【长阳教育】探秘一道等差数列的趣味题（适合小学四年级）

例题：下表是一个数字方阵，求表中所有数之和。（选自华罗庚奥数教材，小学四年级练习题）

1, 2, 3, 4, 5, 6...98, 99, 100

2, 3, 4, 5, 6, 7...99, 100, 101

3, 4, 5, 6, 7, 8...100, 101, 102

...

100, 101, 102, 103, 104, 105...197, 198, 199

求解：

（一）题意分析。这道题是一个100×100的方阵，具有100行和100列，一共10000个数字相加求和的问题。

( 二）求解策略。（提供八种策略）

（1）最基本的思路，先看第一行。

1+2+3+4+5+6+...+98+99+100.

高斯同学九岁的时候就用首尾相加分成50组的方法，（1+100）×100/2计算出结果为5050.

观察第二行，把101分拆为 1 + 100，然后把1放到行首，相当于1,2,3,4,5，6...98,99,100,100。比第一行的和多出100。和为5050+100；

观察第三行，把101和102，分别分拆为1+100和 2 +100，比第一行多出两个100，即200。和为5050+200；

...

同样的方法，可知。

第99行，和为5050 + 9800；

第100行，和为5050 + 9900；

所以最终整个100×100方阵的和为：5050×100 + (100 + 200 + 300 + 400 + 500...+9800+9900) = 505000 + (100+9900)×99/2 = 1000000.

（2）观察，第二行的第一项2比第一行的第一项1多1（2-1 = 1），第二行的第二项3比第一行的第二项2还是多1（3- 2 = 1），...，第二行的第100项101比第一行的第100项100多1（101 - 100 = 1）.
第二行的每一项都比第一行的对应项多1，所以和多100；

同理，第三行的每一项都比第二行的对应项多1，所以和多100；

...

每行的和形成一个新的公差为100的等差数列。

新等差数列的第一项为5050，第100项为5050+9900，所以利用高斯的方法得（5050 + 5050 + 9900）×100/2 = 20000×100/2 = 1000000

（3）注意第一列，其和为1+2+3+4+5+...+98+99+100 = 5050；

第二列，2+3+4+5+6+...+99+100+101 = 5150；

第三列，5250；

...

第99列，5050+9800；

第100列，5050 + 9900；

每列的和形成公差为100的等差数列。

同样的（5050 + 5050 +9900）×100/2 = 1000000

（4）下过国际象棋的小朋友，对皇后和象的斜线走法应该了解。

对方阵的数考察，45度斜线看

第一组：左上角第一条斜线有数1，对应的，右下角第一条斜线有数199，两条线的和为1+199 = 200；

第二组：右上角第二条斜线有数2, 2，对应的，右下角第二条斜线有数198， 198，两条线的和为 2 + 2 + 198 + 198 = 200×2；

同理，第三组：两条线的和为 3 + 3 + 3 + 197 + 197 + 197 = 200×3；

...

第99组：两条线的和为 (99 + 99 + 99 +... + 99) + (101 + 101 + 101 +... +101) = 200×99;(99个99相加，99个101相加)

第100组：只有一条斜线，100个100相加

所以，100组的和为 200×1 + 200×2 + 200×3 + ... +200×98+200×99 + 10000 = 200×（1+2+3+4+...+97+98+99） + 10000 = 200×（1+99）×99/2 + 10000 = 10000 × 99 + 10000 = 10000 × 100 = 1000000

（5）还是斜线观察，135度斜线看

第一组：左下角第一条斜线有数100，对应的，右上角第一条斜线有数100，两条线的和为 100 + 100 = 200；

第二组：左下角第二条斜线有数99， 101，对应的，右上角第二条斜线有数99， 101，两条线的和为99 + 101 + 99 + 101 = 200×2；

同理，第三组：两条线的和为98 + 100 + 102 + 98 + 100 + 102 = 200×3；

...

第99组：两条线的和为（2 + 4 + 6 + 8 + ... +196 + 198） + （2 + 4 + 6 + 8 + ... +196 + 198） = 200×99;

第100组：只有一条线，就是对角线，其数字和为 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 197 + 199 = （1+199）×100/2 = 10000；

所以，100组的和同（4）的是一样的 1000000

（6）提供归纳与猜想的思路。

考察方阵为 1 × 1 时，和就是1；

方阵为2 × 2时，和为 （1+ 2）+（2+3） = 8 = 2×2×2；

方阵为3×3时，和为 

（1+2+3）+（2+3+4）+（3+4+5） = 27 = 3×3×3；

方阵为4×4时间，和为

（1+2+3+4）+（2+3+4+5）+（3+4+5+6）+（4+5+6+7） = 64 = 4×4×4；

...

归纳出和为：边长×边长×边长

所以方阵为99×99时，和为99×99×99；

方阵为100时，和为100×100×100 = 1000000.

（7）更一般的计算，当方阵为n×n时（n为自然数），这个方阵所有数的和为 n×n×n.

因为

第一行的和为：1+2+3+...+（n-1）+n = (1+n)×n/2;

第二行的和为：2+3+4+...+(n-1)+n+(n+1) = (2+n+1)×n/2;

...

第n行的和为：n+(n+1)+(n+2)+...+(n+n-2)+(n+n-1) = (n+n+n-1)×n/2;

那么这n行的总和为：

[（1+n )+ (n+n+n-1）]×n/2×n/2 = 4×n×n/2×n/2 = n×n×n;

当n为100时，方阵的和为100 ×100×100 = 1000000.

（8）思考...

通过（6）和（7）的结论，是否这个100×100的方阵的平均数就是100呢？

这是一个大胆的猜想。实际上，这个方阵的平均数确实就是100.所以所有数字和就是100×100×100.

我们来考察方阵中数的分布，在（4）或者（5）的斜线观察中，实际上，平均数就是100.

以（4）为例来分析

第一组，一共两个数，和为200，平均数为100；

第二组，一共四个数，和为400，平均数为100；

第三组，一共六个数，和为600，平均数为100；

...

第99组，一共99×2 = 198个数，和为200×99，平均数为100；

第100组，一共是100个100，平均数为100；

综合以上可知，整个方阵的平均数是100.

所以以上结论成立。

( 三）总结。

以上8种求解策略，一般的小朋友能想出第1种或第2种，第6种没有严格的证明，第7种是对第6种结论的一般性论证，而第8种策略一般很难想到，是基于前面的分析猜想得知的。

不知道有没有看明白上面的求解过程，如果有兴趣的小朋友，想深入学习，可以加微信：cy_dsq咨询，我们的老师会免费帮您解答。

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