如法国英国都是历史悠久的数学强国,出过许多伟大的数学家,但在竞赛中却一次冠军都没拿过,这次的排名分别是25和20。


再仔细看的话,中国在数学竞赛中成绩超群,但在数学研究中就离顶尖很远了。我的一些数学家朋友告诉我,在数学研究中,现在是美国最强,法国、俄罗斯、德国、英国紧随其后,再往下才是中国、巴西、日本、意大利等等。


你也许会感到很诧异:巴西?其实巴西的数学真的不可小觑,他们的数学竞赛每年有1800万学生参加,号称世界最大,而且2014年有一位巴西数学家阿图尔·阿维拉(Artur Avila)获得了菲尔兹奖。中国本土还从来没有数学家得到菲尔兹奖呢!


阿图尔·阿维拉


在大家熟悉的国际顶尖华人数学家中,陈省身没有得菲尔兹奖,得了沃尔夫奖,国际数学联合会专门设立了“陈省身奖”作为国际数学界最高级的终身成就奖。


陈省身


丘成桐是第一个获得菲尔兹奖的华人,不过他是以美国籍得的。


丘成桐


陶哲轩是第二个获得菲尔兹奖的华人,不过他是出生在澳大利亚的华裔。


陶哲轩


张益唐的成果配得上菲尔兹奖,不过他的年龄超过40岁了,不能得这个奖。


张益唐


所以大家要努力哦,你还有机会成为第一个中国本土获得菲尔兹奖的数学家!


以上的这些讨论,可以让我们认识到,数学竞赛是重要的,但远不是最重要的。它可以作为一个引子,引导大家关心数学、热爱数学,就像庄子说的“得鱼忘筌”。明白了这些,就可以以平常心看待竞赛了。


好,下面我们来具体看看这届竞赛的情况。


首先来看一下考题,在IMO的网站可以下载到各种语言的版本(http://www.imo-official.org/problems.aspx)。考试分为两天,每天3道题,做4个半小时,总共6道题。每道题7分,满分42分。


2019年国际数学奥林匹克竞赛第一天题目


2019年国际数学奥林匹克竞赛第二天题目


在这届的考题中,有些似乎连看懂题意都不容易,例如第2题和第6题这两道几何题。也有些看起来似乎很容易理解,例如代数的第1题和数论的第4题。


但无论哪道,找到思路都是很不容易的。即使是表面最亲民的第1题,也很可能在写写画画一大堆之后无法前进。我就是这样,推了不少,但在看网友写的答案之前,还是找不到办法确定函数的形式。差可告慰的是,在看了答案之后,仔细琢磨一下就理解了。


2019年国际数学奥林匹克竞赛第1题网友解答


有兴趣的观众,可以仔细去推演。在这里我解释一句:关键在于看出,这个函数在任意的n、n + 1和n + 2这相邻三点的取值构成一个等差数列,所以这个等差数列的公差即f(n + 1) - f(n)是一个常数,因此这个函数只能是线性函数。一旦想通这一点,后面的推导就都是顺理成章的了。


你看,这道题在本质上不难嘛。对于高手来说,应该算是送分题。事实上,IMO网站给出了每道题的得分分布图(http://www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=2019)。


2019年国际数学奥林匹克竞赛题得分分布图


在参赛的621位选手中,有超过一半的382人在第1题上得到了满分7分。由此可见,IMO也和平时见到的考试一样,上来先会出一些送分题,稳定一下考生的心情。不过即使对于这样一道送分题,也有73人得了0分。这让我们说什么好呢?如果你太菜了,那么老师再怎么努力地想把分数送给你,也送不成啊!


其他题目的得分分布,跟第1题就大相径庭。最有趣的是第3题和第6题,它们分别是第一天和第二天的压轴题目。第3题有520人吃了鸭蛋,第6题更是有558人一分没得!


第3题和第6题得到满分的人,分别只有28人和27人。显然,夺冠的关键就在这最难的两道题。


罗博深跟我说的非常有趣的一点,就是个人夺金与国家夺冠之间的关系。如果你只想拿块金牌的话,那么你做五道题就够了。咦,什么叫“只”想拿块金牌?


因为奥赛的金牌并不是根据绝对成绩来发的,而是根据相对成绩,只要你排名在前50位左右,就可以拿到金牌。例如这次竞赛总共有52人获得金牌,门槛是在满分42分中得到31分。你看,是不是做五道题就够了?


2019年国际数学奥林匹克竞赛个人成绩分布


以前美国队多年不能夺冠,一个原因就是队员们觉得自己反正也赢不了,做对五道就够了,第六道直接放弃。2015年美国队夺冠,就是因为那届队员特别想赢,在做完五道题后还去竭尽全力做最难的。他们赢了以后,后面的几届看到自己真的能赢,斗志也被点燃了,从此也竭尽全力做所有的题。


由此可见,今年的中美并列第一,是双方的能力、技巧、斗志旗鼓相当的结果。让我们为两国的队员喝彩!


下面,我们来看一下这届竞赛的结果。


在国家层面(http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2019),中国和美国以227分并列第一。然后是韩国,以一分之差位列第三。


2019年国际数学奥林匹克竞赛韩国队合影


第四是朝鲜,187分。我们祝贺朝鲜追平自己的历史最好成绩(它在2015年也得了第四),不过它的得分跟前三位就有明显的差距了。第五到第十位分别是泰国、俄罗斯、越南、新加坡、塞尔维亚和波兰。


2019年国际数学奥林匹克竞赛前十名国家


在个人层面(http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc),这届竞赛一共有6人拿到42分的满分,其中两人来自中国,两人来自美国,另外两人分别来自韩国和波兰。


2019年国际数学奥林匹克竞赛前十名个人


中国队的6名选手都拿到了金牌,美国队和韩国队也是。这里一个有趣的问题是,美国队的6人中有5人是华裔,他们的总教练和副教练也是华裔。因此,有不少人开玩笑说美国队是中国二队,也有不少人在抱怨所谓人才外流的问题。


我想说的是,这些都不重要,不要让负能量沾染自己。正能量的思维是,美国队以及其他很多参赛队伍中有大量的华人,这说明华人是完全可以搞好数学的。我们应该更加努力,早日把中国建设成顶尖的数学强国。


还有一些有趣之处,出现在榜单的末尾。在参赛的112个国家和地区中,有3个国家的总分是0!这3个并列倒数第一的国家是:安哥拉、肯尼亚和阿联酋。


2019年国际数学奥林匹克竞赛排名最后的11个国家


在这三国当中,尤其特别的是阿联酋,因为它派出了一个完全由女生组成的队伍(2019IMO开幕式视频及最新照片来啦!竟然有个国家队全员女生!),在赛前吸引了很多关注。我看到这则消息时感到很奇怪:这个国家的男生到哪里去了?难道他们的数学都这么差吗?没想到结果是,这6位女生一分未得。


2019年国际数学奥林匹克竞赛阿联酋队合影


不过如大家所知,有些宗教国家平时严禁女人抛头露面,甚至还有宗教警察四处巡视。因此这次让女生出来参赛,总是一件值得鼓励的事。让我们希望,数学之光和自由之光普照世界。


如果前面讲的竞赛题让你“不明觉厉”,那么下面,我们就来介绍一个简单而精妙的数学定理,而且它还很有实用价值。为什么在这里提到这个定理呢?因为这个定理是我第一次见到罗博深的时候,他正在讲的,讲给上海市延安初级中学的师生们。


这个定理叫做皮克定理(Pick’s theorem),它说的是:在一个平面上标出那些横纵坐标都为整数的点,把这些点叫做格点。以任意多个格点作为顶点,做一个多边形,那么这个多边形的

面积 = 内点数 + 边界点数/2 - 1。


也就是说,数出有多少个格点完全包含在多边形中,每个这样的格点贡献1的面积。再数出有多少个格点在多边形的边界上,每个这样的格点贡献1/2的面积。把两部分贡献加起来,再减去1,就得到了多边形的面积。


举个例子,在下面这个四边形中,内点有7个,边界点有8个,因此它的面积等于7+ 8/2 - 1 = 10。是不是很方便啊?


皮克定理


我跟罗博深交流的时候,说我们在物理和化学中研究晶体结构时,就经常用类似的方法。如何确定一个晶胞中包含多少个原子呢?例如下图所示的,体心立方和面心立方的晶胞。


体心立方和面心立方晶胞


简便的算法是,一个原子如果位于一个晶胞之内,那么就把它完全归于这个晶胞。一个原子如果位于一个面上,即被两个晶胞分享,那么就给每个晶胞1/2个原子。一个原子如果位于一条棱上,即被四个晶胞分享,那么就给每个晶胞1/4个原子。一个原子如果位于一个角上,即被八个晶胞分享,那么就给每个晶胞1/8个原子。基本的思想就是“均分”。


根据这种算法,你很快就会发现,虽然看起来眼花缭乱,但体心立方只包含2个原子,面心立方只包含4个原子。这就是跟皮克定理的一个有趣的类比。


因此,你能从直觉看出皮克定理是正确的吗?你能从直觉看出这个定理可以用数学归纳法证明吗?


最后,我们来预报一下。围绕着数学与教育,我和罗博深讨论了许多大家关心的问题,例如:


你是如何让美国队的成绩突飞猛进的?

个人如何学好数学?

如何激发学生对数学的兴趣?

真正热爱数学的学生,应该怎样做?

如何看待其他的数学教育方法,例如可汗学院?

如何看待其他奥赛强队?

有些数学强国在奥赛中成绩并不突出,例如法国,对此应该怎样看待?

包括中美在内,许多国家的数学教育难度都在下降,对此应该如何看待?

如何在媒体上传播科学,扭转媒体对科学家的刻板印象?

……


再次预告,我们的对话将在7月31日上线,敬请期待(预告片见https://www.bilibili.com/video/av60023973)。在这里我可以说的是,罗博深的许多回答完全不在常见的套路之内,是非常真诚的真知灼见。如果各国像这样热爱科学与教育的专业人士多一些,将是世界之大幸。


我们聊了许多问题,不过有一个问题是我们完全没有提的:如何看待近年来美国队的成绩上升和中国队的成绩下降?在我们看来,这个问题并不重要。


从宇宙的视角看来,地球上这些国家之间的竞争就像鸡虫之争,不值一提。人类有没有掌握像黎曼猜想、孪生质数猜想这样的思想之光,才是真正有意义的,决定了人类在宇宙中的地位。


真正重要而有趣的,是数学本身!



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背景简介:袁岚峰,中国科学技术大学化学博士,中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员,科技与战略风云学会会长,青年科学家社会责任联盟理事,中国无神论学会理事,安徽省科学技术协会常务委员,微博@中科大胡不归,知乎@袁岚峰(https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8)。

责任编辑吴啟然


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