高等数学《常微分方程》内容、问题类型与解题思路总结

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一、一阶微分方程的类型及一般求解思路与步骤

二、一般可降解的微分方程类型及典型问题求解

可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为三种类型，具体细节参见以下内容：

三、线性微分方程解的结构与刘维尔公式

线性微分方程解的结构性质是求解线性微分方程的基础和理论依据：

四、常系数线性微分方程的求解思路与方法

基于线性微分方程解的结构性质，对于常系数线性微分方程有相对固定的求解思路与方法：

五、解微分方程应用问题的基本步骤

借助微分方程模型求解实际问题的基本步骤：

六、典型习题与相关题型求解思路解析

《高等数学》中常微分方程的类型及一般解法和线性微分方程解的结构分析的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“常微分方程的一般求解思路与特征方程法”章节的详细分析与讨论。另外在历届数学竞赛真题的解析课堂中基本上都有所涉及，比较典型的有：

(一)第一届非数学类预赛

第五题：基于解结构求解常系数线性微分方程

●基于线性微分方程解结构性质求解微分方程

●基于求齐次线性微分方程解的特征方程法

(二)第六届非数学类预赛

第1题：齐次二阶常系数线性微分方程求解的逆问题

●齐次常系数线性微分方程通解计算特征方程法

●线性微分方程特征方程法与解的结构

(三)常微分方程典型习题解析(带练习与测试题)

涉及的题型、知识点视频标题和补充、扩展练习数量(合计59个)包括：

1．已知常微分方程通解，求常微分微分方程(补充练习4个)

2．一阶常微分方程求解的基本思路与步骤(9个)

3．借助导数定义构建抽象函数的微分方程模型(4个)

4．可降阶高阶微分方程的基本求解思路与步骤(4个)

5．带参数的可降阶微分方程初值问题解析(4个)

6．微分方程与变限积分的几何应用问题解析(4个)

7．已知特解求线性微分方程(4个)

8．线性微分方程解的结构及其应用(4个)

9．二阶变系数齐次线性微分方程求解(4个)

10．二阶常系数非齐次线性微分方程求解思路与步骤(6个)

11．欧拉方程的结构特点及求解思路与步骤(4个)

12．微分方程运动规律建模实例解析(4个)

13．基于“微元法”的微分方程建模思路与步骤(4个)

【注1】公众号回复“在线课堂”或者点击“高数线代”菜单中的“在线课堂视频教学”可以获取链接直接进入“公共基础课”在线课堂，选择相应视频课程进行查漏补缺和自主学习，进一步加强理解与应用！

【注2】各具体内容请参见之前发布的内容，可以直接点击菜单“高数线代”→“高等数学内容导航” →“高等数学：常微分方程”浏览所有已经发布的内容。更多典型习题参见“每日一题”中“常微分方程模块”. 

参考课件节选：

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