【谈学论教】基于深度理解的数学公式教学途径
数学公式是数学教学的重要组成部分，数学公式教学对学生的能力培养有着十分重要的作用.但公式教学表现出不尽如人意的状况，更多地靠刷题靠模仿训练来“理解”公式，这样的教学学生真的“理解”公式内涵了吗？希伯特（Hiebert）和卡彭特（Carpenter）指出：“一个数学的概念、方法或事实是彻底地理解了，是指它和现有的网络由更强或更多的联系联结着.”由于实际教学中公式的生成过于简化，公式只浮于形式化的表浅理解，并没有与已有认知结构中的相关知识产生联系，达不到理解的认知要求.笔者认为，只有让学生深度理解数学公式，才能促进他们对数学知识本质的理解.本文试介绍几个数学公式深度理解的途径，以供参考.
1 借助数学史素材，促进公式的本源性理解
任何数学公式都有着极其丰富的数学史背景，教材中往往呈现的是经过演绎之后的形态，而其隐含着的数学史内容比较丰富.这些内容对教师而言是专业知识，也是教师进行教学组织的素材；对学生而言，不仅能让他们在公式学习的起始阶段认清公式的历史需求和本来面目，还能让他们感悟到数学家独特的思维方式，加深对数学本质的理解.
案例1：同角三角函数平方关系式的HPM认知
在讲授同角三角函数平方关系式时，我们可以设计如下过程：
数学史介绍 在三角学发展初期，天文学家关心的是一段长度已知的弧所对的弦的长度，如图1中，在单位圆中，弧长(圆心角)所对弦的长度(chord2α)和现在的正弦之间存在着等价性，即1/2chord(2α)=AC=sinα.公元2世纪，托勒密建立了一个从到（1/2）°至180°的所有弧的正弦表.
知识建构 在建立正弦表的过程中，托勒密得到了一些三角函数公式，
如图2中有Chord(2α)^2+Chord(180°－2α)^2=AC^2+BC^2=AB^2，上式即sin^2(α)+cos^2(α)=1，这就是同角三角函数的平方关系式.
由上例可见，数学史料是对数学公式进行知识解密的过程，学生不再是运用单纯的数学符号进行思维量较低的演绎，而是在再现数学家研究问题的过程中进行建构，学生获得的知识是有背景支持的过程性建构，这利于他们将学习的内容融入到已有认知结构中去，而这恰是深度理解的一种体现.为此，教学中应根据学生的认知特点，选取相关数学史素材加以整合，让学生在感受到数学家的卓越智慧的同时，学习他们研究数学问题的思维方式(方法)，促进对数学公式的深度理解.
2 优化公式推导过程，促进公式的过程性理解
数学公式的推导过程是发展学生推理能力和运算能力的过程.教材中对某些公式的推导往往给出一种或多种方案，其目的在于让不同思维层次的学生都能有所得，也为优化公式的推导过程提供多维选择或再加工的可能.所以，公式教学中要深刻理解教材编者的意图，找到适合学生现有认知的推导方案.
案例2：“点到直线距离公式”推导方案的优化
求点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离.
苏教版必修2教材是这样处理的:
方案1 如图3作PQ⊥l于Q，并设Q(a，b)再用两点间距离公式求出d，发现运算量大，引导学生调整为方案2；
方案2 过点P分别作两轴的平行线，然后运用“等面积”的方法求出d.
这样的过程实际是在引导我们在推导公式时设计合理的方案来避开繁杂的运算，对公式的推导过程可以进一步地优化.不难分析出方案1中产生繁杂运算量的原因，即计算Q点坐标时产生了大量的字母运算，而这恰恰是学生比较薄弱之处，方案2是通过调整方案，采用“等积法”求高大大优化了运算，若能以此契机，引导学生对方案进一步改进而调整为方案3.
方案3 如图4，直线l分别交坐标轴于A，B两点，过点P作//l，交y轴于点C，过点C作CD⊥l于D.由平行线间的距离处处相等可知CD=PQ，而求△ABC面积的过程又比方案2少了一些字母运算，由此达到了优化运算的目的.
上述方案优化的过程实质是对公式推导进行过程性的理解，学生进行的思维活动是递进上升的，更重要的教益是形成一种理性的思维习惯：今后在遇到类似复杂运算时能否寻求优化方案？而这不正是数学理性精神的一种具体体现吗？
3 引导学生鉴赏公式，加强公式的结构性理解
实际上，数学公式建构之后不应急于大幅度的应用，公式的数学鉴赏应是公式生成之后的首要环节，通过对公式结构进行不同角度的解构分析，由外而内理解公式的基本要素，加强公式的结构性理解，无疑对公式的理解是有益的.
案例3：“同角三角函数关系”的鉴赏分析
建构公式后，引导学生进行公式鉴赏：
鉴赏活动1 如何理解“同角”？
如对具体角的认识：sin^2(17°）+cos^2(17°）= ；
对一般角的认识：sin(α /2)/cos(α/2)= .
鉴赏活动2 结构中的元素分析
如在平方关系中，首先观察到左边的局部都是变量，而右边为常量，这蕴藏着动中有静的恒等思想；再者公式中的对象都是“弦”，是二者的平方和结构；最后，应该从等式的双向性加以理解，变量可以转化为常数，常数可以变成同角的三角函数关系，这为后面的运用（如整体代换、逆用公式）提供伏笔.
鉴赏活动3 两个公式的整体鉴赏
对两个关系分别鉴赏后，还可以将二者放在一起进行对比，可以发现两个公式在构成上以及认知方式的异同
一般而言，可以在完成公式的推导或简单应用后对其进行数学鉴赏，从局部到整体，从形式到内涵上进行全方位的赏析，让学生能整体地抓住公式的特点及其与其它公式的相似之处，实现公式的结构性理解，这是具有逻辑特征的理性认识.
4 加强新旧公式联系，促进公式的逻辑性理解
适时地引导学生将新、旧公式，其实，公式本身不存在新旧之分，只是从出现的先后顺序加以区分）进行比较，寻找关联，使学生找到公式间的逻辑联系，提炼出公式间的统一本质，促进公式的逻辑性理解.
案例4： 解三角形中三个定理的关联分析
公式的统一“来历”
苏教版必修5在研究正弦定理、余弦定理时，均采用了向量法来证明：
实际上，教材中正文中没有出现的射影定理也可通过向量法证明：
可以看出，三个定理“本是同根生”，都是由母式（三角形三边向量回路关系）通过取数量积将向量关系转化为数量关系.
公式间的相互沟通
不仅如此，苏教版必修5教材P17第7题：
这就启发我们可以对这三个公式进行互推的认知活动：
通过以上框图的互推演绎，可以进一步看出三个定理间是贯通的，同时，互化关系也再次说明了它们本质上的一致.由此可见，对新旧公式进行关联性分析，能充分揭示公式间的逻辑关联，实现了对公式的整体性认识，促进了公式的逻辑性理解.
当然，促进公式深度理解的途径还有很多，但不管是哪种途径，都需要我们基于数学本质，立足学生认知，设计合理的数学教学活动，促进学生的深度理解.
参考文献
[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017：188
[2]丁益民.浅谈新课标下学生知识形成中思维品质的培养[J].数学通报，2008（6）：14
[3]陈永箴.数学公式教学浅议[J].中学数学，1997（3）：8-10
[4]丁益民.数学公式的“二次处理”对学生思维的培养[J]，数学通讯，2010（11）：2
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