介绍一个神奇的推理，并推荐一本初等数论的书（18年10月21日）

家长是孩子最好的老师。

这是奥数君第654天给出奥数题讲解。

今天的题目是逻辑推理问题，

所用知识不超过小学3年级。

题目（5星难度）：

朋友是相互的，如果A是B的朋友，那么B也是A的朋友。小明对小红说：世界上任意10个人中，要么有4个人彼此之间是朋友，要么有3个人彼此之间都不是朋友。请问小明说的对么？

讲解思路：

这道题属于逻辑推理问题，

7月22日题目与本题类似，

那道题目的结论如下，

世界上任意6个人，

中间一定可以找出3个人，

这3个人要么彼此之间是朋友，

要么彼此之间都不是朋友。

在直接使用这个结论的基础上，

我们将接着分析。

注:文章末尾有7月22日题目的链接。

步骤1：

先思考第一个问题，

在这10个人中任意找一个人A，

如果A的朋友不少于6个，

小明说的话是否正确？

根据7月22日题目的结论，

在A的6个朋友中，

有3个人要么彼此之间是朋友，

要么彼此之间都不是朋友。

对此分别进行讨论：

(1)如果3个人彼此是朋友，

那这3个人和A共4个人，

彼此之间都是朋友，

小明的话正确；

(2)如果3个人彼此都不是朋友，

那小明的话也正确。

因此这种情况下小明的话是正确的。

步骤2：

再思考第二个问题，

在这10个人中任意找一个人A，

如果A的朋友少于6个人，

小明说的话是否正确？

当A的朋友少于6个时，

由于总人数是10，

一定有4个人和小明不是朋友。

这4个人中间，

要么有2个人彼此不是朋友，

要么没有2个人彼此不是朋友。

对此分别进行讨论：

(1)如果有2个人彼此不是朋友，

这2个人加上A共3个人，

彼此都不是朋友，

小明的话正确；

(2)如果没有2个人彼此不是朋友，

也就是这4个人彼此都是朋友，

小明的话也正确。

因此这种情况下小明的话是正确的。

步骤3：

综合上述两个问题，

考虑原题的答案。

由于A的朋友数只有2种，

要么不少于6个，

要么少于6个，

而这两种情况都在步骤1、2中，

所小明的话一定正确。

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