第06讲：《数列极限判定的基本方法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、数列极限的四则运算法则

(1) 特别注意参与运算的数列要求极限都存在(2) 作为分母的数列的项和极限值都不能等于零(3) 乘以一个非零常数不改变数列的敛散性(4) 参与运算的项为有限项

二、子数列

子数列是从原数列中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列．(1) 原数列收敛，则它的任何子数列都收敛，并且极限值相同.(2) 数列存在一个发散子数列，则数列发散.(3) 数列存在两个收敛于不同极限值的子数列，则数列发散.(4) 拉链定理：数列收敛的充要条件是它的奇数项构成的子数列{a_2n-1}与偶数项构成的子数列{a_2n}都收敛且极限相同。【注】此结论可以推广到连续的多项：如{a_3n}，{a_3n+1}，{a_3n+2}.

三、夹逼定理

(1) x_n≤a_n≤y_n(n=N,N+1,…，即某一项之后满足)(2) 数列{x_n}和{y_n}收敛到相同极限则数列{a_n}收敛且三个数列的极限值相等

四、单调有界原理

单调有界数列必有极限（单调递增有上界，单调递减有下界）【注】不需要严格单调，单调有界原理仅仅用于判定数列极限的存在性，不能用于直接计算极限值. 

五、一个重要极限

六、判定、验证递推数列极限存在性的思路

1、基于单调有界原理

基于单调有界原理判定极限存在，对递推关系式两端取极限求得极限值；单调性的判定常用比值法、差值法、数学归纳法或函数的单调性；有界性的判定常用基本不等式或数学归纳法等。

 2、基于夹逼定理的定义法

先假设极限存在，基于递推关系式计算极限值，然后基于递推关系式，极限的定义，借助夹逼定理验证所求极限值即为数列的极限. 即基于夹逼定理与数列的有界性（下界或上界），借助递推关系式，包括计算得到的极限值满足的等式关系，对|a_n-a|进行放大处理，得 

其中b是对绝对值放大得到的系数. 由此验证递推数列极限存在且得到极限值.

 3、基于单调有界原理与拉链定理对于整体不具有单调性，但奇数项构成的子数列、偶数项构成的子数列具有单调、有界性的前提下，基于拉链定理可以判定极限存在并基于递推关系得到极限值. 4、通项公式法常用的通项公式计算方法：(1) 由递推关系式向前或向后推导，得到通项公式；(2) 通过有限项观察规律，寻求可能通项表达式，并借助数学归纳法验证结论。(3) 差分方程的方法求解通项公式.具体可以参见专题：专题(15)：《差分方程》基本概念、线性差分方程求解思路与历届考研真题分析 

关于数列极限的判定典型例题与思路、方法除了参见“每日一题”中的典型问题外，也可以参见如下专题：

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参考课件

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